この 章 で 学ぶ こと
これ ま で の 関数 は y=f(x) の 形 で 「x を 決 め れ ば y が 決 ま る」 と い う 書 き 方 で し た。 数学 C で は、 第 3 の 変数t (媒介変数、 パラメータ) を 介 し て
x=f(t),y=g(t)
と 書 く 媒介変数表示 を 学 び ま す。 こ の 方法 で、 円 が 縦 に も 横 に も 動 け、 自己交差 す る サイクロイド な ど 複雑 な 曲線 が 自由 に 書 け る よ う に な り ま す。
- 媒介変数表示 の 基本 と y=f(x) へ の 変換
- 円・楕円 の パラメータ 表示
- サイクロイド・アステロイド・リサジュー曲線
- 媒介変数表示 で の 接線 の 傾 き dxdy=dx/dtdy/dt
- 物理 と の つ な が り (位置・速度・加速度)
ポイント: y=f(x) で は 1 つ の x に 1 つ の y し か 対応 で き ま せ ん で し た。 媒介変数 を 使 え ば、 同 じ x に 異 な る y を 持 つ 曲線 (円・楕円・サイクロイド) も 自然 に 表 せ ま す。 物理 で は t を 時間 と 解釈 す れ ば そ の ま ま 軌道 を 表 す 強力 な 道具 に な り ま す。
1. 媒介変数表示 と は
基本 の 考え方
x と y を 直接結 ば ず、 第 3 の 変数t を 介 し て
{x=f(t)y=g(t)
と 書 く 方法 を 媒介変数表示 と 言 い ま す。 t の 値 を 1 つ 決 め る と 平面上 の 点(x,y) が 1 つ 決 ま り、 t を 動 か す と 点 が 軌跡 を え が き ま す。
例 1: 直線 の パラメータ 表示
点A(1,2) を 通 り、 方向ベクトルd=(3,1) の 直線 は
{x=1+3ty=2+t
t を 消去 す る と t=y−2、 こ れ を 第 1 式 に 代入 し て x=1+3(y−2)、 つ ま り x=3y−5。
例 2: 放物線 の パラメータ 表示
y=x2 は そ の ま ま x=t,y=t2 と 書 け ま す。
2. 円 と 楕円 の パラメータ 表示
単位円
中心(0,0)、 半径 1 の 単位円 は、 角θ を 媒介変数 と し て
x=cosθ,y=sinθ(0≤θ<2π)
と 書 け ま す。 cos2θ+sin2θ=1 よ り x2+y2=1 が 出 ま す。
一般 の 円
中心(a,b)、 半径r の 円 は
x=a+rcosθ,y=b+rsinθ
楕円
長半径a、 短半径b の 楕円 は
x=acosθ,y=bsinθ(0≤θ<2π)
cosθ=x/a,sinθ=y/b を cos2+sin2=1 に 代入 す る と
a2x2+b2y2=1
第 5 章 で 詳 し く 学 ぶ 楕円 の 標準形 で す。
3. サイクロイド
定義 と 式
半径a の 円 を 直線上 で 滑 ら ず に 転 が す と き、 円上 の 1 点 が え が く 曲線 を サイクロイド と 呼 び ま す。 円 が 角θ だ け 回転 し た と き、 接触点 は 弧 の 長 さ aθ だ け 進 ん で い る か ら、 中心 は (aθ,a)。 円上 の 点P は そ の 中心 か ら 角−θ (+y方向 か ら 時計回 り) の 位置 に あ る の で
{x=a(θ−sinθ)y=a(1−cosθ)
サイクロイド の 性質
| 性質 | 内容 |
|---|
| 1 周期 の 横幅 | 2πa |
| 最高点 の 高 さ | 2a (θ=π で y=2a) |
| 1 周期 の 弧長 | 8a (大学 で 計算) |
| 1 周期 と 軸 で 囲 む 面積 | 3πa2 |
例題 1
a=1 の サイクロイド の θ=π/2 に お け る 座標 を 求 め よ。
解: x=π/2−sin(π/2)=π/2−1、 y=1−cos(π/2)=1。 よ っ て (π/2−1,1)。
物理 と の つながり
サイクロイド は 最速降下線 (ブラキストクロン) の 解 と し て 知 ら れ、 さ ら に 等時曲線 (出発点 が ど こ で あ っ て も 最下点 ま で 同 じ 時間 で つ く) で も あ る、 物理学上重要 な 曲線 で す。
4. アステロイド と その 仲間
アステロイド
