この 章 で 学ぶ こと
楕円 が 「焦点 か ら の 距離 の 和 が 一定」 だ っ た の に 対 し、 双曲線 は 「差 が 一定」 で 定義 さ れ る、 楕円 の 双対 な 兄弟 で す。 軌道 は 開 い て 2 本 に 分 か れ、 漸近線 と い う 「無限遠 で 近 づ く 直線」 を 持 ち ま す。
- 双曲線 の 作図定義 と 標準形
- 漸近線 の 求 め 方 と 描 き 方
- 焦点・離心率・準線
- 双曲線 の 接線
- 双曲航法・GPS と の 関連
覚 え 方: 楕円 (和一定) と 双曲線 (差一定) は 数学的双対。 楕円 が 「閉 じ た 卵形」 な ら 双曲線 は 「開 い た 2 本 の 弓」。 離心率 は 楕円 が 0≤e<1、 双曲線 は e>1 で、 ち ょ う ど 反対側 に 並 び ま す。
1. 双曲線 の 定義
作図定義
平面上 の 2 定点F,F′ (焦点) か ら の 距離 の 差 の 絶対値 が 一定2a で あ る 点P の 軌跡 を 双曲線 と 呼 び ま す。
∣PF−PF′∣=2a(2a<FF′)
焦点 に 近 い 方 と 遠 い 方 で 「差」 の 符号 が 入 れ 替 わ る た め、 軌跡 は 2 本 の 曲線 に 分 か れ ま す。
2. 双曲線 の 標準形
横向き
焦点F(c,0),F′(−c,0) (c>a>0) で 距離 の 差 を 2a と し ま す。 標準形 は
a2x2−b2y2=1(a,b>0)
た だ し b=c2−a2 (c>a な の で 実数)。
縦向き
焦点 が y軸上 (F(0,c),F′(0,−c)) の と き
−a2x2+b2y2=1
用語
| 用語 | 意味 |
|---|
| 中心 | 対称中心 (例 で は 原点) |
| 頂点 | 横向 き で (±a,0)、 縦向 き で (0,±b) |
| 主軸 | 2 頂点 を 通 る 軸 (横向 き で x軸) |
| **[[焦点 | しょうてん]]** |
| [[離心率 | りしんりつ]] |
例題 1
9x2−16y2=1 の 焦点、 離心率 を 求 め よ。
解: a=3,b=4、 c=9+16=5。 焦点(±5,0)、 離心率e=5/3。
3. 漸近線
漸近線 の 方程式
横向 き 双曲線a2x2−b2y2=1 の 漸近線 は
y=±abx
x が 大 き く な る ほ ど、 双曲線 は こ の 2 直線 に 限 り な く 近 づ き ま す。
導 き 方
y2=b2(a2x2−1) で x を 大 き く す る と a2x2≫1 よ り y2≈a2b2x2、 y≈±abx。
例題 2
4x2−9y2=1 の 漸近線 を 書 け。
解: a=2,b=3 よ り y=±23x。
4. 離心率 と 準線
離心率
横向 き 双曲線 の 離心率 は
e=ac>1
| e | 形 |
|---|
| e→1 | 細 く 縦長、 漸近線 が 主軸 に 近 づ く |
| e大 | 広 が っ た 双曲線、 漸近線 が 直交 に 近 づ く |
| e=2 | 直交[[漸近線 |
直角双曲線
漸近線 が 直交 す る 双曲線a2x2−a2y2=1 は 直角双曲線 と 呼 ば れ、 45°回転 す る と xy=一定 の 形 (反比例) に 一致 し ま す。
準線
横向 き 双曲線 の 一方 の 準線 は x=a2/c=a/e。 楕円 と 同 じ く
[[準線|じゅんせん]] へ の <ruby>距<rt>きょ</rt></ruby><ruby>離<rt>り</rt></ruby>PF=e
が 成 り 立 ち ま す。
5. 双曲線 の 接線
公式
双曲線a2x2−b2y2=1上 の 点(x0,y0) に お け る 接線 は
a2x0x−b2y0y=1
(楕円 と 同 じ パ タ ー ン、 符号 だ け が 違 う)
例題 3
4x2−12y2=1上 の 点(4,6) に お け る 接線 を 求 め よ。
解: 公式 よ り 44x−126y=1、 す な わ ち x−2y=1、 整理 し て 2x−y=2。
6. 媒介変数表示
双曲線関数 を 用 い た 表示
横向 き 双曲線 は
x=acosht,y=bsinht
と 書 け ま す。 こ こ で cosh,sinh は 双曲線関数 で
cosht=2et+e−t,sinht=2et−e−t
cosh2t−sinh2t=1 よ り 双曲線 の 式 を 満た し ま す。 三角関数 と の 並行 で よ く 出 て く る 関数 で、 つ り 橋 の ケ ー ブ ル の 形 (懸垂線 = cosh の グ ラ フ) な ど に 現 れ ま す。
三角関数 を 用 い た 表示
セ カ ン ト・タ ン ジ ェ ン ト で も
x=cosθa=asecθ,y=btanθ
sec2θ−tan2θ=1 か ら 確 か め ら れ ま す。
7. 双曲線 の 応用 — 双曲航法 と GPS
双曲航法
2 点F,F′ か ら の 距離 の 差 が 一定 な 軌跡 が 双曲線、 と い う 性質 を 使 い ま す。
| 方式 | 仕組 み |
|---|
| ロラン (Long Range Navigation) | 2 つ の 電波局 か ら の 信号到達時間 の 差 を 測 り、 そ れ が 一定 な 双曲線上 に い る と 知 る。 別 ペ ア で も う 1 本描 い て 交点 を 取 る と 位置 が 決 ま る |
GPS
GPS (全地球測位 シ ス テ ム) も、 4 個以上 の 衛星 か ら の 信号到達時間 の 差 か ら、 自分 の 位置 を 「複数 の 双曲線 (3 次元 で は 双曲面) の 交点」 と し て 求 め て い ま す。 数学 C で 学 ぶ 双曲線 が、 ス マ ホ の 地図 ア プ リ の 中 で 動 い て い る の で す。
8. 楕円 と 双曲線 の 双対性
| 項目 | 楕円 | 双曲線 |
|---|
| 距離 の 関係 | 和 が 一定 | 差 が 一定 |
| 標準形 | a2x2+b2y2=1 | a2x2−b2y2=1 |
| b2 と c | b2=a2−c2 | b2=c2−a2 |
| [[離心率 | りしんりつ]] | 0≤e<1 |
| 形 | 閉 じ て い る | 開 い て い る (2 本) |
| 漸近線 | な し | あ り (y=±bx/a) |
| 軌道 | 束縛 さ れ た [[惑星 | わくせい]] |
大事: 楕円 と 双曲線 の 性質 は ほ ぼ 対称 (符号 が 入 れ 替 わ る だ け) で、 公式 も 1 セ ッ ト 覚 え れ ば 両方 に 使 え ま す。 試験 で は こ の 双対性 を 意識 す る と 暗記 が 半分 に な り ま す。
章末 まとめ
- 定義: ∣PF−PF′∣=2a (差一定)
- 標準形: a2x2−b2y2=1, c=a2+b2
- 漸近線y=±abx
- 離心率e=c/a>1
- 接線a2x0x−b2y0y=1
- GPS・双曲航法 で 実用 さ れ る