媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ (サイクロイド・リサジュー)

この 章しょう で 学まなぶ こと

これ ま で の 関数かんすう は $y=f\left(x\right)$ の 形かたち で 「$x$ を 決けつ め れ ば $y$ が 決けつ ま る」 と い う 書しょ き 方かた で し た。 数学すうがく C で は、 第だい 3 の 変数へんすう$t$ (媒介変数ばいかいへんすう、 パラメータ) を 介かい し て

$x=f\left(t\right),y=g\left(t\right)$

と 書しょ く 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじ を 学がく び ま す。 こ の 方法ほうほう で、 円えん が 縦たて に も 横よこ に も 動どう け、 自己じこ交差こうさ す る サイクロイド な ど 複ふく雑ざつ な 曲線きょくせん が 自じ由ゆう に 書しょ け る よ う に な り ま す。

• 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ の 基本きほん と $y=f\left(x\right)$ へ の 変換へんかん
• 円えん・楕円だえん の パラメータ 表示ひょうじ
• サイクロイド・アステロイド・リサジュー曲線リサジューきょくせん
• 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ で の 接せっ線せん の 傾 き $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$
• 物理ぶつり と の つ な が り (位い置ち・速度そくど・加速度かそくど)

ポイント: $y=f\left(x\right)$ で は 1 つ の $x$ に 1 つ の $y$ し か 対たい応おう で き ま せ ん で し た。 媒介ばいかい変数へんすう を 使し え ば、 同どう じ $x$ に 異こと な る $y$ を 持じ つ 曲きょく線せん (円えん・楕円だえん・サイクロイド) も 自し然ぜん に 表ひょう せ ま す。 物理ぶつり で は $t$ を 時間じかん と 解かい釈しゃく す れ ば そ の ま ま 軌き道どう を 表ひょう す 強力きょうりょく な 道どう具ぐ に な り ま す。

1. 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ と は

基本きほん の 考かんがえ方かた

$x$ と $y$ を 直接ちょくせつ結ゆい ば ず、 第だい 3 の 変数へんすう$t$ を 介かい し て

$\{x=f\left(t\right)y=g\left(t\right)$

と 書しょ く 方法ほうほう を 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじ と 言げん い ま す。 $t$ の 値ね を 1 つ 決けつ め る と 平へい面めん上じょう の 点$(x,y)$ が 1 つ 決けつ ま り、 $t$ を 動どう か す と 点てん が 軌跡きせき を え が き ま す。

例れい 1: 直線ちょくせん の パラメータ 表示ひょうじ

点$A(1,2)$ を 通つう り、 方ほう向こうベクトル$d⃗=(3,1)$ の 直ちょく線せん は

$\{x=1+3ty=2+t$

$t$ を 消去しょうきょ す る と $t=y-2$、 こ れ を 第だい 1 式しき に 代入だいにゅう し て $x=1+3(y-2)$、 つ ま り $x=3y-5$。

例れい 2: 放物線ほうぶつせん の パラメータ 表示ひょうじ

$y=x^2$ は そ の ま ま $x=t,y=t^2$ と 書しょ け ま す。

2. 円えん と 楕円だえん の パラメータ 表示ひょうじ

単位たんい円えん

中ちゅう心しん$(0,0)$、 半はん径けい 1 の 単位円たんいえん は、 角$\theta$ を 媒介変数ばいかいへんすう と し て

と 書しょ け ま す。 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ よ り $x^2+y^2=1$ が 出で ま す。

一般いっぱん の 円えん

中ちゅう心しん$(a,b)$、 半はん径けい$r$ の 円えん は

$x=a+r\cos \theta ,y=b+r\sin \theta$

楕円だえん

長半はん径けい$a$、 短たん半はん径けい$b$ の 楕円だえん は

$\cos \theta =x/a,\sin \theta =y/b$ を ${\cos }^2+{\sin }^2=1$ に 代入だいにゅう す る と

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

第 5 章しょう で 詳 し く 学がく ぶ 楕円だえん の 標ひょう準じゅん形かたち で す。

3. サイクロイド

定義ていぎ と 式しき

半はん径けい$a$ の 円えん を 直ちょく線せん上じょう で 滑なめら ら ず に 転てん が す と き、 円上えんじょう の 1 点てん が え が く 曲線きょくせん を サイクロイド と 呼こ び ま す。 円えん が 角$\theta$ だ け 回転かいてん し た と き、 接触せっしょく点てん は 弧こ の 長ちょう さ $a\theta$ だ け 進すすむ ん で い る か ら、 中ちゅう心しん は $(a\theta ,a)$。 円上えんじょう の 点$P$ は そ の 中ちゅう心しん か ら 角$-\theta$ ($+y$方ほう向こう か ら 時計とけい回かい り) の 位い置ち に あ る の で

