比例ひれいと反比例はんぴれい — 式しき・グラフ・座標ざひょう

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう1 で学まなぶ関数かんすう 比例ひれい と 反比例はんぴれい です。 2 つの量りょうがどう変かわり合あうかを、 式しき・表ひょう・グラフの 3 つで表あらわせるようになるのがゴールです。

• 比例ひれい $y=ax$ と比例定数ひれいていすう
• 反比例はんぴれい $y=\frac{a}{x}$
• 座標ざひょうと点てんの表あらわし方かた
• グラフ (直線ちょくせんと双曲線そうきょくせん)

ポイント: 「関数かんすう」 とは、 $x$ を決きめると $y$ がただ 1 つ決きまる関係かんけいのこと。 まず 「$y=ax$ か $y=\frac{a}{x}$ か」 を見分みわけ、 $a$ (比例定数ひれいていすう) を求もとめるのが基本きほんです。

1. 比例ひれい

$y$ が $x$ に 比例ひれい するとき、 $y=ax$ と表あらわせます。 この $a$ を 比例定数ひれいていすう といいます。 $x$ が 2 倍ばい、 3 倍ばいになると $y$ も 2 倍ばい、 3 倍ばいになります。

例題れいだい: $y$ は $x$ に比例ひれいし、 $x=4$ のとき $y=12$ である。 $y$ を $x$ の式しきで表あらわし、 $x=7$ のときの $y$ を求もとめよ。

$y=ax$ に $x=4, y=12$ を代入だいにゅうして $12=4a$、 $a=3$。

$y=3x,x=7\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} y=3\times 7=21$

検算けんざん: $x=4$ で $3\times 4=12$ ($\circ$)。 式しきは正ただしい。 $x=7$ で $y=21$。

2. 反比例はんぴれい

$y$ が $x$ に 反比例はんぴれい するとき、 $y=\frac{a}{x}$ と表あらわせます ($a$ は比例定数ひれいていすう)。 $x$ が 2 倍ばいになると $y$ は $\frac{1}{2}$倍になります。 $x$ と $y$ の積$xy=a$ はつねに一定いっていです。

例題れいだい: $y$ は $x$ に反比例はんぴれいし、 $x=3$ のとき $y=4$ である。 $x=6$ のときの $y$ を求もとめよ。

$y=\frac{a}{x}$ に $x=3, y=4$ を代入だいにゅうして $4=\frac{a}{3}$、 $a=12$。

$y=\frac{12}{x},x=6\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} y=\frac{12}{6}=2$

検算けんざん: $xy$ が一定いっていか確たしかめる。 $3\times 4=12$、 $6\times 2=12$。 たしかに一定いってい。 正ただしい。

大事だいじ: 反比例はんぴれいでは $x\times y$ がいつも同おなじ値あたい ($=a$) になります。 これを使つかうと、 1 組くみの $x,y$ から $a$ がすぐ求もとまります。

3. 座標ざひょう

平面へいめん上じょうの点てんの位置いちは、 横よこの数かず ($x$ 座標ざひょう) と縦たての数かず ($y$座標ざひょう) の組$(x,y)$ で表あらわします。 2 本ほんの数すう直線ちょくせん (x軸エックスじく・y軸ワイじく) が交まじわる点てんを 原点げんてん $(0,0)$ といいます。

たとえば点$(3,-2)$ は、 原点げんてんから右みぎへ $3$、 下したへ $2$進すすんだ位置いちです。

4. グラフ

関数かんすう	式しき	グラフの形かたち
比例ひれい	$y=ax$	原点げんてんを通とおる 直線ちょくせん
反比例はんぴれい	$y=\frac{a}{x}$	なめらかな曲線きょくせん (双曲線そうきょくせん)

例題れいだい: 比例ひれい $y=2x$ のグラフが通とおる点てんを、 つぎの中なかからすべて選えらべ。 $(1,2)$、 $(2,3)$、 $(-3,-6)$。

それぞれ $x$ の値あたいを代入だいにゅうして $y$ と合あうか調しらべる。

• $(1,2)$: $2\times 1=2$ ($\circ$)
• $(2,3)$: $2\times 2=4\ne 3$ ($\times$)
• $(-3,-6)$: $2\times (-3)=-6$ ($\circ$)

よって通とおる点てんは $(1,2)$ と $(-3,-6)$。

検算けんざん: グラフ上じょうの点てんなら、 $x$座標ざひょうを式しきに入いれた値あたいが $y$座標ざひょうと一致いっちするはず。 上うえの判定はんていどおり 2 点てんが当あてはまる。 正ただしい。

