用語集ようごしゅう

双曲線そうきょくせん

反比例はんぴれい $y = \frac{a}{x}$ のグラフがえがく、 2 つに分わかれたなめらかな曲線きょくせん。

双曲線そうきょくせんとは、反比例はんぴれい $y = \frac{a}{x}$ のグラフぐらふのことです。原点げんてんに対たいして対称たいしょうな 2 本ほんのなめらかな曲線きょくせんになります。

$a$ の符号ふごう	曲線きょくせんがある象限しょうげん
$a > 0$	第だい 1 象限しょうげん・第だい 3 象限しょうげん
$a < 0$	第だい 2 象限しょうげん・第だい 4 象限しょうげん

たとえば $y = \frac{6}{x}$ は $a > 0$ なので、右みぎ上じょう（第だい 1 象限しょうげん）と左下ひだりした（第だい 3 象限しょうげん）に曲線きょくせんが現あらわれます。 $x = 0$ では値ねが決きめられない（0 でわれない）ため、グラフはy 軸わいじくともx 軸えっくすじくとも交まじわりません。

注意ちゅうい 双曲線そうきょくせんは直線ちょくせんでつながない。 $x$ が 0 に近ちかづくほど軸じくに限かぎりなく近ちかづくが、ふれることはない曲線きょくせんとして描えがく。

双曲線そうきょくせんとは、平面へいめん上じょうの2 つの焦点しょうてんからの距離きょりの差さの絶対ぜったい値ちが一定いってい（ $= 2 a$ ）となる点てんの軌跡きせきで、2 本ほんの枝えだをもちます。

要素ようそ	値あたい
標準ひょうじゅん形がた	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
焦点しょうてん	$(\pm c, 0), c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$
漸近線ぜんきんせん	$y = \pm \frac{b}{a} x$

楕円だえんが「和わが一定いってい」だったのに対たいし、双曲線そうきょくせんは「差さが一定いってい」と覚おぼえると対比たいひしやすいです。たとえば 2 地点ちてんからの電波でんぱの到達とうたつ時間じかん差さが一定いっていの点てんは双曲線そうきょくせんを描えがき、これが GPS や双そう曲きょく航法こうほうの位置いち測定そくてい原理げんりになります。

試験しけんでは 漸近ぜんきん線せん・焦点しょうてん・離心率りしんりつを求もとめる問題もんだいが定番ていばん。 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ （双曲線そうきょくせんは足たし算ざん）が楕円だえんとの大おおきな違ちがい。

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注意ちゅうい 双曲線そうきょくせんは直線ちょくせんでつながない。 $x$ が 0 に近ちかづくほど軸じくに限かぎりなく近ちかづくが、ふれることはない曲線きょくせんとして描えがく。

要素ようそ	値あたい
標準ひょうじゅん形がた	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
焦点しょうてん	$(\pm c, 0), c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$
漸近線ぜんきんせん	$y = \pm \frac{b}{a} x$

試験しけんでは 漸近ぜんきん線せん・焦点しょうてん・離心率りしんりつを求もとめる問題もんだいが定番ていばん。 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ （双曲線そうきょくせんは足たし算ざん）が楕円だえんとの大おおきな違ちがい。