媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

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1. 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじ (パラメータぱらめーた表示ひょうじ) と は どんな表あらわし方かたですか？
   • ・$y$ を $x$ の 式 で 1 つ に 決 め る ($y=f(x)$)
   • ・第 3 の 変 数 $t$ を 介 し て $x=f(t), y=g(t)$ と 書 く
   • ・$x$ と $y$ の 関 係 を 不等とう式しき で 表 す
   • ・極座標きょくざひょう $(r, \theta)$ で 表 す
2. 単位円たんいえん ($x^{2}+y^{2}=1$) の パラメータ表示ひょうじとして正ただしいものは？
   • ・$x=\sin\theta, y=\cos\theta$ (こ れ も 単 位 円 だ が 始 点 が 違 う)
   • ・$x=t, y=\sqrt{1-t^{2}}$ ($-1\le t\le 1$、 上 半 円 の み)
   • ・$x=\theta\cos\theta, y=\theta\sin\theta$
   • ・$x=\cos\theta, y=\sin\theta$ ($0\le\theta < 2\pi$)
3. 楕円だえん $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ の パラメータ 表示ひょうじ はどれですか？
   • ・$x=a\cos\theta, y=b\sin\theta$
   • ・$x=a\sin\theta, y=b\cos\theta$ (順 序 が 違 う だ け で 同 じ 軌跡せき)
   • ・$x=a\cos\theta, y=a\sin\theta$ ($y$ の 係 数 が 違 う)
   • ・$x=ab\cos\theta, y=ab\sin\theta$
4. サイクロイドさいくろいど (半はん径けい $a$ の円えんを直ちょく線せん上じょうで滑すべらずに転ころがすとき円上えんじょうの 1 点てんがえがく曲きょく線せん) のパラメータ表示ひょうじはどれですか？
   • ・$x = a\cos\theta, y = a\sin\theta$ (円 そ の も の)
   • ・$x = a(\theta + \sin\theta), y = a(1 + \cos\theta)$
   • ・$x = a\cos^{3}\theta, y = a\sin^{3}\theta$ (= アステロイド)
   • ・$x = a(\theta - \sin\theta), y = a(1 - \cos\theta)$
5. $a=1$ の サイクロイドさいくろいど $x=\theta-\sin\theta, y=1-\cos\theta$ の $\theta=\pi/2$ における座標ざひょうは？
   • ・$(\pi/2-1, 1)$
   • ・$(\pi/2, 1)$
   • ・$(\pi/2, 2)$
   • ・$(0, 1)$
6. 半はん径けい $a$ の サイクロイドさいくろいど の 1 周期しゅうき (1 個この山やま) の 横よこ幅はば と 最高さいこう点てんの高たかさ はそれぞれいくらですか？
   • ・横 幅 $\pi a$、 高 さ $a$
   • ・横 幅 $2a$、 高 さ $\pi a$
   • ・横 幅 $2\pi a$、 高 さ $2a$
   • ・横 幅 $4\pi a$、 高 さ $a$
7. 媒ばい介かい変へん数すう表示ひょうじ$x=f(t), y=g(t)$ の 曲きょく線せん の 接線せっせん の 傾 き $\dfrac{dy}{dx}$ は どん な 公こう式しき で 計けい算さん しますか？
   • ・$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dx/dt}{dy/dt}$ (上 下 が 逆)
   • ・$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dx}{dt}$
   • ・$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} = \dfrac{g'(t)}{f'(t)}$
   • ・$\dfrac{dy}{dx} = g'(t) - f'(t)$
8. サイクロイドさいくろいど $x = a(\theta-\sin\theta), y = a(1-\cos\theta)$ の $\theta=\pi/2$ における 接線せっせん の傾きかたむきはいくらですか？
   • ・$1$
   • ・$0$
   • ・$\sqrt{3}$
   • ・傾 き は 存 在 し な い (垂直ちょく)
9. アステロイドあすてろいど (星ほし形がた) の パラメータ表示ひょうじと直接ちょくせつ形がたとして正ただしい組くみはどれですか？
   • ・$x=a\cos\theta, y=a\sin\theta$; $x^{2}+y^{2}=a^{2}$