ポイント: 「点てんがグラフ上じょうにあるか」 は、 その点てんの $x$座標ざひょうを式しきに代入だいにゅうして、 $y$座標ざひょうと一致いっちするかで判定はんていします。 比例ひれいのグラフは必かならず原点げんてんを通とおることも覚おぼえておきましょう。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「$x=4$ で $y=12$ のとき、 $y$ を $x$ の式しきで表あらわせ」 のように、 比例定数ひれいていすうや式しきを求もとめる問題もんだいが定番ていばんです。
• 二に次じでは、 グラフや座標ざひょうを読よみとる問題もんだい、 反比例はんぴれいを使つかった文章ぶんしょう題だい (同おなじ仕事しごとを何なん人にんでやると何なん時間じかんか など) が出でます。

よくまちがえるところ

比例ひれいと反比例はんぴれいでは、 式しきの形かたちと比例ひれい定数ていすうの求もとめ方かたの取とりちがえが目立めだちます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
比例ひれい定数ていすうを求もとめる向むきを逆ぎゃくにする	比例ひれいで x = 4, y = 12 から a を 4/12 とする	比例ひれいは a = y ÷ x なので a = 3
反比例はんぴれいなのに y = ax とする	x = 3, y = 4 の反比例はんぴれいを y = (4/3)x とする	反比例はんぴれいは a = x × y = 12 で y = 12/x
座標ざひょうの順番じゅんばんを逆ぎゃくにする	点てん (3, -2) を 左右さゆうに -2、 上下じょうげに 3 と読よむ	前まえが x 座標ざひょう、 後うしろが y 座標ざひょう
反比例はんぴれいのグラフを直線ちょくせんとする	y = 12/x のグラフを原点げんてんを通とおる直線ちょくせんにする	なめらかな曲線きょくせん (双曲線そうきょくせん) で、 原点げんてんは通とおらない

いちばん多おおいのは 比例ひれい定数ていすう a の求もとめ方かたの取とりちがえ です。 比例ひれい y = ax では a = y ÷ x、 反比例はんぴれい y = a/x では a = x × y です。 わり算ざんとかけ算ざんが入いれかわると、 その後ごの答えこたえがすべてずれます。 どちらの関係かんけいかをまず決きめ、 それから a を求もとめる、 という順番じゅんばんを必かならず守まもりましょう。

比例ひれい定数ていすう a の求もとめ方かた

つぎの順じゅんに進すすめます。 例れいは 「y は x に反比例はんぴれいし、 x = 3 のとき y = 4。 x = 6 のときの y を求もとめる」 です。

順番じゅんばん	すること	このときの計算けいさん
1	比例ひれいか反比例はんぴれいかを確たしかめる	反比例はんぴれいと書かかれている
2	比例ひれいなら a = y ÷ x、 反比例はんぴれいなら a = x × y	a = 3 × 4 = 12
3	式しきに書かく	y = 12/x
4	与あたえられた組くみを式しきに入いれて確たしかめる	x = 3 で y = 4 となり合あう
5	聞きかれた値あたいを代入だいにゅうして答えこたえを出だす	x = 6 で y = 12 ÷ 6 = 2

点てんがグラフ上じょうにあるかどうかも、 同おなじ考かんがえ方かたで調しらべられます。 その点てんの x 座標ざひょうを式しきに代入だいにゅうし、 出でてきた値あたいが y 座標ざひょうと一致いっちすればグラフ上じょうの点てんです。 y = 2x なら、 (2, 3) は 2 × 2 = 4 で 3 と一致いっちしないので、 グラフ上じょうにはありません。

自分じぶんでチェック

• 比例ひれい y = ax、 反比例はんぴれい y = a/x の形かたちを書かき分わけられる
• 比例ひれいは a = y ÷ x、 反比例はんぴれいは a = x × y で a を求もとめられる
• 点てん (3, -2) を、 右みぎへ 3・下かへ 2 の位置いちと読よめる
• 比例ひれいのグラフが原点げんてんを通とおる直線ちょくせん、 反比例はんぴれいが双曲線そうきょくせんだと言いえる
• 点てんがグラフ上じょうにあるかを、 代入だいにゅうして一致いっちするかで判定はんていできる

まとめ

• 比例ひれい $y=ax$、 グラフは原点げんてんを通とおる直線ちょくせん
• 反比例はんぴれい $y=\frac{a}{x}$、 $x\times y=a$ は一定いってい、 グラフは双曲線そうきょくせん
• 点てんは $(x座標,y座標)$ で表あらわす
• 点てんがグラフ上じょうか → $x$座標ざひょうを式しきに入いれて $y$座標ざひょうと一致いっちするか調しらべる

次じ章しょうでは、 平面図形へいめんずけい (作図さくず・移動いどう・おうぎ形がた) を学まなびます。