この 章 で 学ぶ こと
数学 II で は 多項式 の 微分dxdxn=nxn−1 だけ で した。 数学 III で は 三角・指数・対数 な ど あらゆる 関数 を 微分 でき る よう に なる ため、 まず 計算道具 を そろえ ます。
- 微分係数 と 導関数 の 復習 (数学 II)
- 積の微分 (fg の 微分)
- 商の微分 (f/g の 微分)
- 合成関数 の 微分 (= 連鎖律 chain rule)
- 逆関数 の 微分
- 陰関数 の 微分
ポイント: こ の 章 は 公式 を 体 で 覚え る 章 で す。 第 4 章 (三角・指数・対数 の 微分) と 第 5 章 (応用) で 何度 も 使う ので、 ここ で の 訓練 が 後 を 決め ます。
1. 微分 の 定義 (復習)
関数f(x) の x に お け る 微分係数:
f′(x)=limh→0hf(x+h)−f(x)
これ を x の 関数 と み た もの が 導関数 f′(x) で す。 別表記 と し て:
dxdy,dxdf(x),y′
大事: dxdy は 「y を x で 微分 す る」 と い う 操作。 分数 で は な い が、 合成関数 の 微分 で は 分数 の よう に 約分 でき る 重要 な 性質 が あり ます (後述)。
基本公式 の 再確認
| 公式 | 内容 |
|---|
| (c)′=0 | 定数 |
| (xn)′=nxn−1 | n は 実数 でも OK (数学 III で 拡張) |
| {kf(x)}′=kf′(x) | 定数倍 |
| {f±g}′=f′±g′ | 線形性 |
拡張注意: 数学 II で は n は 自然数 だ け で し た が、 数学 III で は x=x1/2 や x1=x−1 も 同 じ 公式 が 使え ます。 例: (x1/2)′=21x−1/2。
2. 積 の 微分
公式
(fg)′=f′g+fg′
覚え 方: 「前 を 微分 し て 後 を そ の ま ま + 前 を そ の ま ま で 後 を 微分」。 (fg)' = f'g + fg' を 「ふ・じ + ふ・じ」 と 唱える 人 も。
例 1
y=x2sinx の 微分 (sin x の 微分 が cos x で あ る こ と は 第 4 章 で)。
y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx
3 つ 以上 の 積
(fgh)′=f′gh+fg′h+fgh′ (微分 す る 場所 を ず ら し て 足 す)。
3. 商 の 微分
公式
(gf)′=g2f′g−fg′
覚え 方: 「分子微分 × 分母 - 分子 × 分母微分、 全体 を 分母 の 2 乗」。 引 き 算 の 順番 に 注意 (分子微分 が 先)。
例 2
y=x2+1x の 微分。
y′=(x2+1)21⋅(x2+1)−x⋅2x=(x2+1)21−x2
応用: y′=0 より x=±1。 こ れ が 第 5 章 の 極値 に つ な が り ま す。
例 3 商 の 公式 の 覚え方別ver
tanx=cosxsinx を 微分:
(tanx)′=cos2xcosx⋅cosx−sinx⋅(−sinx)=cos2xcos2x+sin2x=cos2x1
4. 合成関数 の 微分 (連鎖律)
公式
y=f(u)、 u=g(x) の とき、
dxdy=dudy⋅dxdu
イメージ: dudy と dxdu を 分数 の よう に か け 合 わ せ る。 こ の 記号 の 約分 が ラ イ プ ニ ッ ツ 記法 の 強 さ。 別表記 で は (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)。
手順
- 外 の 関数 f を u で 微分
- 内 の 関数 g を x で 微分
- 掛 け 合 わ せ る
例 4 ベキ 関数 × 内側
y=(3x+1)5 の 微分。 u=3x+1 と お く と y=u5。
dxdy=5u4⋅3=15(3x+1)4
例 5 三角関数 × 内側
y=sin(x2) の 微分。 u=x2、 y=sinu。
dxdy=cosu⋅2x=2xcos(x2)
大事: sin(x2)=sin2x。 前者 は 「x2 の sin」、 後者 は 「sin x の 2 乗」。 連鎖律 で は 「内側 の 関数 が 何 か」 を 必 ず 意識 す る。
例 6 多重合成
y=sin(2x+1)。 内 から 外 へ 順 に: u=2x+1、 v=sinu、 y=v。
dxdy=2v1⋅cosu⋅2=sin(2x+1)cos(2x+1)
コツ: 多重合成 は 「外 から はが す」。 一番外側 の 関数 を 微分 し て、 中 を そ の ま ま 残 し、 そ こ に 「中 の 微分」 を か け る。 こ れ を 再帰的 に 繰り 返 す。
5. 逆関数 の 微分
公式
y=f(x) の 逆関数 を x=g(y) と す る と、
dxdy=dydx1
(分母 が ゼロ で な い と し て)。 これ も 分数 の 約分 の よう に 見え る。
例 7 ルート の 微分
y=x (x>0) の 微分 を 逆関数 で。 y2=x な ので dydx=2y。 よって、
dxdy=2y1=2x1
これ は (x1/2)′=21x−1/2 と 一致。
例 8 逆三角関数 の 微分
y=arcsinx (−1<x<1) の 微分。 x=siny、 dydx=cosy。
dxdy=cosy1=1−sin2y1=1−x21
発展: 高校 の 範囲 で は 必須 で は な い が、 大学 で は 必須。 余裕 が あれ ば。
6. 陰関数 の 微分
定義
y が x の 関数 と し て 明示的 に 解 け な い 形 (例: x2+y2=1) の こ と を 陰関数 と い う。
微分法
両辺 を x で 微分 し、 y は x の 関数 と み な し て 連鎖律 を 使 う。
例 9 円 の 接線
x2+y2=1 を x で 微分:
2x+2ydxdy=0⟹dxdy=−yx
点(21,23) に お け る 接線 の 傾き は −3/21/2=−31。
応用: 円 や 楕円、 双曲線 な ど 2 次曲線 の 接線 を 求 め る と き に 使 う。
7. 章末 まとめ
| 公式 | 内容 |
|---|
| 積 | (fg)′=f′g+fg′ |
| 商 | (gf)′=g2f′g−fg′ |
| 合成 (連鎖律) | dxdy=dudy⋅dxdu |
| 逆関数 | dxdy=dx/dy1 |
| 陰関数 | 両辺 を x で 微分 し dxdy を 解 く |
次 の 章 へ: こ こ ま で の 道具 を 使 って 第 4 章 で 三角・指数・対数関数 の 微分 を 一気 に 押さえ ま す。 公式 は 多 い が、 暗記 よ り 「導出 の 流 れ」 を 押 さ え る と 楽 で す。