媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ (サイクロイド・リサジュー)

この章しょうで学まなぶこと

これまでの関数かんすうは $y=f\left(x\right)$ の形かたちで 「$x$ を決きめれば $y$ が決きまる」 という書かき方かたでした。 数学すうがく C では、 第だい 3 の変数へんすう$t$ (媒介変数ばいかいへんすう、 パラメータぱらめーた) を介かいして

$x=f\left(t\right),y=g\left(t\right)$

と書かく 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじ を学まなびます。 この方法ほうほうで、 円えんが縦たてにも横よこにも動うごけ、 自己じこ交差こうさするサイクロイドさいくろいどなど 複ふく雑ざつな曲線きょくせん が自じ由ゆうに書かけるようになります。

• 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじの基本きほんと $y=f\left(x\right)$ への変換へんかん
• 円えん・楕円だえんのパラメータ表示ひょうじ
• サイクロイドさいくろいど・アステロイドあすてろいど・リサジュー曲線りさじゅーきょくせん
• 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじでの 接せっ線せん の傾きかたむき $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$
• 物理ぶつりとのつながり (位い置ち・速度そくど・加速度かそくど)

ポイント: $y=f\left(x\right)$ では 1 つの $x$ に 1 つの $y$ しか対たい応おうできませんでした。 媒介ばいかい変数へんすうを使つかえば、 同おなじ $x$ に異ことなる $y$ を持もつ曲きょく線せん (円えん・楕円だえん・サイクロイド) も自し然ぜんに表あらわせます。 物理ぶつりでは $t$ を 時間じかん と解かい釈しゃくすればそのまま軌き道どうを表あらわす強力きょうりょくな道どう具ぐになります。

1. 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじとは

基本きほんの考かんがえ方かた

$x$ と $y$ を直接ちょくせつ結むすばず、 第だい 3 の変数へんすう$t$ を介かいして

$\{x=f\left(t\right)y=g\left(t\right)$

と書かく方法ほうほうを 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじ と言いいます。 $t$ の値あたいを 1 つ決きめると平へい面めん上じょうの点$(x,y)$ が 1 つ決きまり、 $t$ を動うごかすと点てんが 軌跡きせき をえがきます。

例れい 1: 直線ちょくせんのパラメータ表示ひょうじ

点$A(1,2)$ を通とおり、 方ほう向こうベクトルべくとる $d⃗=(3,1)$ の直ちょく線せんは

$\{x=1+3ty=2+t$

$t$ を消去しょうきょすると $t=y-2$、 これを第だい 1 式しきに代入だいにゅうして $x=1+3(y-2)$、 つまり $x=3y-5$。

例れい 2: 放物線ほうぶつせんのパラメータ表示ひょうじ

$y=x^2$ はそのまま $x=t,y=t^2$ と書かけます。

2. 円えんと楕円だえんのパラメータ表示ひょうじ

単位たんい円えん

中心ちゅうしん $(0,0)$、 半はん径けい 1 の 単位円たんいえん は、 角$\theta$ を媒介変数ばいかいへんすうとして

と書かけます。 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ より $x^2+y^2=1$ が出でます。

一般いっぱんの円えん

中心ちゅうしん $(a,b)$、 半はん径けい $r$ の円えんは

$x=a+r\cos \theta ,y=b+r\sin \theta$

楕円だえん

長半はん径けい $a$、 短たん半はん径けい $b$ の 楕円だえん は

$\cos \theta =x/a,\sin \theta =y/b$ を ${\cos }^2+{\sin }^2=1$ に代入だいにゅうすると

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

第 5 章しょうで詳くわしく学まなぶ楕円だえんの標ひょう準じゅん形かたちです。

3. サイクロイド

定義ていぎと式しき

半はん径けい $a$ の円えんを直ちょく線せん上じょうで滑すべらずに転ころがすとき、 円上えんじょうの 1 点てんがえがく曲線きょくせんを サイクロイドさいくろいど と呼よびます。 円えんが角$\theta$ だけ回転かいてんしたとき、 接触せっしょく点てんは弧この長ながさ $a\theta$ だけ進すすんでいるから、 中心ちゅうしんは $(a\theta ,a)$。 円上えんじょうの点$P$ はその中心ちゅうしんから角$-\theta$ ($+y$方ほう向こうから時計とけい回まわり) の位い置ちにあるので

