いろいろな曲線きょくせん — 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ・極座標きょくざひょう・二に次じ曲線きょくせん β版

この章しょうで学まなぶこと

$x, y$ を直接ちょくせつ結むすぶ式しき以外いがいにも、 曲線きょくせんを表あらわす方法ほうほうがあります。 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじと極座標きょくざひょう、 そして二次曲線にじきょくせんを学まなびます。

• 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじと、 媒介ばいかい変数へんすうの消去しょうきょ
• 極座標きょくざひょう $(r, \theta )$ と直交ちょっこう座標ざひょう$(x, y)$ の変換へんかん
• 二次曲線にじきょくせん(楕円だえん・双曲線そうきょくせん・放物線ほうぶつせん)の方程式ほうていしき

ポイント: 直交ちょっこう座標ざひょうと極座標きょくざひょうの関係かんけい$x=r\cos \theta , y=r\sin \theta$、 $r^2=x^2+y^2$ は両方向りょうほうこうに使つかえるようにします。

1. 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ

$x, y$ をそれぞれ第だい3の変数へんすう(媒介ばいかい変数へんすう)$t$ の式しきで表あらわします。 $t$ を消去しょうきょすると $x, y$ の関係かんけい式しきになります。

例題れいだい: $x=t+1, y=t^2$ から $t$ を消去しょうきょし、 $x, y$ の関係かんけい式しきを求もとめよ。

$t=x-1$ を $y=t^2$ に代入だいにゅうすると $y=(x-1{)}^2$。 これは頂点ちょうてん$(1, 0)$ の放物線ほうぶつせんです。

検算けんざん: $t=2$ のとき $(x, y)=(3, 4)$。 $y=(3-1{)}^2=4$(一致いっち)。 正ただしい。

例題れいだい: 円えんの媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ$x=2\cos \theta , y=2\sin \theta$ から $\theta$ を消去しょうきょせよ。

${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ を使つかうと、 ${\left(\frac{x}{2}\right)}^2+{\left(\frac{y}{2}\right)}^2=1$、 すなわち $x^2+y^2=4$。 半径はんけい$2$ の円えんです。

2. 極座標きょくざひょう

点てんの位置いちを、 原点げんてんからの距離きょり$r$ と角$\theta$ で表あらわすのが極座標きょくざひょうです。

変換へんかん	式しき
極ごく → 直交ちょっこう	$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$
直交ちょっこう → 極ごく	$r=\sqrt{x^2+y^2},\tan \theta =\frac{y}{x}$

例題れいだい: 極座標きょくざひょう$(2, \frac{\pi }{3})$ を直交ちょっこう座標ざひょうで表あらわせ。

$x=2\cos \frac{\pi }{3}=2\cdot \frac{1}{2}=1,y=2\sin \frac{\pi }{3}=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$ よって $(x, y)=(1, \sqrt{3})$。

検算けんざん: $x^2+y^2=1+3=4=2^2$、 距離きょり$r=2$ に一致いっち。 正ただしい。

3. 二に次じ曲線きょくせん

楕円だえん

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ は、 $x$軸じく方向ほうこうに長ながさ $2a$、 $y$軸じく方向ほうこうに長ながさ $2b$ の楕円だえんです。 焦点しょうてんは $(\pm c, 0)$、 ただし $c=\sqrt{a^2-b^2}$。

例題れいだい: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ の焦点しょうてんを求もとめよ。

$a^2=25, b^2=9$ より $c=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。 焦点しょうてんは $(\pm 4, 0)$ です。

検算けんざん: $c^2=a^2-b^2=25-9=16$、 $c=4$。 正ただしい。

双曲線そうきょくせん・放物線ほうぶつせん

• 双曲線そうきょくせん: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。 漸近線ぜんきんせんは $y=\pm \frac{b}{a}x$。
• 放物線ほうぶつせん: $y^2=4px$。 焦点しょうてん$(p, 0)$、 準線じゅんせん $x=-p$。

例題れいだい: 放物線ほうぶつせん$y^2=8x$ の焦点しょうてんと準じゅん線せんを求もとめよ。

$4p=8$ より $p=2$。 焦点しょうてんは $(2, 0)$、 準じゅん線せんは $x=-2$ です。

検算けんざん: $y^2=4px=4\cdot 2\cdot x=8x$(一致いっち)。 正ただしい。

どう問とわれるか

• 媒介変数の消去ばいかいへんすうのしょうきょで曲線きょくせんの正体しょうたい(放物線ほうぶつせん・円えんなど)を答こたえる問題もんだいが定番ていばんです。
• 極座標きょくざひょうと直交ちょっこう座標ざひょうの相互そうご変換へんかん、 極ごく方程式ほうていしきで表あらわされた曲線きょくせんの問題もんだいが出でます。
• 二次曲線にじきょくせんでは楕円だえん・双曲線そうきょくせん・放物線ほうぶつせんの焦点しょうてん・漸近線ぜんきんせん・準線じゅんせんが問とわれます。

