この 章 で 学ぶ こと
第 4 章 で 学んだ 比例 と 反比例 を、 もう 一度 「表」 「式」 「グラフ」 の 3 つ の 視点 で 結び つけて、 実生活 の 場面 に 使える 道具 に 仕上げます。
- 「表」 「式」 「グラフ」 を 自由 に 行き来 できる
- グラフ から 比例 か 反比例 か を 見分けられる
- 2 つ の グラフ の 交点 が もつ 意味 を 理解 する
- 速さ・道のり・時間 を 比例 で 表せる
- 面積・体積一定 の 場面 を 反比例 で 表せる
- 表・グラフ から 未知 の 値 を 読み 取る (補間)
ポイント: 関数 は 「数式 を いじる 数学」 だけ で なく、 「見える 形 に する 数学」。 表・式・グラフ の 3 点 セット で 考える クセ を つけ ま しょう。
1. 表 ・ 式 ・ グラフ の 行き 来
比例 の 場合
y=3x の 例:
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|
| y | −6 | −3 | 0 | 3 | 6 | 9 |
| 表 → 式 | xy が 一定 (=3) → y=3x |
|---|
| 式 → グラフ | 原点 と 別 1 点 (x=1 で y=3 など) を 結ぶ 直線 |
| グラフ → 式 | 原点 を 通る 直線 → 比例。 1 点(1,3) を 読み 取り a=3 |
反比例 の 場合
y=x12 の 例:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 12 |
|---|
| y | 12 | 6 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| 表 → 式 | xy が 一定 (=12) → y=x12 |
|---|
| 式 → グラフ | a>0 なら 第 1・3 象限 の 双曲線 |
| グラフ → 式 | 1 点(2,6) を 読み 取り a=xy=12 |
大事: 比例 の 見分け = xy が 一定。 反比例 の 見分け = xy が 一定。
2. グラフ から 式 を 求める
例題
| 問題 | 解法 |
|---|
| 原点 を 通る 直線 が 点(2,−6) を 通る。 式 を 求めよ。 | 比例 と 判断、 −6=2a、 a=−3、 y=−3x |
| 双曲線 が 点(3,4) を 通る。 式 を 求めよ。 | 反比例 と 判断、 a=xy=12、 y=x12 |
| 上 の 比例 で x=−5 の とき の y は? | y=−3×(−5)=15 |
| 上 の 反比例 で y=−2 の とき の x は? | −2=x12、 x=−6 |
やって みよう: 原点 を 通る 直線 が 点(−4,8) を 通る とき の 式 を 求めよ。 (答え: a=−48=−2、 y=−2x)
3. 速 さ ・ 道 の り ・ 時間
3 つ の 関係:
道のり=速さ×時間
速 さ が 一定 の とき (比例)
時速 60 km の 自動車 が x時間 で 進む 道のり y km は:
y=60x(比例、 比例 定数 60)
道 の り が 一定 の とき (反比例)
100 km の 道 を 時速x km で y時間 か けて 進む と、
x×y=100⟹y=x100(反比例)
例題
| 問題 | 解法 |
|---|
| 時速 4 km で x時間歩いた 道のり y km。 グラフ は どう なる か。 | y=4x — 原点 を 通り、 x=1 で y=4 の 直線 |
| 道のり 60 km を 時速x km で 進む 時間y時間。 x=30 の とき の y は。 | y=x60=3060=2時間 |
4. 面積 ・ 体積 が 一定 の 場面
長方形 (面積一定)
面積24 cm² の 長方形 で、 たて x cm、 横y cm な ら xy=24、 すなわち y=x24 (反比例)。
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 12 |
|---|
| y | 24 | 12 | 8 | 6 | 4 | 3 | 2 |
長方形 (たて 一定 → 横 と 面積 が 比例)
たて 5 cm 一定 の 長方形 で、 横x cm の とき の 面積y cm² は:
y=5x(比例)
大事: 同じ 「長方形」 で も、 何 を 一定 と する か で 比例 か 反比例 か が 変わる。
5. 2 つ の グラフ と 交点
速 さ の ち が う 2 人 を 比べる
A さん は 時速 4 km で 歩く: y=4x
B さん は 時速 6 km で 歩く: y=6x
| 時間x (時間) | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 |
|---|
| A の 道のり | 2 | 4 | 6 | 8 |
| B の 道のり | 3 | 6 | 9 | 12 |
両者 を 同じ グラフ に かく と、 B の 直線 の ほう が 急 に なる。 同じ 時間 で B の 方 が 進む。
出発 が ちがう 場合
A が 30 分早く 出発 した と する と、 グラフ は 「A は 0.5 時間早く から 始まる 直線」、 B は 「0 から 始まる 直線」。 2 直線 が 交わる 点 が B が A に 追いつく とき。
大事: 2 つ の グラフ の 交点 は、 「2 つ の 量 が 同じ 値 に なる とき」 を 表す。
6. グラフ や 表 から 値 を 読み 取る
補間 (とちゅう の 値 を 推測)
表 や グラフ で 「x=2.5 の とき の y」 の よう に、 デ ー タ に な い 値 を 推測 する こと を 補間 と いいます。
例: y=3x なら x=2.5 → y=7.5。 直線 や 双曲線上 で 読み 取れる。
例題
例題
| 問題 | 解法 |
|---|
| 比例y=5x の グラフ で、 y=35 の とき の x を 読み 取れ。 | 35=5x、 x=7 |
| 反比例y=x36 で、 x=9 の とき の y を 読み 取れ。 | y=4 |
やって みよう: 反比例y=xa の グラフ が 点(2,5) を 通る とき、 x=4 の とき の y を 求めよ。 (答え: a=10、 y=410=2.5)
まとめ
- 関数 は 表・式・グラフ の 3 つ で 表せる、 行き来 が できる よう に
- 比例 = 「xy が 一定」 → グラフ は 原点 を 通る 直線
- 反比例 = 「xy が 一定」 → グラフ は 双曲線
- 速 さ 一定 で の 道のり ↔ 時間 = 比例
- 道のり (面積・体積) 一定 で の 速 さ ↔ 時間 = 反比例
- 2 つ の グラフ の 交点 = 2 量 が 同じ に な る 場面