双曲線そうきょくせん (定義ていぎ・漸近ぜんきん線せん)

この 章しょう で 学まなぶ こと

楕だ円えん が 「焦点しょうてん か ら の 距きょ離り の 和わ が 一いっ定てい」 だ っ た の に 対たい し、 双曲線そうきょくせん は 「差さ が 一いっ定てい」 で 定てい義ぎ さ れ る、 楕だ円えん の 双対そうつい な 兄弟きょうだい で す。 軌き道どう は 開ひらき い て 2 本ほん に 分ぶん か れ、 漸近線ぜんきんせん と い う 「無限むげん遠とお で 近きん づ く 直ちょく線せん」 を 持じ ち ま す。

• 双そう曲きょく線せん の 作図さくず定てい義ぎ と 標ひょう準じゅん形かたち
• 漸近線ぜんきんせん の 求もとめ め 方かた と 描 き 方かた
• 焦しょう点てん・離心率りしんりつ・準線じゅんせん
• 双そう曲きょく線せん の 接線せっせん
• 双曲航法そうきょくこうほう・GPS と の 関連かんれん

覚さとし え 方かた: 楕だ円えん (和一かずいち定てい) と 双そう曲きょく線せん (差さ一いっ定てい) は 数学すうがく的てき双そう対つい。 楕だ円えん が 「閉 じ た 卵たまご形がた」 な ら 双そう曲きょく線せん は 「開ひらく い た 2 本ほん の 弓ゆみ」。 離心率りしんりつ は 楕だ円えん が 、 双そう曲きょく線せん は $e>1$ で、 ち ょ う ど 反対はんたい側がわ に 並なみ び ま す。

1. 双曲線そうきょくせん の 定義ていぎ

作図さくず定義ていぎ

平へい面めん上じょう の 2 定てい点てん$F,F^{\prime }$ (焦点しょうてん) か ら の 距きょ離り の 差さ の 絶ぜっ対たい値ち が 一いっ定てい$2a$ で あ る 点$P$ の 軌跡きせき を 双曲線そうきょくせん と 呼こ び ま す。

焦点しょうてん に 近きん い 方かた と 遠とお い 方かた で 「差さ」 の 符ふ号ごう が 入いり れ 替かわ わ る た め、 軌き跡せき は 2 本ほん の 曲きょく線せん に 分ぶん か れ ま す。

2. 双曲線そうきょくせん の 標準ひょうじゅん形がた

横向よこむき

焦点しょうてん$F(c,0),F^{\prime }(-c,0)$ ($c>a>0$) で 距きょ離り の 差さ を $2a$ と し ま す。 標ひょう準じゅん形かたち は

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)$

た だ し $b=\sqrt{c^2-a^2}$ ($c>a$ な の で 実数じっすう)。

縦たて向むき

焦点しょうてん が $y$軸じく上じょう ($F(0,c),F^{\prime }(0,-c)$) の と き

$-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

用語ようご

用よう語ご	意い味み
中ちゅう心しん	対たい称しょう中ちゅう心しん (例れい で は 原げん点てん)
頂ちょう点てん	横よこ向むこう き で $(\pm a,0)$、 縦たて向むこう き で $(0,\pm b)$
主しゅ軸じく	2 頂ちょう点てん を 通つう る 軸じく (横よこ向むこう き で $x$軸)
**[[焦点	しょうてん]]**
[[離心率	りしんりつ]]

例題れいだい 1

$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ の 焦点しょうてん、 離心率りしんりつ を 求もとめ め よ。

解かい: $a=3,b=4$、 $c=\sqrt{9+16}=5$。 焦点しょうてん$(\pm 5,0)$、 離心率りしんりつ$e=5/3$。

3. 漸近ぜんきん線せん

漸近ぜんきん線せん の 方程式ほうていしき

横よこ向むこう き 双そう曲きょく線せん$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ の 漸近線ぜんきんせん は

$y=\pm \frac{b}{a}x$

$x$ が 大だい き く な る ほ ど、 双そう曲きょく線せん は こ の 2 直ちょく線せん に 限きり り な く 近きん づ き ま す。

導しるべ き 方

$y^2=b^2(\frac{x^2}{a^2}-1)$ で $x$ を 大だい き く す る と $\frac{x^2}{a^2}\gg 1$ よ り $y^2\approx \frac{b^2}{a^2}{x}^2$、 $y\approx \pm \frac{b}{a}x$。

