表ひょうとグラフの応用おうよう

この章しょうで学まなぶこと

第だい 4 章しょうで学まなんだ 比例ひれい と 反比例はんぴれい を、 もう一度いちど 「表ひょう」 「式しき」 「グラフぐらふ」 の 3 つの視点してんで結むすびつけて、 実生活じっせいかつの場面ばめんに使つかえる道具どうぐ に仕上しあげます。

• 「表ひょう」 「式しき」 「グラフ」 を 自由じゆうに行いき来き できる
• グラフから 比例ひれいか反比例はんぴれいか を見分みわけられる
• 2 つのグラフの 交点こうてん がもつ意味いみを理解かいする
• 速さはやさ・道のりみちのり・時間じかん を比例ひれいで表あらわせる
• 面積めんせき・体積たいせき一定いってい の場面ばめんを反比例はんぴれいで表あらわせる
• 表ひょう・グラフから 未知みちの値あたい を読よみ取とる (補間ほかん)

ポイント: 関数かんすうは 「数式すうしきをいじる数学すうがく」 だけでなく、 「見みえる形かたちにする数学すうがく」。 表ひょう・式しき・グラフの 3 点てんセットで考かんがえるクセをつけましょう。

1. 表ひょう ・ 式しき ・ グラフの行いき来き

比例ひれいの場合ばあい

$y=3x$ の例れい:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$-6$	$-3$	$0$	$3$	$6$	$9$

表ひょう → 式しき	$\frac{y}{x}$ が一定いってい ($=3$) → $y=3x$
式しき → グラフ	原点げんてんと別べつ 1 点てん ($x=1$ で $y=3$ など) を結むすぶ直線ちょくせん
グラフ → 式しき	原点げんてんを通とおる直線ちょくせん → 比例ひれい。 1 点$(1,3)$ を読よみ取とり $a=3$

反比例はんぴれいの場合ばあい

$y=\frac{12}{x}$ の例れい:

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$6$	$12$
$y$	$12$	$6$	$4$	$3$	$2$	$1$

表ひょう → 式しき	$xy$ が一定いってい ($=12$) → $y=\frac{12}{x}$
式しき → グラフ	$a>0$ なら第だい 1・3 象限しょうげんの双曲線そうきょくせん
グラフ → 式しき	1 点$(2,6)$ を読よみ取とり $a=xy=12$

大事だいじ: 比例ひれいの見分みわけ = $\frac{y}{x}$ が一定いってい。 反比例はんぴれいの見分みわけ = $xy$ が一定いってい。

2. グラフから式しきを求もとめる

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
原点げんてんを通とおる直線ちょくせんが点$(2,-6)$ を通とおる。 式しきを求もとめよ。	比例ひれいと判断はんだん、 $-6=2a$、 $a=-3$、 $y=-3x$
双曲線そうきょくせんが点$(3,4)$ を通とおる。 式しきを求もとめよ。	反比例はんぴれいと判断はんだん、 $a=xy=12$、 $y=\frac{12}{x}$
上うえの比例ひれいで $x=-5$ のときの $y$ は？	$y=-3\times (-5)=15$
上うえの反比例はんぴれいで $y=-2$ のときの $x$ は？	$-2=\frac{12}{x}$、 $x=-6$

やってみよう: 原点げんてんを通とおる直線ちょくせんが点$(-4,8)$ を通とおるときの式しきを求もとめよ。 (答えこたえ: $a=\frac{8}{-4}=-2$、 $y=-2x$)

3. 速はやさ ・ 道のりみちのり ・ 時間じかん

3 つの関係かんけい:

$道のり=速さ\times 時間$

速はやさが一定いっていのとき (比例ひれい)

時速じそく 60 km の自動車じどうしゃが $x$時間じかんで進すすむ道のりみちのり $y$ km は:

$y=60x(比例、 比例$定数ていすう 60)y = 60x \quad (\text{比例、 比例 定数ていすう } 60)

道のりみちのりが一定いっていのとき (反比例はんぴれい)