よくまちがえるところ

いろいろな曲線きょくせんでは、 似にた公式こうしきの取とりちがえと、 変換へんかんのときの条件じょうけん落おちが二に大だい失点しってんです。

まちがい	例れい	直なおし方かた
媒介変数ばいかいへんすうを消けすとき範囲はんいを落おとす	x = t + 1, y = t² で t ≧ 0 の条件じょうけんを無視むしして放物線ほうぶつせん全体ぜんたいと答こたえる	t の範囲はんいから x の範囲はんい(x ≧ 1)も答こたえる
楕円だえんと双曲線そうきょくせんで焦点しょうてんの式しきを取とりちがえる	x²/25 + y²/9 = 1 の焦点しょうてんを c = √(25 + 9) とする	楕円だえんは c = √(a² - b²)、 双曲線そうきょくせんは c = √(a² + b²)
放物線ほうぶつせんの p を読よみまちがえる	y² = 8x で p = 8 とする	4p = 8 より p = 2。 焦点しょうてん (2, 0)、 準線じゅんせん x = -2
極座標きょくざひょうで偏へん角かくの象限しょうげんを見みない	x = -1, y = -1 から tanθ = 1 なので θ = π/4 とする	点てんは第だい3象限しょうげん。 θ = 5π/4

いちばん多おおいのは 楕円だえんと双曲線そうきょくせんの焦点しょうてんの取とりちがえ です。 覚おぼえ方かたは形かたちと結むすびつけること。 楕円だえんは閉とじた曲線きょくせんで、 焦点しょうてんは必かならず曲線きょくせんの内側うちがわにあるので中心ちゅうしんからの距離きょり c は a より小ちいさくなり、 c = √(a² - b²) と引ひき算ざんになります。 双曲線そうきょくせんは開ひらいた曲線きょくせんで、 焦点しょうてんは頂点ちょうてんより外側そとがわにあるので c は a より大おおきくなり、 c = √(a² + b²) と足たし算ざんになります。 「閉とじているから引ひく、 開ひらいているから足たす」 と結むすびつけると迷まよいません。

二に次じ曲線きょくせんを見分みわける

曲線きょくせん	標準ひょうじゅん形がた	焦点しょうてん	特徴とくちょう的てきな線せん
楕円だえん	x²/a² + y²/b² = 1 (a が b より大おおきい)	(±c, 0)、 c = √(a² - b²)	長ちょう軸じくの長ながさ 2a、 短たん軸じくの長ながさ 2b
双曲線そうきょくせん	x²/a² - y²/b² = 1	(±c, 0)、 c = √(a² + b²)	漸近線ぜんきんせん y = ±(b/a)x
放物線ほうぶつせん	y² = 4px	(p, 0)	準じゅん線せん x = -p

見分みわけるこつは x² と y² の符号ふごう です。 どちらも正せいで係数けいすうが違ちがえば楕円だえん、 一方いっぽうが負ふなら双曲線そうきょくせん、 2次じの項こうが片方かたほうだけなら放物線ほうぶつせんです。

極座標きょくざひょうと直交ちょっこう座標ざひょうの行いき来きも表ひょうにしておきます。

向むき	使つかう式しき	注意ちゅうい
極ごく → 直交ちょっこう	x = r cosθ、 y = r sinθ	そのまま代入だいにゅうすればよい
直交ちょっこう → 極ごく	r = √(x² + y²)、 tanθ = y/x	tanθ だけでは象限しょうげんが決きまらない。 点てんの位置いちで θ を選えらぶ

大事だいじ: 直交ちょっこう座標ざひょうから極座標きょくざひょうに直なおすときは、 tanθ の値あたいが同おなじになる角かくが 2 つ(π だけ離はなれた角かく)あります。 必かならず点てんがどの象限しょうげんにあるかを見みて、 正ただしいほうの θ を選えらんでください。

自分じぶんでチェック

• 媒介ばいかい変数へんすうを消けしたあとに変数へんすうの範囲はんいも答えこたえられる
• 楕円だえんは c = √(a² - b²)、 双曲線そうきょくせんは c = √(a² + b²) と書かき分わけられる
• y² = 4px から p を正ただしく読よみ取とれる
• x² と y² の符号ふごうで二に次じ曲線きょくせんを見分みわけられる
• 直交ちょっこう座標ざひょうから極座標きょくざひょうに直なおすとき象限しょうげんを確たしかめている

まとめ

• 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじは $t$ を消去しょうきょして $x, y$ の関係かんけい式しきへ
• 極ごく ↔ 直交ちょっこうは $x=r\cos \theta , y=r\sin \theta , r^2=x^2+y^2$
• 楕円だえんの焦点しょうてん$c=\sqrt{a^2-b^2}$、 放物線ほうぶつせん $y^2=4px$ の焦点しょうてん$(p,0)$

次章しょうでは、 複素数ふくそすうを平面へいめん上じょうの点てんとして扱あつかう 複素数ふくそすう平面へいめん を学まなびます。

※ 「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」 は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。