$\{x=a(\theta -\sin \theta )y=a(1-\cos \theta )$

サイクロイド の 性質せいしつ

性せい質しつ	内ない容よう
1 周期しゅうき の 横よこ幅はば	$2\pi a$
最高さいこう点てん の 高こう さ	$2a$ ($\theta =\pi$ で $y=2a$)
1 周期しゅうき の 弧こ長ちょう	$8a$ (大学だいがく で 計けい算さん)
1 周期しゅうき と 軸じく で 囲 む 面めん積せき	$3\pi a^2$

例題れいだい 1

$a=1$ の サイクロイド の $\theta =\pi /2$ に お け る 座標ざひょう を 求もとめ め よ。

解かい: $x=\pi /2-\sin \left(\pi /2\right)=\pi /2-1$、 $y=1-\cos \left(\pi /2\right)=1$。 よ っ て $(\pi /2-1,1)$。

物理ぶつり と の つながり

サイクロイド は 最速降下線さいそくこうかせん (ブラキストクロン) の 解かい と し て 知ち ら れ、 さ ら に 等時曲線とうじきょくせん (出発しゅっぱつ点てん が ど こ で あ っ て も 最下さいか点てん ま で 同どう じ 時じ間かん で つ く) で も あ る、 物理ぶつり学がく上じょう重要じゅうよう な 曲きょく線せん で す。

4. アステロイド と その 仲間なかま

アステロイド

星ほし の 形かたち 4 つ の と が り を 持じ つ 曲きょく線せん を アステロイド と 呼こ び ま す。

$x=a{\cos }^3\theta ,y=a{\sin }^3\theta$

${\left(\frac{x}{a}\right)}^{2/3}={\cos }^2\theta$、 ${\left(\frac{y}{a}\right)}^{2/3}={\sin }^2\theta$ で あ り、 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ よ り

$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$

これ は 半はん径けい$a$ の 円えん の 内側うちがわ を、 半はん径けい$a/4$ の 小しょう さ い 円えん が 滑なめら ら ず に 転てん が る と き の 軌き跡せき (内サイクロイドサイクロイド) と し て 得とく ら れ ま す。

心臓しんぞう形がた (カージオイド)

$\rho =a(1+\cos \theta )$ (極座標きょくざひょう表示ひょうじ)

第だい 3 章しょう で 学がく ぶ 極方程式きょくほうていしき で 表ひょう さ れ る 心しん臓ぞう形 (カージオイド) も、 半はん径けい$a/2$ の 円えん を 同どう じ 大だい き さ の 円えん の 外側そとがわ で 転てん が す と き の 軌き跡せき で す。

5. リサジュー 曲線きょくせん

定義ていぎ

$x$方ほう向こう と $y$方ほう向こう に 異こと な る 周期しゅうき で 単振動たんしんどう す る 点てん が え が く 曲きょく線せん を リサジュー曲線リサジューきょくせん と 呼こ び ま す。

$x=A\sin (pt+\delta ),y=B\sin \left(qt\right)$

$p,q$ の 比ひ と 位い相そう差$\delta$ で 曲きょく線せん の 形かたち が 変へん わ り ま す。

代表だいひょう的てき な 形かたち

$p:q$	位い相そう差$\delta$	形かたち
$1:1$	$0$	直ちょく線せん (傾 き $B/A$)
$1:1$	$\pi /2$	[[楕円
$1:2$	$\pi /2$	$\infty$ の 形かたち (横よこ 8 の 字じ)
$2:3$	$0$	結むすぶ び 目め状じょう の 複ふく雑ざつ な 形かたち

物理ぶつり と の つながり

オシロスコープ で $x$軸・$y$軸 に 異こと な る 周しゅう波は数すう の 信しん号ごう を 入力にゅうりょく す る と、 リサジュー 曲きょく線せん が 表示ひょうじ さ れ ま す。 形かたち か ら 周しゅう波は数かず比ひ と 位い相そう差 を 読 み 取と る の が 古典こてん的てき な 周しゅう波は数測定てい の 方法ほうほう で す。

