微分びぶん法ほうの基本きほん

この章しょうで学まなぶこと

数学すうがく II では 多項式たこうしき の 微分びぶん $\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$ だけでした。 数学すうがく III では 三さん角かく・指数しすう・対数たいすう などあらゆる関かん数すう を微び分ぶん できるようになるため、 まず 計けい算さん道どう具ぐ をそろえます。

• 微び分ぶん 係数けいすう と 導関数どうかんすう の復ふく習しゅう (数学すうがく II)
• 積の微分せきのびぶん ($fg$ の微び分ぶん)
• 商の微分しょうのびぶん ($f/g$ の微び分ぶん)
• 合成関数ごうせいかんすう の微び分ぶん (= 連鎖律れんさりつ chain rule)
• 逆関数ぎゃくかんすう の微び分ぶん
• 陰関数いんかんすう の微び分ぶん

ポイント: この章しょうは 公こう式しき を体からだで覚おぼえる 章しょうです。 第だい 4 章しょう (三さん角かく・指し数すう・対たい数すう の微び分ぶん) と第だい 5 章しょう (応おう用よう) で何なん度ども使つかうので、 ここでの 訓くん練れん が後ごを決きめます。

1. 微分びぶんの定義ていぎ (復習ふくしゅう)

関かん数すう $f\left(x\right)$ の $x$ における 微分係数びぶんけいすう:

$f^{\prime }\left(x\right)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

これを $x$ の関かん数すう とみたものが 導関数どうかんすう $f^{\prime }\left(x\right)$ です。 別表べっぴょう記き として:

$\frac{dy}{dx},\frac{d}{dx}f\left(x\right),y^{\prime }$

大事だいじ: $\frac{dy}{dx}$ は 「$y$ を $x$ で微び分ぶん する」 という操そう作さ。 分数ぶんすう ではないが、 合成関数の微分ごうせいかんすうのびぶん では 分ぶん数すう のように約やく分ぶん できる 重じゅう要よう な性せい質しつ があります (後述こうじゅつ)。

基本きほん公式こうしきの再さい確認かくにん

公こう式しき	内ない容よう
$(c{)}^{\prime }=0$	定てい数すう
$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$	$n$ は 実じっ数すう でも OK (数学すうがく III で拡かく張ちょう)
$\left\{kf\right(x){\}}^{\prime }=k{f}^{\prime }(x)$	定てい数すう倍ばい
$\{f\pm g{\}}^{\prime }=f^{\prime }\pm g^{\prime }$	線せん形けい性せい

拡かく張ちょう注ちゅう意い: 数学すうがく II では $n$ は自し然ぜん数だけでしたが、 数学すうがく III では $\sqrt{x}=x^{1/2}$ や $\frac{1}{x}=x^{-1}$ も同おなじ公こう式しき が使つかえます。 例れい: $(x^{1/2}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}$。

2. 積せきの微分びぶん

公式こうしき

$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

覚おぼえ方かた: 「前まえを微分びぶんして後ごをそのまま + 前まえをそのままで後のちを微分びぶん」。 (fg)' = f'g + fg' を 「ふ・じ + ふ・じ」 と唱となえる人ひとも。

例れい 1

$y=x^2\sin x$ の微び分ぶん (sin x の微び分ぶん が cos x であることは第だい 4 章しょうで)。

$y^{\prime }=(x^2{)}^{\prime }\sin x+x^2(\sin x{)}^{\prime }=2x\sin x+x^2\cos x$

3 つ以上いじょうの積

$(fgh{)}^{\prime }=f^{\prime }gh+f{g}^{\prime }h+fg{h}^{\prime }$ (微び分ぶん する場ば所しょ をずらして足たす)。

3. 商しょうの微分びぶん

公式こうしき

${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$

覚おぼえ方かた: 「分子ぶんし微分びぶん × 分母ぶんぼ - 分子ぶんし × 分母ぶんぼ微分びぶん、 全ぜん体たい を 分母ぶんぼの 2 乗じょう」。 引ひき算ざんの 順じゅん番ばん に注ちゅう意い (分子ぶんし微分びぶんが先せん)。

例れい 2

$y=\frac{x}{x^2+1}$ の微び分ぶん。

$y^{\prime }=\frac{1\cdot (x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$

応おう用よう: $y^{\prime }=0$ より $x=\pm 1$。 これが第だい 5 章しょうの 極値きょくち につながります。

例れい 3 商しょうの公式こうしきの覚おぼえ方かた別べつver

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ を微び分ぶん:

$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot (-\sin x)}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

4. 合成ごうせい関数かんすうの微分びぶん (連鎖れんさ律りつ)