$\{x=a(\theta -\sin \theta )y=a(1-\cos \theta )$

サイクロイドの性質せいしつ

性せい質しつ	内ない容よう
1 周期しゅうきの横よこ幅はば	$2\pi a$
最高さいこう点てんの高たかさ	$2a$ ($\theta =\pi$ で $y=2a$)
1 周期しゅうきの弧こ長ちょう	$8a$ (大学だいがくで計けい算さん)
1 周期しゅうきと軸じくで囲かこむ面積めんせき	$3\pi a^2$

例題れいだい 1

$a=1$ のサイクロイドの $\theta =\pi /2$ における座標ざひょうを求もとめよ。

解かい: $x=\pi /2-\sin \left(\pi /2\right)=\pi /2-1$、 $y=1-\cos \left(\pi /2\right)=1$。 よって $(\pi /2-1,1)$。

物理ぶつりとのつながり

サイクロイドさいくろいどは 最速降下線さいそくこうかせん (ブラキストクロン) の解かいとして知しられ、 さらに 等時曲線とうじきょくせん (出発しゅっぱつ点てんがどこであっても最下さいか点てんまで同おなじ時じ間かんでつく) でもある、 物理ぶつり学がく上じょう重要じゅうような曲きょく線せんです。

4. アステロイドとその仲間なかま

アステロイド

星ほしの形かたち 4 つのとがりを持もつ曲きょく線せんを アステロイドあすてろいど と呼よびます。

$x=a{\cos }^3\theta ,y=a{\sin }^3\theta$

${\left(\frac{x}{a}\right)}^{2/3}={\cos }^2\theta$、 ${\left(\frac{y}{a}\right)}^{2/3}={\sin }^2\theta$ であり、 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ より

$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$

これは半はん径けい $a$ の円えんの内側うちがわを、 半はん径けい $a/4$ の小ちいさい円えんが滑すべらずに転ころがるときの軌き跡せき (内ないサイクロイド) として得えられます。

心臓しんぞう形がた (カージオイド)

$\rho =a(1+\cos \theta )$ (極座標きょくざひょう表示ひょうじ)

第だい 3 章しょうで学まなぶ極方程式きょくほうていしきで表あらわされる心しん臓ぞう形 (カージオイド) も、 半はん径けい $a/2$ の円えんを同おなじ大おおきさの円えんの外側そとがわで転ころがすときの軌き跡せきです。

5. リサジュー曲線きょくせん

定義ていぎ

$x$方ほう向こうと $y$方ほう向こうに異ことなる周期しゅうきで単振動たんしんどうする点てんがえがく曲きょく線せんを リサジュー曲線りさじゅーきょくせん と呼よびます。

$x=A\sin (pt+\delta ),y=B\sin \left(qt\right)$

$p,q$ の比ひと位い相そう差$\delta$ で曲きょく線せんの形かたちが変かわります。

代表だいひょう的てきな形かたち

$p:q$	位い相そう差$\delta$	形かたち
$1:1$	$0$	直ちょく線せん (傾きかたむき $B/A$)
$1:1$	$\pi /2$	楕円だえん
$1:2$	$\pi /2$	$\infty$ の形かたち (横よこ 8 の字じ)
$2:3$	$0$	結むすび目め状じょうの複ふく雑ざつな形かたち

物理ぶつりとのつながり

オシロスコープおしろすこーぷで $x$軸・$y$軸に異ことなる周しゅう波は数すうの信しん号ごうを入力にゅうりょくすると、 リサジュー曲きょく線せんが表示ひょうじされます。 形かたちから周しゅう波は数かず比ひと位い相そう差を読よみ取とるのが古典こてん的てきな周しゅう波は数測定ていの方法ほうほうです。