6. 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ で の 微分びぶん

接線せっせん の 傾 き

媒ばい介かい変へん数すう表示ひょうじ$x=f\left(t\right),y=g\left(t\right)$ で 表ひょう さ れ る 曲きょく線せん の 接線せっせん の 傾 き は

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{g^{\prime }\left(t\right)}{f^{\prime }\left(t\right)}\left(f^{\prime }\right(t)\ne 0)$

例題れいだい 2 (サイクロイド の 接線せっせん)

$x=a(\theta -\sin \theta ),y=a(1-\cos \theta )$ の $\theta =\pi /2$ に お け る 接せっ線せん の 傾 き を 求もとめ め よ。

解かい:

$\frac{dx}{d\theta }=a(1-\cos \theta ),\frac{dy}{d\theta }=a\sin \theta$

$\frac{dy}{dx}=\frac{a\sin \theta }{a(1-\cos \theta )}=\frac{\sin \theta }{1-\cos \theta }$

$\theta =\pi /2$ で $\sin \left(\pi /2\right)=1,\cos \left(\pi /2\right)=0$ よ り 傾 き は $\frac{1}{1}=1$。

速度そくど と 加速度かそくど (物理ぶつり)

$t$ を 時間じかん と 見み る と、 媒ばい介かい変へん数すう表示ひょうじ の 微び分ぶん は そ の ま ま 速度ベクトルそくどベクトル

$v⃗=(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})$

を 表ひょう し、 もう 1 回かい微び分ぶん す る と 加速度ベクトルかそくどベクトル に な り ま す。 物理ぶつり と 数学すうがく を つ な ぐ 重要じゅうよう な 道どう具ぐ で す。

7. 媒介ばいかい変数へんすう を 消去しょうきょ する 練習れんしゅう

三角さんかく関数かんすう を 含 む 場合ばあい

${\sin }^2+{\cos }^2=1$ や $1+{\tan }^2={\sec }^2$ を 使し い ま す。

例れい: $x=2\cos t,y=3\sin t$ → $\cos t=x/2,\sin t=y/3$ → $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ (楕円だえん)。

1 次じ関数かんすう が 入いり る 場合ばあい

直接ちょくせつ解かい い て 代入だいにゅう し ま す。

例れい: $x=t+1,y=t^2$ → $t=x-1$ → $y=(x-1{)}^2$ (放物線ほうぶつせん)。

例題れいだい 3

$x=t-\frac{1}{t},y=t+\frac{1}{t}$ ($t\ne 0$) で 表ひょう さ れ る 曲きょく線せん を 求もとめ め よ。

解かい: $y^2-x^2=(t+1/t{)}^2-(t-1/t{)}^2=4$。 よ っ て $y^2-x^2=4$ (双曲線そうきょくせん)。

8. まとめ — 曲線きょくせん の 設計せっけい図ず

媒ばい介かい変へん数すう表示ひょうじ は、 「$y=f\left(x\right)$ で は 書しょ け な い 複ふく雑ざつ な 曲きょく線せん を 書しょ く 設せっ計けい図ず」 で す。

表示ひょうじ	利り点てん	例れい
$y=f\left(x\right)$	$x$ か ら $y$ が 直接ちょくせつ求もとめ ま る	放物ぶつ線、 [[指数関数
媒ばい介かい変へん数すう$(x,y)=\left(f\right(t),g(t\left)\right)$	自己じこ交差こうさ や ル ー プ も 表ひょう せ る	円えん・サイクロイド・リサジュー
[[極方程式	きょくほうていしき]]$r=f\left(\theta \right)$ (Ch3)	中ちゅう心しん か ら の 距きょ離り と 角かく で 表ひょう す

章しょう末まつ まとめ

• 媒ばい介かい変へん数すう表示ひょうじ = $(x,y)=\left(f\right(t),g(t\left)\right)$
• 円えん = $(\cos \theta ,\sin \theta )$、 楕円だえん = $(a\cos \theta ,b\sin \theta )$
• サイクロイド = $\left(a\right(\theta -\sin \theta ),a(1-\cos \theta \left)\right)$
• 接せっ線せん の 傾 き = $\frac{dy/dt}{dx/dt}$
• $t$ を 時間じかん と 見み る と 物理ぶつり の 速度そくど・加速度かそくど に つ な が る