表ひょう と グラフ の 応用おうよう

この 章しょう で 学まなぶ こと

第だい 4 章しょう で 学まなんだ 比例ひれい と 反比例はんぴれい を、 もう 一度いちど 「表ひょう」 「式しき」 「グラフ」 の 3 つ の 視点してん で 結むすび つけて、 実生活じっせいかつ の 場面ばめん に 使つかえる 道具どうぐ に 仕上しあげます。

• 「表ひょう」 「式しき」 「グラフ」 を 自由じゆう に 行いき来き できる
• グラフ から 比例ひれい か 反比例はんぴれい か を 見分みわけられる
• 2 つ の グラフ の 交点こうてん が もつ 意味いみ を 理解りかい する
• 速はやさ・道みちのり・時間じかん を 比例ひれい で 表あらわせる
• 面積めんせき・体積たいせき一定いってい の 場面ばめん を 反比例はんぴれい で 表あらわせる
• 表ひょう・グラフ から 未知みち の 値ね を 読よみ 取とる (補間ほかん)

ポイント: 関数かんすう は 「数式すうしき を いじる 数学すうがく」 だけ で なく、 「見みえる 形かたち に する 数学すうがく」。 表ひょう・式しき・グラフ の 3 点てん セット で 考かんがえる クセ を つけ ま しょう。

1. 表ひょう ・ 式しき ・ グラフ の 行いき 来き

比例ひれい の 場合ばあい

$y=3x$ の 例れい:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$-6$	$-3$	$0$	$3$	$6$	$9$

表ひょう → 式しき	$\frac{y}{x}$ が 一定いってい ($=3$) → $y=3x$
式しき → グラフ	原点げんてん と 別べつ 1 点てん ($x=1$ で $y=3$ など) を 結むすぶ 直線ちょくせん
グラフ → 式しき	原点げんてん を 通とおる 直線ちょくせん → 比例ひれい。 1 点$(1,3)$ を 読よみ 取とり $a=3$

反比例はんぴれい の 場合ばあい

$y=\frac{12}{x}$ の 例れい:

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$6$	$12$
$y$	$12$	$6$	$4$	$3$	$2$	$1$

表ひょう → 式しき	$xy$ が 一定いってい ($=12$) → $y=\frac{12}{x}$
式しき → グラフ	$a>0$ なら 第だい 1・3 象限しょうげん の 双曲線そうきょくせん
グラフ → 式しき	1 点$(2,6)$ を 読よみ 取とり $a=xy=12$

大事だいじ: 比例ひれい の 見分みわけ = $\frac{y}{x}$ が 一定いってい。 反比例はんぴれい の 見分みわけ = $xy$ が 一定いってい。

2. グラフ から 式しき を 求もとめる

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
原点げんてん を 通とおる 直線ちょくせん が 点$(2,-6)$ を 通とおる。 式しき を 求もとめよ。	比例ひれい と 判断はんだん、 $-6=2a$、 $a=-3$、 $y=-3x$
双曲線そうきょくせん が 点$(3,4)$ を 通とおる。 式しき を 求もとめよ。	反比例はんぴれい と 判断はんだん、 $a=xy=12$、 $y=\frac{12}{x}$
上うえ の 比例ひれい で $x=-5$ の とき の $y$ は？	$y=-3\times (-5)=15$
上うえ の 反比例はんぴれい で $y=-2$ の とき の $x$ は？	$-2=\frac{12}{x}$、 $x=-6$

やって みよう: 原点げんてん を 通とおる 直線ちょくせん が 点$(-4,8)$ を 通とおる とき の 式しき を 求もとめよ。 (答こたえ: $a=\frac{8}{-4}=-2$、 $y=-2x$)

3. 速はや さ ・ 道みち の り ・ 時間じかん

3 つ の 関係かんけい:

$道のり=速さ\times 時間$

速はや さ が 一定いってい の とき (比例ひれい)

時速じそく 60 km の 自動車じどうしゃ が $x$時間じかん で 進すすむ 道みちのり $y$ km は:

$y=60x\left(比例、 比例 定数 60\right)$

道みち の り が 一定いってい の とき (反比例はんぴれい)