   • ・$x=a\cos^{3}\theta, y=a\sin^{3}\theta$; $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$
   • ・$x=a\theta, y=a\theta^{2}$; $y=ax^{2}/a$
   • ・$x=a(\theta-\sin\theta), y=a(1-\cos\theta)$; (なし)
10. リサジュー曲線りさじゅーきょくせん $x = A\sin(pt+\delta), y = B\sin(qt)$ で、 $p:q=1:1, \delta = \pi/2$ のとき形かたちはどれですか？
    • ・楕円だえん
    • ・直線せん
    • ・$\infty$ の 形 (横 8 の 字)
    • ・サイクロイド
11. 媒ばい介かい変へん数すう $t$ を 時間じかん と見みたとき、 $(\dot x, \dot y) = (dx/dt, dy/dt)$ が表あらわすものは？
    • ・位置いち ベクトル
    • ・加速度ベクトルかそくどベクトル
    • ・速度ベクトルそくどベクトル
    • ・運動量うんどうりょう ベクトル
12. $x = 2\cos t, y = 3\sin t$ で表あらわされる曲きょく線せん はどれですか？
    • ・中心しん 原点てん、 半径けい $\sqrt{13}$ の 円
    • ・$\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}=1$ の 楕円だえん
    • ・$\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$ の 楕円だえん
    • ・双曲線そうきょくせん $\dfrac{x^{2}}{4} - \dfrac{y^{2}}{9}=1$
13. $x = t - \dfrac{1}{t}, y = t + \dfrac{1}{t}$ ($t\neq 0$) で表あらわされる曲きょく線せん はどれですか？
    • ・放物線ほうぶつせん $y = x^{2}$
    • ・楕円だえん $x^{2}+y^{2}=4$
    • ・直 線 $y = x + 2$
    • ・双曲線そうきょくせん $y^{2} - x^{2} = 4$
14. サイクロイドさいくろいど は 「斜面しゃめんを滑すべらすとどんな始点してんからでも最下さいか点てんに一番いちばん早はやく着つく」 という性せい質しつ があり、 これを何なんと呼よびますか？
    • ・等時曲線とうじきょくせん
    • ・懸垂線けんすいせん (カテナリー)
    • ・螺旋らせん 曲 線
    • ・最速降下線さいそくこうかせん (ブラキストクロン)
15. 中心ちゅうしん $(a, b)$、 半はん径けい $r$ の 円えん の パラメータ表示ひょうじはどれですか？
    • ・$x = a\cos\theta, y = b\sin\theta$ (= 楕円だえん)
    • ・$x = a + \theta, y = b + r\theta$ (= 直 線)
    • ・$x = a + r\cos\theta, y = b + r\sin\theta$
    • ・$x = r\cos(a\theta), y = r\sin(b\theta)$
16. $y = x^{2}$ (放物線ほうぶつせん) の最もっとも単純たんじゅんなパラメータ表示ひょうじは？
    • ・$x = \cos t, y = \cos^{2}t$
    • ・$x = t, y = t^{2}$
    • ・$x = t^{2}, y = t^{4}$
    • ・$x = \sin t, y = \sin^{2}t$
17. サイクロイドさいくろいど $x=a(\theta-\sin\theta), y=a(1-\cos\theta)$ で 接せっ線せん が 垂直すいちょく に な る $\theta$ はどこですか？
    • ・$\theta = \pi$
    • ・$\theta = \pi/2$
    • ・$\theta = 0$ (お よ び $2\pi$ の 倍 数)
    • ・$\theta = \pi/4$
18. $x = e^{t}\cos t, y = e^{t}\sin t$ で表あらわされる曲きょく線せん はどれですか？
    • ・楕円だえん
    • ・サイクロイド
    • ・対数螺旋たいすうらせん (= 等 角 螺旋せん)
    • ・アステロイド
19. $x = t+1, y = t^{2}$ か ら 媒ばい介かい変へん数すう を 消去しょうきょ し た 結けっ果か はどれですか？
    • ・$y = x^{2} + 1$
    • ・$y = x^{2} - 1$
    • ・$y = (x+1)^{2}$
    • ・$y = (x-1)^{2}$
20. オシロスコープおしろすこーぷ で $x$軸・$y$軸に異ことなる周しゅう波は数すうの信しん号ごう を入力にゅうりょくすると現あらわれる曲きょく線せん は？
    • ・リサジュー曲線リサジューきょくせん
    • ・サイクロイド
    • ・対数螺旋たいすうらせん
    • ・カージオイド