星 の 形 4 つ の と が り を 持 つ 曲線 を アステロイド と 呼 び ま す。
x=acos3θ,y=asin3θ
(ax)2/3=cos2θ、 (ay)2/3=sin2θ で あ り、 cos2θ+sin2θ=1 よ り
x2/3+y2/3=a2/3
これ は 半径a の 円 の 内側 を、 半径a/4 の 小 さ い 円 が 滑 ら ず に 転 が る と き の 軌跡 (内サイクロイド) と し て 得 ら れ ま す。
心臓形 (カージオイド)
ρ=a(1+cosθ) (極座標表示)
第 3 章 で 学 ぶ 極方程式 で 表 さ れ る 心臓形 (カージオイド) も、 半径a/2 の 円 を 同 じ 大 き さ の 円 の 外側 で 転 が す と き の 軌跡 で す。
5. リサジュー 曲線
定義
x方向 と y方向 に 異 な る 周期 で 単振動 す る 点 が え が く 曲線 を リサジュー曲線 と 呼 び ま す。
x=Asin(pt+δ),y=Bsin(qt)
p,q の 比 と 位相差δ で 曲線 の 形 が 変 わ り ま す。
代表的 な 形
| p:q | 位相差δ | 形 |
|---|
| 1:1 | 0 | 直線 (傾 き B/A) |
| 1:1 | π/2 | [[楕円 |
| 1:2 | π/2 | ∞ の 形 (横 8 の 字) |
| 2:3 | 0 | 結 び 目状 の 複雑 な 形 |
物理 と の つながり
オシロスコープ で x軸・y軸 に 異 な る 周波数 の 信号 を 入力 す る と、 リサジュー 曲線 が 表示 さ れ ま す。 形 か ら 周波数比 と 位相差 を 読 み 取 る の が 古典的 な 周波数測定 の 方法 で す。
6. 媒介変数表示 で の 微分
接線 の 傾 き
媒介変数表示x=f(t),y=g(t) で 表 さ れ る 曲線 の 接線 の 傾 き は
dxdy=dx/dtdy/dt=f′(t)g′(t)(f′(t)=0)
例題 2 (サイクロイド の 接線)
x=a(θ−sinθ),y=a(1−cosθ) の θ=π/2 に お け る 接線 の 傾 き を 求 め よ。
解:
dθdx=a(1−cosθ),dθdy=asinθ
dxdy=a(1−cosθ)asinθ=1−cosθsinθ
θ=π/2 で sin(π/2)=1,cos(π/2)=0 よ り 傾 き は 11=1。
速度 と 加速度 (物理)
t を 時間 と 見 る と、 媒介変数表示 の 微分 は そ の ま ま 速度ベクトル
v=(dtdx,dtdy)
を 表 し、 もう 1 回微分 す る と 加速度ベクトル に な り ま す。 物理 と 数学 を つ な ぐ 重要 な 道具 で す。
7. 媒介変数 を 消去 する 練習
三角関数 を 含 む 場合
sin2+cos2=1 や 1+tan2=sec2 を 使 い ま す。
例: x=2cost,y=3sint → cost=x/2,sint=y/3 → 4x2+9y2=1 (楕円)。
1 次関数 が 入 る 場合
直接解 い て 代入 し ま す。
例: x=t+1,y=t2 → t=x−1 → y=(x−1)2 (放物線)。
例題 3
x=t−t1,y=t+t1 (t=0) で 表 さ れ る 曲線 を 求 め よ。
解: y2−x2=(t+1/t)2−(t−1/t)2=4。 よ っ て y2−x2=4 (双曲線)。
8. まとめ — 曲線 の 設計図
媒介変数表示 は、 「y=f(x) で は 書 け な い 複雑 な 曲線 を 書 く 設計図」 で す。
| 表示 | 利点 | 例 |
|---|
| y=f(x) | x か ら y が 直接求 ま る | 放物線、 [[指数関数 |
| 媒介変数(x,y)=(f(t),g(t)) | 自己交差 や ル ー プ も 表 せ る | 円・サイクロイド・リサジュー |
| [[極方程式 | きょくほうていしき]]r=f(θ) (Ch3) | 中心 か ら の 距離 と 角 で 表 す |
章末 まとめ
- 媒介変数表示 = (x,y)=(f(t),g(t))
- 円 = (cosθ,sinθ)、 楕円 = (acosθ,bsinθ)
- サイクロイド = (a(θ−sinθ),a(1−cosθ))
- 接線 の 傾 き = dx/dtdy/dt
- t を 時間 と 見 る と 物理 の 速度・加速度 に つ な が る