極座標きょくざひょう一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

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1. 極座標きょくざひょう $(r, \theta)$ と 直交座標ちょっこうざひょう $(x, y)$ の 変へん換かん式として正ただしいものは？
   • ・$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$
   • ・$x = r\sin\theta, y = r\cos\theta$
   • ・$x = r/\cos\theta, y = r/\sin\theta$
   • ・$x = r + \cos\theta, y = r + \sin\theta$
2. 直ちょっ交こう座ざ標ひょう $(\sqrt{3}, 1)$ を 極座標きょくざひょう で表あらわしたものはどれですか？ ($r\ge 0, 0\le\theta < 2\pi$)
   • ・$(2, \pi/3)$
   • ・$(\sqrt{2}, \pi/4)$
   • ・$(2, \pi/6)$
   • ・$(4, \pi/6)$
3. 原げん点てん $\mathrm{O}$ を中心ちゅうしん とする半はん径けい $a$ の 円えん の 極方程式きょくほうていしき はどれですか？
   • ・$r = a$
   • ・$r = a\cos\theta$
   • ・$r = a\sin\theta$
   • ・$\theta = a$
4. 中心ちゅうしん $(a, 0)$ ($x$軸じく上じょう)、 半はん径けい $a$ の 円えん の 極方程式きょくほうていしき はどれですか？
   • ・$r = 2a\sin\theta$
   • ・$r = a\cos\theta$
   • ・$r = a + \cos\theta$
   • ・$r = 2a\cos\theta$
5. 原げん点てん を 通つう り、 $x$軸 と 角$\alpha$ を な す 直線ちょくせん の 極方程式きょくほうていしき は？
   • ・$r = \alpha$
   • ・$r\cos\theta = \alpha$
   • ・$r\sin\theta = \alpha$
   • ・$\theta = \alpha$
6. カージオイドかーじおいど (心しん臓ぞう形) の 極方程式きょくほうていしき はどれですか？
   • ・$r = a\cos(2\theta)$
   • ・$r = a\theta$
   • ・$r = a/\cos\theta$
   • ・$r = a(1 + \cos\theta)$
7. ばら曲線ばらきょくせん $r = a\cos(n\theta)$ で、 $n$ が 偶数ぐうすう のとき花弁かべんの数かずはいくつですか？
   • ・$n$ 枚
   • ・$2n$ 枚
   • ・$n/2$ 枚
   • ・$n^{2}$ 枚
8. アルキメデスの渦線あるきめですのうずせん の 極方程式きょくほうていしき はどれですか？
   • ・$r = a\theta$
   • ・$r = a\cos\theta$
   • ・$r = a^{\theta}$ (= 対数螺旋たいすうらせん)
   • ・$r = a(1+\sin\theta)$
9. $r = a\theta$ (アルキメデスの渦線あるきめですのうずせん) で $\theta=2\pi$ と $\theta=4\pi$ の 点てん の 動径けい方ほう向こう の 間かん隔かく はいくらですか？
   • ・$\pi a$
   • ・$4\pi a$
   • ・$2a$
   • ・$2\pi a$
10. 極座標ざひょう での面積めんせき公こう式しき はどれですか？ (極方程式きょくほうていしき $r=f(\theta)$ が $\alpha\le\theta\le\beta$ で原げん点てん と囲かこむ面積めんせき $S$)
    • ・$S = \int_{\alpha}^{\beta} f(\theta)\,d\theta$
    • ・$S = \pi\int_{\alpha}^{\beta} f(\theta)\,d\theta$
    • ・$S = \dfrac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} \{f(\theta)\}^{2}\,d\theta$
    • ・$S = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{1+\{f'(\theta)\}^{2}}\,d\theta$
11. カージオイドかーじおいど $r = a(1+\cos\theta)$ が囲かこむ面積めんせき はいくらですか？
    • ・$\pi a^{2}$
    • ・$2\pi a^{2}$
    • ・$\dfrac{3}{2}\pi a^{2}$
    • ・$3\pi a^{2}$
12. $r = 2a\cos\theta$ (極方程式きょくほうていしき) が表あらわす図形ずけいとその面積めんせき の組くみで正ただしいものは？
    • ・中心しん 原点てん、 半径けい $2a$ の 円; 面積せき $4\pi a^{2}$
    • ・アルキメデスの渦線アルキメデスのうずせん; 面積せき な し
    • ・中心しん $(a,0)$、 半径けい $a$ の 円; 面積せき $\pi a^{2}$
    • ・カージオイド; 面積せき $\dfrac{3}{2}\pi a^{2}$
13. 極座標きょくざひょう が 直ちょっ交こう座ざ標ひょう よりも自し然ぜん に扱あつかえる例れいとして不ふ適てき なものはどれですか？
    • ・惑星わくせい の 軌道どう
    • ・長方形ちょうほうけい の 面積せき 計算さん
    • ・電磁じ 場 や 流 体 の 渦
    • ・等電位面とうでんいめん (中心しん 対称しょう)
14. ケプラーの法則けぷらーのほうそく に出でてくる惑わく星せい軌き道どう の 極方程式きょくほうていしき $r = \dfrac{l}{1+e\cos\theta}$ で、 $e$ は何なにを表あらわしますか？
    • ・周期しゅうき
    • ・長半径ちょうはんけい
    • ・太 陽 の 質量りょう
    • ・離心率りしんりつ (軌道どう の 細 長 さ)
15. 極座標きょくざひょう $(2, \pi/3)$ を 直ちょっ交こう座ざ標ひょう に 変へん換かん す る と？
    • ・$(\sqrt{3}, 1)$
    • ・$(2, 2\sqrt{3})$
    • ・$(1, \sqrt{3})$
    • ・$(\sqrt{3}/2, 1/2)$
16. $r = 2a\cos\theta$ で $a>0$ の と き、 $\theta$ が どの 範はん囲い で 1 周しゅうすれば円えん全体ぜんたいがえがけますか？
    • ・$0 \le \theta < 2\pi$
    • ・$0 \le \theta < \pi/2$ (半 円 し か え が け な い)
    • ・$\theta$ は 何 周 も 必 要
    • ・$0 \le \theta < \pi$ ($-\pi/2 \le \theta \le \pi/2$ と 同 等)
17. $r^{2} = a^{2}\cos(2\theta)$ ($a>0$) が表あらわす曲きょく線せん の名前なまえは？
    • ・カージオイド
    • ・アステロイド
    • ・ばら曲線ばらきょくせん
    • ・レムニスケート (連 珠 形)
18. 球きゅう面めん座ざ標ひょう や 円柱座標えんちゅうざひょう は、 高校こうこうで学まなぶどの概がい念ねん の大学だいがくでの拡かく張ちょう ですか？
    • ・極座標きょくざひょう
    • ・微分びぶん
    • ・ベクトル の 内積ないせき
    • ・行列ぎょうれつ の 逆行列ぎゃくぎょうれつ
19. 極方程式きょくほうていしき $r\cos\theta = a$ ($a>0$) は どんな図形ずけいを表あらわしますか？
    • ・原点てん 中心しん の 円
    • ・中心しん $(a,0)$ の 円
    • ・カージオイド
    • ・$x = a$ の 垂直ちょく な 直 線
20. $r = a\sin(2\theta)$ ($a>0$) はどれですか？
    • ・2 枚 の 花 弁 を 持 つ ばら曲線ばらきょくせん
    • ・4 枚 の 花 弁 を 持 つ ばら曲線ばらきょくせん
    • ・中心しん $(a/2, 0)$ の 円
    • ・レムニスケート