微分びぶん法ほうの基本きほん

この 章しょう で 学まなぶ こと

数学すうがく II で は 多項式たこうしき の 微分びぶん$\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$ だけ で した。 数学すうがく III で は 三さん角かく・指数しすう・対数たいすう な ど あらゆる 関かん数すう を 微び分ぶん でき る よう に なる ため、 まず 計けい算さん道どう具ぐ を そろえ ます。

• 微び分ぶん係数けいすう と 導関数しるべかんすう の 復ふく習しゅう (数学すうがく II)
• 積の微分せきのびぶん ($fg$ の 微び分ぶん)
• 商の微分しょうのびぶん ($f/g$ の 微び分ぶん)
• 合成関数ごうせいかんすう の 微び分ぶん (= 連鎖律れんさりつ chain rule)
• 逆関数ぎゃくかんすう の 微び分ぶん
• 陰関数いんかんすう の 微び分ぶん

ポイント: こ の 章しょう は 公こう式しき を 体からだ で 覚おぼえ る 章しょう で す。 第だい 4 章しょう (三さん角かく・指し数すう・対たい数すう の 微び分ぶん) と 第だい 5 章しょう (応おう用よう) で 何なん度ど も 使つかう ので、 ここ で の 訓くん練れん が 後ご を 決きめ ます。

1. 微分びぶん の 定義ていぎ (復習ふくしゅう)

関かん数すう$f\left(x\right)$ の $x$ に お け る 微分係数びぶんけいすう:

$f^{\prime }\left(x\right)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

これ を $x$ の 関かん数すう と み た もの が 導関数しるべかんすう $f^{\prime }\left(x\right)$ で す。 別表べっぴょう記き と し て:

$\frac{dy}{dx},\frac{d}{dx}f\left(x\right),y^{\prime }$

大事だいじ: $\frac{dy}{dx}$ は 「$y$ を $x$ で 微び分ぶん す る」 と い う 操そう作さ。 分数ぶんすう で は な い が、 合成関数ごうせいかんすう の 微び分ぶん で は 分ぶん数すう の よう に 約やく分ぶん でき る 重じゅう要よう な 性せい質しつ が あり ます (後述こうじゅつ)。

基本きほん公式こうしき の 再さい確認かくにん

公こう式しき	内ない容よう
$(c{)}^{\prime }=0$	定てい数すう
$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$	$n$ は 実じっ数すう でも OK (数学すうがく III で 拡かく張ちょう)
$\left\{kf\right(x){\}}^{\prime }=k{f}^{\prime }(x)$	定てい数すう倍ばい
$\{f\pm g{\}}^{\prime }=f^{\prime }\pm g^{\prime }$	線せん形けい性せい

拡かく張ちょう注ちゅう意い: 数学すうがく II で は $n$ は 自し然ぜん数 だ け で し た が、 数学すうがく III で は $\sqrt{x}=x^{1/2}$ や $\frac{1}{x}=x^{-1}$ も 同どう じ 公こう式しき が 使つかえ ます。 例れい: $(x^{1/2}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}$。

2. 積つむ の 微分びぶん

公式こうしき

$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

覚おぼえ 方かた: 「前まえ を 微分びぶん し て 後ご を そ の ま ま + 前まえ を そ の ま ま で 後ご を 微分びぶん」。 (fg)' = f'g + fg' を 「ふ・じ + ふ・じ」 と 唱となえる 人ひと も。

例れい 1

$y=x^2\sin x$ の 微び分ぶん (sin x の 微び分ぶん が cos x で あ る こ と は 第だい 4 章しょう で)。

$y^{\prime }=(x^2{)}^{\prime }\sin x+x^2(\sin x{)}^{\prime }=2x\sin x+x^2\cos x$

3 つ 以上いじょう の 積

$(fgh{)}^{\prime }=f^{\prime }gh+f{g}^{\prime }h+fg{h}^{\prime }$ (微び分ぶん す る 場ば所しょ を ず ら し て 足あし す)。

3. 商しょう の 微分びぶん

公式こうしき

${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$

覚おぼえ 方かた: 「分子ぶんし微分びぶん × 分母ぶんぼ - 分子ぶんし × 分母ぶんぼ微分びぶん、 全ぜん体たい を 分母ぶんぼ の 2 乗じょう」。 引 き 算さん の 順じゅん番ばん に 注ちゅう意い (分子ぶんし微分びぶん が 先せん)。

例れい 2

$y=\frac{x}{x^2+1}$ の 微び分ぶん。

$y^{\prime }=\frac{1\cdot (x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$

応おう用よう: $y^{\prime }=0$ より $x=\pm 1$。 こ れ が 第だい 5 章しょう の 極値きょくち に つ な が り ま す。

例れい 3 商しょう の 公式こうしき の 覚おぼえ方かた別べつver

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ を 微び分ぶん:

$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot (-\sin x)}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

4. 合成ごうせい関数かんすう の 微分びぶん (連鎖れんさ律りつ)