100 km の道みちを時速じそく$x$ km で $y$時間じかんかけて進すすむと、

$x\times y=100⟹y=\frac{100}{x}\left(反比例\right)$

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
時速じそく 4 km で $x$時間じかん歩あるいた道のりみちのり $y$ km。 グラフはどうなるか。	$y=4x$ — 原点げんてんを通とおり、 $x=1$ で $y=4$ の直線ちょくせん
道のりみちのり 60 km を時速じそく$x$ km で進すすむ時間じかん$y$時間じかん。 $x=30$ のときの $y$ は。	$y=\frac{60}{x}=\frac{60}{30}=2$時間じかん

4. 面積めんせき ・ 体積たいせきが一定いっていの場面ばめん

長方形ちょうほうけい (面積めんせき一定いってい)

面積めんせき$24$ cm² の長方形ちょうほうけいで、 たて $x$ cm、 横$y$ cm なら $xy=24$、 すなわち $y=\frac{24}{x}$ (反比例はんぴれい)。

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$6$	$8$	$12$
$y$	$24$	$12$	$8$	$6$	$4$	$3$	$2$

長方形ちょうほうけい (たて一定いってい → 横よこと面積めんせきが比例ひれい)

たて 5 cm 一定いっていの長方形ちょうほうけいで、 横$x$ cm のときの面積めんせき$y$ cm² は:

$y=5x\left(比例\right)$

大事だいじ: 同おなじ 「長方形ちょうほうけい」 でも、 何なにを一定いっていとするか で比例ひれいか反比例はんぴれいかが変かわる。

5. 2 つのグラフと交点こうてん

速はやさのちがう 2 人ひとを比くらべる

A さんは時速じそく 4 km で歩あるく: $y=4x$ B さんは時速じそく 6 km で歩あるく: $y=6x$

時間じかん$x$ (時間じかん)	$0.5$	$1$	$1.5$	$2$
A の道のりみちのり	$2$	$4$	$6$	$8$
B の道のりみちのり	$3$	$6$	$9$	$12$

両者りょうしゃを同おなじグラフにかくと、 B の直線ちょくせんのほうが 急きゅう になる。 同おなじ時間じかんで B の方ほうが進すすむ。

出発しゅっぱつがちがう場合ばあい

A が 30 分ぶん早はやく出発しゅっぱつしたとすると、 グラフは 「A は 0.5 時間じかん早はやくから始はじまる直線ちょくせん」、 B は 「0 から始はじまる直線ちょくせん」。 2 直線ちょくせんが交まじわる点てんが B が A に追おいつくとき。

大事だいじ: 2 つのグラフの交点こうてん は、 「2 つの量りょうが同おなじ値あたいになるとき」 を表あらわす。

6. グラフや表ひょうから値あたいを読よみ取とる

補間ほかん (とちゅうの値ちを推測すいそく)

表ひょうやグラフで 「$x=2.5$ のときの $y$」 のように、 データでーたにない値あたいを推測すいそくすることを 補間ほかん といいます。

例れい: $y=3x$ なら $x=2.5$ → $y=7.5$。 直線ちょくせんや双曲線そうきょくせん上じょうで読よみ取とれる。

例題れいだい

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
比例ひれい$y=5x$ のグラフで、 $y=35$ のときの $x$ を読よみ取とれ。	$35=5x$、 $x=7$
反比例はんぴれい$y=\frac{36}{x}$ で、 $x=9$ のときの $y$ を読よみ取とれ。	$y=4$

やってみよう: 反比例はんぴれい$y=\frac{a}{x}$ のグラフが点$(2,5)$ を通とおるとき、 $x=4$ のときの $y$ を求もとめよ。 (答えこたえ: $a=10$、 $y=\frac{10}{4}=2.5$)

まとめ

• 関数かんすうは 表ひょう・式しき・グラフ の 3 つで表あらわせる、 行いき来きができるように
• 比例ひれい = 「$\frac{y}{x}$ が一定いってい」 → グラフは原点げんてんを通とおる直線ちょくせん
• 反比例はんぴれい = 「$xy$ が一定いってい」 → グラフは双曲線そうきょくせん
• 速はやさ一定いってい での道のりみちのり ↔ 時間じかん = 比例ひれい
• 道のりみちのり (面積めんせき・体積たいせき) 一定いってい での速はやさ ↔ 時間じかん = 反比例はんぴれい
• 2 つのグラフの交点こうてん = 2 量りょうが同おなじになる場面ばめん