楕円だえん一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

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1. 楕円だえん の作図さくず定てい義ぎ として正ただしいものはどれですか？
   • ・2 焦点しょうてん か ら の 距離り の 差 が 一定てい (実 は 双曲線そうきょくせん の 定義ぎ)
   • ・1 焦点しょうてん と 1 準線じゅんせん か ら の 距離り が 等 し い (実 は 放物線ほうぶつせん の 定義ぎ)
   • ・中心しん か ら の 距離り が 一定てい (実 は 円 の 定義ぎ)
   • ・2 焦点しょうてん か ら の 距離り の 和 が 一定てい
2. 焦点しょうてん $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F}'(-c, 0)$、 距きょ離り の 和$2a$ ($a > c$) の 楕円だえん の 標ひょう準じゅん形かたち で、 $b$ と $a, c$ の関係かんけいは？
   • ・$b = a + c$
   • ・$b = a - c$
   • ・$b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}$
   • ・$b = \sqrt{a^{2} + c^{2}}$
3. 楕円だえん $\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{16}=1$ の 焦点しょうてん の座標ざひょうはどこですか？
   • ・$(\pm 4, 0)$
   • ・$(\pm 3, 0)$
   • ・$(\pm 5, 0)$
   • ・$(0, \pm 3)$
4. 楕円だえん $\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{16}=1$ の 長軸ちょうじく の 長ちょう さ と 短軸たんじく の 長ちょう さ はそれぞれいくらですか？
   • ・長軸じく $5$、 短軸じく $4$
   • ・長軸じく $10$、 短軸じく $8$
   • ・長軸じく $25$、 短軸じく $16$
   • ・長軸じく $8$、 短軸じく $10$
5. 楕円だえん の 離心率りしんりつ $e$ の 定てい義ぎ と 範はん囲い はどれですか？
   • ・$e = a/c$、 $1 \le e$
   • ・$e = b/a$、 $0 \le e \le 1$
   • ・$e = c^{2}/a^{2}$、 $-1 < e < 1$
   • ・$e = c/a$、 $0 \le e < 1$
6. 楕円だえん $\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{16}=1$ の 離心率りしんりつ はいくらですか？
   • ・$4/5$
   • ・$3/4$
   • ・$1$
   • ・$3/5$
7. 楕円だえん $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ($a>b>0$) 上うえ の 点$(x_0, y_0)$ における 接線せっせん の 方程てい式 は？
   • ・$x_0 x + y_0 y = a b$
   • ・$\dfrac{x_0 x}{a^{2}} + \dfrac{y_0 y}{b^{2}} = 1$
   • ・$\dfrac{x_0 x}{a} + \dfrac{y_0 y}{b} = 1$
   • ・$(x-x_0)^{2} + (y-y_0)^{2} = 0$
8. 楕円だえん $\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{4}=1$上 の 点$(2, \sqrt{3})$ における 接線せっせん の 方程てい式 は？
   • ・$2x + \sqrt{3}y = 8$
   • ・$x + y = 2 + \sqrt{3}$
   • ・$\sqrt{3}x + 2y = 8$
   • ・$x + 2\sqrt{3}y = 8$
9. 楕円だえん $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ が囲かこむ面積めんせき $S$ は？
   • ・$\pi(a + b)$
   • ・$\pi(a^{2} + b^{2})$
   • ・$4ab$
   • ・$\pi a b$
10. 楕円だえん $\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}=1$ が囲かこむ面積めんせき はいくらですか？
    • ・$13\pi$
    • ・$36\pi$
    • ・$6\pi$
    • ・$9\pi$
11. 楕円だえん の パラメータ表示パラメータひょうじ $x = a\cos\theta, y = b\sin\theta$ で用もちいる $\theta$ の名前なまえは？
    • ・中心しん 角
    • ・焦点しょうてん 角
    • ・偏角へんかく
    • ・離心角りしんかく (= 補 助 角)
12. 楕円だえん の 反はん射しゃ性せい質しつ について正ただしい記述きじゅつはどれですか？
    • ・中心しん か ら 出 た 光 が 平 行 光 に な る
    • ・一 方 の 焦点しょうてん か ら 出 た 光 や 音 波 は もう 一 方 の 焦点しょうてん に 集 ま る
    • ・準線じゅんせん に 平 行 な 光 が 焦点しょうてん に 集 ま る
    • ・光 が 全 て 散 乱 さ れ る
13. ケプラーけぷらー の 第だい 1 法ほう則そく を 表ひょう す 極方程式きょくほうていしき $r = \dfrac{a(1-e^{2})}{1+e\cos\theta}$ で、 太陽たいように最もっとも近ちかい点てん (近日点きんじつてん) で の $r$ は？
    • ・$r = a$
    • ・$r = a(1-e)$
    • ・$r = a(1+e)$
    • ・$r = 0$
14. ケプラーけぷらー の 第だい 2 法ほう則そく (面積めんせき速度そくど一いっ定てい の 法ほう則そく) と物理ぶつり量りょうとして何なにが保存ほぞんされますか？
    • ・運動量うんどうりょう
    • ・角運動量かくうんどうりょう
    • ・力学的エネルギーりきがくてきエネルギー
    • ・速 さ
15. ケプラーけぷらー の 第だい 3 法ほう則そく (調ちょう和わ の 法ほう則そく) は どんな関係かんけいですか？
    • ・$T \propto a$ (周 期 が 長軸じく 半径けい に 比 例)
    • ・$T \propto a^{2}$
    • ・$T^{3} \propto a^{2}$
    • ・$T^{2} \propto a^{3}$
16. 楕円だえん $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ($a>b>0$) を 円えん から作つくる変へん換かん として正ただしいものは？
    • ・円 $x^{2}+y^{2}=b^{2}$ を $x$ 方向こう に $a/b$ 倍 に 伸 ば す
    • ・円 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ を $y$ 方向こう に $b/a$ 倍 に 押 し つ ぶ す
    • ・円 を $45°$ 回 転 す る だ け
    • ・円 と 楕円だえん は 全 く 別 の 図 形 で 変換かん で 結 び つ か な い
17. 楕円だえん の 準線じゅんせん (焦点しょうてん $\mathrm{F}(c,0)$ に 対応たいおう) の 方程てい式はどれですか？
    • ・$x = c$
    • ・$x = a + c$
    • ・$x = a/e = a^{2}/c$
    • ・$y = b/e$
18. ハレー彗星すいせい ($e=0.967$) と 地球ちきゅう ($e=0.017$) で、 軌き道どう が 「ほ ぼ 円えん」 に近ちかいのはどちらですか？
    • ・ハレー彗星 (大 き い $e$ ほ ど 円)
    • ・両 方 と も 同 じ
    • ・地 球 ($e$ が 0 に 近 い ほ ど 円)
    • ・離心率りしんりつ と 形 は 無 関 係
19. 楕円だえん $\dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{25}=1$ の 焦点しょうてん はどこにありますか？
    • ・$x$ 軸 上 $(\pm 4, 0)$
    • ・$x$ 軸 上 $(\pm \sqrt{34}, 0)$
    • ・$y$ 軸 上 $(0, \pm 4)$
    • ・原点てん
20. 楕円だえん $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$上 の 点$\mathrm{P}$ に 対たい し、 $\mathrm{PF} + \mathrm{PF}'$ はいくらですか？ ($\mathrm{F}, \mathrm{F}'$ は 2 焦点しょうてん)
    • ・$\mathrm{P}$ の 位置ち に よ っ て 変 わ る
    • ・$2b$
    • ・$2c$
    • ・$2a$ (= 長軸じく の 長 さ、 一定てい)