公式こうしき

$y=f\left(u\right)$、 $u=g\left(x\right)$ の とき、

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

イメージ: $\frac{dy}{du}$ と $\frac{du}{dx}$ を 分数ぶんすう の よう に か け 合ごう わ せ る。 こ の 記き号ごう の 約やく分ぶん が ラ イ プ ニ ッ ツ 記き法ほう の 強つよ さ。 別表ひょう記き で は $\left(f\right(g\left(x\right)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g\left(x\right))\cdot g^{\prime }(x)$。

手順てじゅん

1. 外がい の 関かん数すう $f$ を $u$ で 微び分ぶん
2. 内ない の 関かん数すう $g$ を $x$ で 微び分ぶん
3. 掛かけ け 合ごう わ せ る

例れい 4 ベキ 関数かんすう × 内側うちがわ

$y=(3x+1{)}^5$ の 微び分ぶん。 $u=3x+1$ と お く と $y=u^5$。

$\frac{dy}{dx}=5u^4\cdot 3=15(3x+1{)}^4$

例れい 5 三角さんかく関数かんすう × 内側うちがわ

$y=\sin \left(x^2\right)$ の 微び分ぶん。 $u=x^2$、 $y=\sin u$。

$\frac{dy}{dx}=\cos u\cdot 2x=2x\cos \left(x^2\right)$

大事だいじ: $\sin \left(x^2\right)\ne {\sin }^{2}x$。 前ぜん者しゃ は 「$x^2$ の sin」、 後こう者しゃ は 「sin x の 2 乗じょう」。 連れん鎖さ律 で は 「内ない側がわ の 関かん数すう が 何なに か」 を 必 ず 意い識しき す る。

例れい 6 多重たじゅう合成ごうせい

$y=\sqrt{\sin (2x+1)}$。 内うち から 外そと へ 順じゅん に: $u=2x+1$、 $v=\sin u$、 $y=\sqrt{v}$。

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{v}}\cdot \cos u\cdot 2=\frac{\cos (2x+1)}{\sqrt{\sin (2x+1)}}$

コツ: 多重たじゅう合成ごうせい は 「外がい から はが す」。 一いち番ばん外そと側がわ の 関かん数すう を 微び分ぶん し て、 中なか を そ の ま ま 残ざん し、 そ こ に 「中なか の 微び分ぶん」 を か け る。 こ れ を 再さい帰き的てき に 繰くり 返かえ す。

5. 逆ぎゃく関数かんすう の 微分びぶん

公式こうしき

$y=f\left(x\right)$ の 逆関数ぎゃくかんすう を $x=g\left(y\right)$ と す る と、

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

(分母ぶんぼ が ゼロ で な い と し て)。 これ も 分数ぶんすう の 約やく分ぶん の よう に 見みえ る。

例れい 7 ルート の 微分びぶん

$y=\sqrt{x}$ ($x>0$) の 微び分ぶん を 逆ぎゃく関かん数すう で。 $y^2=x$ な ので $\frac{dx}{dy}=2y$。 よって、

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

これ は $(x^{1/2}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}$ と 一いっ致ち。

例れい 8 逆ぎゃく三角さんかく関数かんすう の 微分びぶん

$y=\arcsin x$ () の 微び分ぶん。 $x=\sin y$、 $\frac{dx}{dy}=\cos y$。

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

発はっ展てん: 高校こうこう の 範はん囲い で は 必ひっ須す で は な い が、 大学だいがく で は 必ひっ須す。 余よ裕ゆう が あれ ば。

6. 陰かげ関数かんすう の 微分びぶん

定義ていぎ

$y$ が $x$ の 関かん数すう と し て 明めい示じ的 に 解かい け な い 形かたち (例れい: $x^2+y^2=1$) の こ と を 陰関数いんかんすう と い う。

微分びぶん法ほう

両辺りょうへん を $x$ で 微び分ぶん し、 $y$ は $x$ の 関かん数すう と み な し て 連鎖律れんさりつ を 使し う。

例れい 9 円えん の 接線せっせん

$x^2+y^2=1$ を $x$ で 微び分ぶん:

$2x+2y\frac{dy}{dx}=0\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$

点$(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$ に お け る 接せっ線せん の 傾かたむき は $-\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$。

応おう用よう: 円えん や 楕円だえん、 双曲線そうきょくせん な ど 2 次曲線きょくせん の 接せっ線せん を 求もとめ め る と き に 使し う。

7. 章しょう末まつ まとめ

公こう式しき	内ない容よう
積つむ	$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$
商しょう	${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$
合ごう成せい (連れん鎖さ律)	$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$
逆ぎゃく関かん数すう	$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy}$
陰かげ関かん数すう	両辺りょうへん を $x$ で 微び分ぶん し $\frac{dy}{dx}$ を 解かい く

次じ の 章しょう へ: こ こ ま で の 道どう具ぐ を 使し って 第だい 4 章しょう で 三さん角かく・指し数すう・対たい数すう関かん数すう の 微び分ぶん を 一いっ気き に 押おさえ ま す。 公こう式しき は 多おお い が、 暗あん記き よ り 「導出どうしゅつ の 流ながれ れ」 を 押 さ え る と 楽らく で す。