100 km の 道みち を 時速じそく$x$ km で $y$時間じかん か けて 進すすむ と、

$x\times y=100⟹y=\frac{100}{x}\left(反比例\right)$

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
時速じそく 4 km で $x$時間じかん歩あるいた 道みちのり $y$ km。 グラフ は どう なる か。	$y=4x$ — 原点げんてん を 通とおり、 $x=1$ で $y=4$ の 直線ちょくせん
道みちのり 60 km を 時速じそく$x$ km で 進すすむ 時間じかん$y$時間じかん。 $x=30$ の とき の $y$ は。	$y=\frac{60}{x}=\frac{60}{30}=2$時間じかん

4. 面積めんせき ・ 体積たいせき が 一定いってい の 場面ばめん

長方形ちょうほうけい (面積めんせき一定いってい)

面積めんせき$24$ cm² の 長方形ちょうほうけい で、 たて $x$ cm、 横$y$ cm な ら $xy=24$、 すなわち $y=\frac{24}{x}$ (反比例はんぴれい)。

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$6$	$8$	$12$
$y$	$24$	$12$	$8$	$6$	$4$	$3$	$2$

長方形ちょうほうけい (たて 一定いってい → 横よこ と 面積めんせき が 比例ひれい)

たて 5 cm 一定いってい の 長方形ちょうほうけい で、 横$x$ cm の とき の 面積めんせき$y$ cm² は:

$y=5x\left(比例\right)$

大事だいじ: 同おなじ 「長方形ちょうほうけい」 で も、 何なに を 一定いってい と する か で 比例ひれい か 反比例はんぴれい か が 変かわる。

5. 2 つ の グラフ と 交点こうてん

速はや さ の ち が う 2 人ひと を 比くらべる

A さん は 時速じそく 4 km で 歩あるく: $y=4x$ B さん は 時速じそく 6 km で 歩あるく: $y=6x$

時間じかん$x$ (時間じかん)	$0.5$	$1$	$1.5$	$2$
A の 道みちのり	$2$	$4$	$6$	$8$
B の 道みちのり	$3$	$6$	$9$	$12$

両者りょうしゃ を 同おなじ グラフ に かく と、 B の 直線ちょくせん の ほう が 急きゅう に なる。 同おなじ 時間じかん で B の 方かた が 進すすむ。

出発しゅっぱつ が ちがう 場合ばあい

A が 30 分ぶん早はやく 出発しゅっぱつ した と する と、 グラフ は 「A は 0.5 時間じかん早はやく から 始はじまる 直線ちょくせん」、 B は 「0 から 始はじまる 直線ちょくせん」。 2 直線ちょくせん が 交まじわる 点てん が B が A に 追おいつく とき。

大事だいじ: 2 つ の グラフ の 交点こうてん は、 「2 つ の 量りょう が 同おなじ 値ね に なる とき」 を 表あらわす。

6. グラフ や 表ひょう から 値ね を 読よみ 取とる

補間ほかん (とちゅう の 値ね を 推測すいそく)

表ひょう や グラフ で 「$x=2.5$ の とき の $y$」 の よう に、 デ ー タ に な い 値ね を 推測すいそく する こと を 補間ほかん と いいます。

例れい: $y=3x$ なら $x=2.5$ → $y=7.5$。 直線ちょくせん や 双曲線そうきょくせん上じょう で 読よみ 取とれる。

例題れいだい

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
比例ひれい$y=5x$ の グラフ で、 $y=35$ の とき の $x$ を 読よみ 取とれ。	$35=5x$、 $x=7$
反比例はんぴれい$y=\frac{36}{x}$ で、 $x=9$ の とき の $y$ を 読よみ 取とれ。	$y=4$

やって みよう: 反比例はんぴれい$y=\frac{a}{x}$ の グラフ が 点$(2,5)$ を 通とおる とき、 $x=4$ の とき の $y$ を 求もとめよ。 (答こたえ: $a=10$、 $y=\frac{10}{4}=2.5$)

まとめ

• 関数かんすう は 表ひょう・式しき・グラフ の 3 つ で 表あらわせる、 行いき来き が できる よう に
• 比例ひれい = 「$\frac{y}{x}$ が 一定いってい」 → グラフ は 原点げんてん を 通とおる 直線ちょくせん
• 反比例はんぴれい = 「$xy$ が 一定いってい」 → グラフ は 双曲線そうきょくせん
• 速そく さ 一定いってい で の 道みちのり ↔ 時間じかん = 比例ひれい
• 道みちのり (面積めんせき・体積たいせき) 一定いってい で の 速はや さ ↔ 時間じかん = 反比例はんぴれい
• 2 つ の グラフ の 交点こうてん = 2 量りょう が 同おなじ に な る 場面ばめん