公式こうしき

$y=f\left(u\right)$、 $u=g\left(x\right)$ のとき、

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

イメージ: $\frac{dy}{du}$ と $\frac{du}{dx}$ を 分数ぶんすう のようにかけ合あわせる。 この 記き号ごう の約やく分ぶん がライプニッツ記き法ほう の強つよさ。 別表ひょう 記き では $\left(f\right(g\left(x\right)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g\left(x\right))\cdot g^{\prime }(x)$。

手順てじゅん

1. 外がいの関かん数すう $f$ を $u$ で微び分ぶん
2. 内ないの関かん数すう $g$ を $x$ で微び分ぶん
3. 掛かけ合あわせる

例れい 4 ベキ関数かんすう × 内側うちがわ

$y=(3x+1{)}^5$ の微び分ぶん。 $u=3x+1$ とおくと $y=u^5$。

$\frac{dy}{dx}=5u^4\cdot 3=15(3x+1{)}^4$

例れい 5 三角さんかく関数かんすう × 内側うちがわ

$y=\sin \left(x^2\right)$ の微び分ぶん。 $u=x^2$、 $y=\sin u$。

$\frac{dy}{dx}=\cos u\cdot 2x=2x\cos \left(x^2\right)$

大事だいじ: $\sin \left(x^2\right)\ne {\sin }^{2}x$。 前ぜん者しゃ は 「$x^2$ の sin」、 後こう者しゃ は 「sin x の 2 乗じょう」。 連れん鎖さ律では 「内ない側がわの関かん数すう が何なにか」 を必かならず意い識しき する。

例れい 6 多重たじゅう合成ごうせい

$y=\sqrt{\sin (2x+1)}$。 内うちから外そとへ順じゅんに: $u=2x+1$、 $v=\sin u$、 $y=\sqrt{v}$。

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{v}}\cdot \cos u\cdot 2=\frac{\cos (2x+1)}{\sqrt{\sin (2x+1)}}$

コツ: 多重たじゅう合成ごうせいは 「外がいからはがす」。 一いち番ばん外そと側がわ の関かん数すう を微び分ぶん して、 中なかをそのまま残のこし、 そこに 「中なかの微び分ぶん」 をかける。 これを 再さい帰き的てき に繰くり返かえす。

5. 逆ぎゃく関数かんすうの微分びぶん

公式こうしき

$y=f\left(x\right)$ の 逆関数ぎゃくかんすう を $x=g\left(y\right)$ とすると、

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

(分母ぶんぼがゼロでないとして)。 これも 分数ぶんすう の約やく分ぶん のように見みえる。

例れい 7 ルートの微分びぶん

$y=\sqrt{x}$ ($x>0$) の微び分ぶん を逆ぎゃく関かん数すう で。 $y^2=x$ なので $\frac{dx}{dy}=2y$。 よって、

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

これは $(x^{1/2}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}$ と一いっ致ち。

例れい 8 逆ぎゃく三角さんかく関数かんすうの微分びぶん

$y=\arcsin x$ () の微び分ぶん。 $x=\sin y$、 $\frac{dx}{dy}=\cos y$。

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

発はっ展てん: 高校こうこうの範はん囲い では必ひっ須す ではないが、 大学だいがくでは必ひっ須す。 余よ裕ゆう があれば。

6. 陰かげ関数かんすうの微分びぶん

定義ていぎ

$y$ が $x$ の関かん数すう として 明めい示じ的に解とけない 形かたち (例れい: $x^2+y^2=1$) のことを 陰関数いんかんすう という。

微分びぶん法ほう

両辺りょうへんを $x$ で微び分ぶん し、 $y$ は $x$ の関かん数すう とみなして 連鎖律れんさりつ を使つかう。

例れい 9 円えんの接線せっせん

$x^2+y^2=1$ を $x$ で微び分ぶん:

$2x+2y\frac{dy}{dx}=0\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$

点$(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$ における接せっ線せん の 傾かたむきは $-\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$。

応おう用よう: 円えんや 楕円だえん、 双曲線そうきょくせん など 2 次じ曲線きょくせん の接せっ線せん を求もとめるときに使つかう。

7. 章しょう末まつまとめ

公こう式しき	内ない容よう
積つむ	$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$
商しょう	${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$
合ごう成せい (連れん鎖さ律)	$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$
逆ぎゃく関かん数すう	$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy}$
陰かげ関かん数すう	両辺りょうへんを $x$ で微び分ぶん し $\frac{dy}{dx}$ を解とく

次じの章しょうへ: ここまでの道どう具ぐ を使つかって第だい 4 章しょうで 三さん角かく・指し数すう・対たい数すう関かん数すう の微び分ぶん を一いっ気き に押おさえます。 公こう式しき は多おおいが、 暗あん記き より 「導出どうしゅつの流ながれ」 を押おさえると楽らくです。