6. 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじでの微分びぶん

接線せっせんの傾きかたむき

媒ばい介かい変へん数すう表示ひょうじ$x=f\left(t\right),y=g\left(t\right)$ で表あらわされる曲きょく線せんの 接線せっせん の傾きかたむきは

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{g^{\prime }\left(t\right)}{f^{\prime }\left(t\right)}\left(f^{\prime }\right(t)\ne 0)$

例題れいだい 2 (サイクロイドの接線せっせん)

$x=a(\theta -\sin \theta ),y=a(1-\cos \theta )$ の $\theta =\pi /2$ における接せっ線せんの傾きかたむきを求もとめよ。

解かい:

$\frac{dx}{d\theta }=a(1-\cos \theta ),\frac{dy}{d\theta }=a\sin \theta$

$\frac{dy}{dx}=\frac{a\sin \theta }{a(1-\cos \theta )}=\frac{\sin \theta }{1-\cos \theta }$

$\theta =\pi /2$ で $\sin \left(\pi /2\right)=1,\cos \left(\pi /2\right)=0$ より傾きかたむきは $\frac{1}{1}=1$。

速度そくどと加速度かそくど (物理ぶつり)

$t$ を 時間じかん と見みると、 媒ばい介かい変へん数すう表示ひょうじの微び分ぶんはそのまま 速度ベクトルそくどべくとる

$v⃗=(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})$

を表あらわし、 もう 1 回かい微び分ぶんすると 加速度ベクトルかそくどべくとる になります。 物理ぶつりと数学すうがくをつなぐ重要じゅうような道どう具ぐです。

7. 媒介ばいかい変数へんすうを消去しょうきょする練習れんしゅう

三角さんかく関数かんすうを含ふくむ場合ばあい

${\sin }^2+{\cos }^2=1$ や $1+{\tan }^2={\sec }^2$ を使つかいます。

例れい: $x=2\cos t,y=3\sin t$ → $\cos t=x/2,\sin t=y/3$ → $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ (楕円だえん)。

1 次じ関数かんすうが入はいる場合ばあい

直接ちょくせつ解といて代入だいにゅうします。

例れい: $x=t+1,y=t^2$ → $t=x-1$ → $y=(x-1{)}^2$ (放物線ほうぶつせん)。

例題れいだい 3

$x=t-\frac{1}{t},y=t+\frac{1}{t}$ ($t\ne 0$) で表あらわされる曲きょく線せんを求もとめよ。

解かい: $y^2-x^2=(t+1/t{)}^2-(t-1/t{)}^2=4$。 よって $y^2-x^2=4$ (双曲線そうきょくせん)。

8. まとめ — 曲線きょくせんの設計せっけい図ず

媒ばい介かい変へん数すう表示ひょうじは、 「$y=f\left(x\right)$ では書かけない複ふく雑ざつな曲きょく線せんを書かく設せっ計けい図ず」 です。

表示ひょうじ	利り点てん	例れい
$y=f\left(x\right)$	$x$ から $y$ が直接ちょくせつ求もとまる	放物ぶつ線、 指数関数しすうかんすう
媒ばい介かい変へん数すう $(x,y)=\left(f\right(t),g(t\left)\right)$	自己じこ交差こうさやループも表あらわせる	円えん・サイクロイドさいくろいど・リサジュー
極方程式きょくほうていしき $r=f\left(\theta \right)$ (Ch3)	中心ちゅうしんからの距きょ離りと角かくで表あらわす	心しん臓ぞう形・ばら曲線ばらきょくせん

章しょう末まつまとめ

• 媒ばい介かい変へん数すう表示ひょうじ = $(x,y)=\left(f\right(t),g(t\left)\right)$
• 円えん = $(\cos \theta ,\sin \theta )$、 楕円だえん = $(a\cos \theta ,b\sin \theta )$
• サイクロイドさいくろいど = $\left(a\right(\theta -\sin \theta ),a(1-\cos \theta \left)\right)$
• 接せっ線せんの傾きかたむき = $\frac{dy/dt}{dx/dt}$
• $t$ を時間じかんと見みると物理ぶつりの 速度そくど・加速度かそくど につながる