いろいろな曲線きょくせん — 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ・極座標きょくざひょう・二に次じ曲線きょくせん

この章しょうで学まなぶこと

$x, y$ を直接ちょくせつ結むすぶ式しき以外いがいにも、 曲線きょくせんを表あらわす方法ほうほうがあります。 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじと極座標きょくざひょう、 そして二次曲線にじきょくせんを学まなびます。

• 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじと、 媒介ばいかい変数へんすうの消去しょうきょ
• 極座標きょくざひょう $(r, \theta )$ と直交ちょっこう座標ざひょう$(x, y)$ の変換へんかん
• 二次曲線にじきょくせん(楕円だえん・双曲線そうきょくせん・放物線ほうぶつせん)の方程式ほうていしき

ポイント: 直交ちょっこう座標ざひょうと極座標きょくざひょうの関係かんけい$x=r\cos \theta , y=r\sin \theta$、 $r^2=x^2+y^2$ は両方向りょうほうこうに使つかえるようにします。

1. 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ

$x, y$ をそれぞれ第だい3の変数へんすう(媒介ばいかい変数へんすう)$t$ の式しきで表あらわします。 $t$ を消去しょうきょすると $x, y$ の関係かんけい式しきになります。

例題れいだい: $x=t+1, y=t^2$ から $t$ を消去しょうきょし、 $x, y$ の関係かんけい式しきを求もとめよ。

$t=x-1$ を $y=t^2$ に代入だいにゅうすると $y=(x-1{)}^2$。 これは頂点ちょうてん$(1, 0)$ の放物線ほうぶつせんです。

検算けんざん: $t=2$ のとき $(x, y)=(3, 4)$。 $y=(3-1{)}^2=4$(一致いっち)。 正ただしい。

例題れいだい: 円えんの媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ$x=2\cos \theta , y=2\sin \theta$ から $\theta$ を消去しょうきょせよ。

${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ を使つかうと、 ${\left(\frac{x}{2}\right)}^2+{\left(\frac{y}{2}\right)}^2=1$、 すなわち $x^2+y^2=4$。 半径はんけい$2$ の円えんです。

2. 極座標きょくざひょう

点てんの位置いちを、 原点げんてんからの距離きょり$r$ と角$\theta$ で表あらわすのが極座標きょくざひょうです。

変換へんかん	式しき
極ごく → 直交ちょっこう	$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$
直交ちょっこう → 極ごく	$r=\sqrt{x^2+y^2},\tan \theta =\frac{y}{x}$

例題れいだい: 極座標きょくざひょう$(2, \frac{\pi }{3})$ を直交ちょっこう座標ざひょうで表あらわせ。

$x=2\cos \frac{\pi }{3}=2\cdot \frac{1}{2}=1,y=2\sin \frac{\pi }{3}=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$ よって $(x, y)=(1, \sqrt{3})$。

検算けんざん: $x^2+y^2=1+3=4=2^2$、 距離きょり$r=2$ に一致いっち。 正ただしい。

3. 二に次じ曲線きょくせん

楕円だえん

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ は、 $x$軸じく方向ほうこうに長ながさ $2a$、 $y$軸じく方向ほうこうに長ながさ $2b$ の楕円だえんです。 焦点しょうてんは $(\pm c, 0)$、 ただし $c=\sqrt{a^2-b^2}$。

例題れいだい: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ の焦点しょうてんを求もとめよ。

$a^2=25, b^2=9$ より $c=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。 焦点しょうてんは $(\pm 4, 0)$ です。

検算けんざん: $c^2=a^2-b^2=25-9=16$、 $c=4$。 正ただしい。

双曲線そうきょくせん・放物線ほうぶつせん

• 双曲線そうきょくせん: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。 漸近線ぜんきんせんは $y=\pm \frac{b}{a}x$。
• 放物線ほうぶつせん: $y^2=4px$。 焦点しょうてん$(p, 0)$、 準線じゅんせん $x=-p$。

例題れいだい: 放物線ほうぶつせん$y^2=8x$ の焦点しょうてんと準じゅん線せんを求もとめよ。

$4p=8$ より $p=2$。 焦点しょうてんは $(2, 0)$、 準じゅん線せんは $x=-2$ です。

検算けんざん: $y^2=4px=4\cdot 2\cdot x=8x$(一致いっち)。 正ただしい。

どう問とわれるか

• 媒介変数の消去ばいかいへんすうのしょうきょで曲線きょくせんの正体しょうたい(放物線ほうぶつせん・円えんなど)を答こたえる問題もんだいが定番ていばんです。
• 極座標きょくざひょうと直交ちょっこう座標ざひょうの相互そうご変換へんかん、 極ごく方程式ほうていしきで表あらわされた曲線きょくせんの問題もんだいが出でます。
• 二次曲線にじきょくせんでは楕円だえん・双曲線そうきょくせん・放物線ほうぶつせんの焦点しょうてん・漸近線ぜんきんせん・準線じゅんせんが問とわれます。

まとめ

• 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじは $t$ を消去しょうきょして $x, y$ の関係かんけい式しきへ
• 極ごく ↔ 直交ちょっこうは $x=r\cos \theta , y=r\sin \theta , r^2=x^2+y^2$
• 楕円だえんの焦点しょうてん$c=\sqrt{a^2-b^2}$、 放物線ほうぶつせん $y^2=4px$ の焦点しょうてん$(p,0)$

次章しょうでは、 複素数ふくそすうを平面へいめん上じょうの点てんとして扱あつかう 複素数ふくそすう平面へいめん を学まなびます。

※ 「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」 は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にっぽん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。