例題れいだい 2

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ の 漸近線ぜんきんせん を 書しょ け。

解かい: $a=2,b=3$ よ り $y=\pm \frac{3}{2}x$。

4. 離はなれ心しん率りつ と 準じゅん線せん

離はなれ心しん率りつ

横よこ向むこう き 双そう曲きょく線せん の 離心率りしんりつ は

$e=\frac{c}{a}>1$

$e$	形かたち
$e\to 1$	細ほそ く 縦長たてなが、 漸ぜん近きん線せん が 主しゅ軸じく に 近きん づ く
$e$大	広ひろ が っ た 双そう曲きょく線せん、 漸ぜん近きん線せん が 直ちょっ交こう に 近きん づ く
$e=\sqrt{2}$	直ちょっ交こう[[漸近線

直角ちょっかく双曲線そうきょくせん

漸ぜん近きん線せん が 直ちょっ交こう す る 双そう曲きょく線せん$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1$ は 直角双曲線ちょっかくそうきょくせん と 呼こ ば れ、 $45°$回転かいてん す る と $xy=$一いっ定てい の 形かたち (反比例はんぴれい) に 一いっ致ち し ま す。

準じゅん線せん

横よこ向むこう き 双そう曲きょく線せん の 一方いっぽう の 準線じゅんせん は $x=a^2/c=a/e$。 楕だ円えん と 同どう じ く

$\frac{PF}{距きょ}=e$

が 成なる り 立たつ ち ま す。

5. 双曲線そうきょくせん の 接線せっせん

公式こうしき

双そう曲きょく線せん$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上 の 点$(x_0,y_0)$ に お け る 接線せっせん は

$\frac{x_{0}x}{a^2}-\frac{y_{0}y}{b^2}=1$

(楕だ円えん と 同どう じ パ タ ー ン、 符ふ号ごう だ け が 違 う)

例題れいだい 3

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$上 の 点$(4,6)$ に お け る 接せっ線せん を 求もとめ め よ。

解かい: 公こう式しき よ り $\frac{4x}{4}-\frac{6y}{12}=1$、 す な わ ち $x-\frac{y}{2}=1$、 整理せいり し て $2x-y=2$。

6. 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ

双曲線そうきょくせん関数かんすう を 用よう い た 表示ひょうじ

横よこ向むこう き 双そう曲きょく線せん は

$x=a\cosh t,y=b\sinh t$

と 書しょ け ま す。 こ こ で $\cosh ,\sinh$ は 双曲線関数そうきょくせんかんすう で

$\cosh t=\frac{e^t+e^{-t}}{2},\sinh t=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$

${\cosh }^{2}t-{\sinh }^{2}t=1$ よ り 双そう曲きょく線せん の 式しき を 満たみ し ま す。 三さん角かく関数かんすう と の 並行へいこう で よ く 出で て く る 関数かんすう で、 つ り 橋はし の ケ ー ブ ル の 形かたち (懸垂線けんすいせん = $\cosh$ の グ ラ フ) な ど に 現げん れ ま す。

三角さんかく関数かんすう を 用よう い た 表示ひょうじ

セ カ ン ト・タ ン ジ ェ ン ト で も

$x=\frac{a}{\cos \theta }=a\sec \theta ,y=b\tan \theta$

${\sec }^2\theta -{\tan }^2\theta =1$ か ら 確 か め ら れ ま す。

7. 双曲線そうきょくせん の 応用おうよう — 双そう曲きょく航法こうほう と GPS

双そう曲きょく航法こうほう

2 点$F,F^{\prime }$ か ら の 距きょ離り の 差さ が 一いっ定てい な 軌き跡せき が 双そう曲きょく線せん、 と い う 性せい質しつ を 使し い ま す。

方式ほうしき	仕組く み
ロラン (Long Range Navigation)	2 つ の 電波でんぱ局きょく か ら の 信しん号ごう到とう達たつ時間じかん の 差さ を 測はか り、 そ れ が 一いっ定てい な 双そう曲きょく線せん上じょう に い る と 知ち る。 別べつ ペ ア で も う 1 本ほん描 い て 交こう点てん を 取と る と 位い置ち が 決けつ ま る

GPS

GPS (全ぜん地ち球測位い シ ス テ ム) も、 4 個こ以上いじょう の 衛えい星せい か ら の 信しん号ごう到とう達たつ時じ間かん の 差さ か ら、 自分じぶん の 位い置ち を 「複数ふくすう の 双そう曲きょく線せん (3 次元じげん で は 双曲面そうきょくめん) の 交こう点てん」 と し て 求もとめ め て い ま す。 数学すうがく C で 学がく ぶ 双そう曲きょく線せん が、 ス マ ホ の 地図ちず ア プ リ の 中なか で 動どう い て い る の で す。

8. 楕円だえん と 双曲線そうきょくせん の 双対そうつい性せい

項こう目もく	楕だ円えん	双そう曲きょく線せん
距きょ離り の 関係かんけい	和わ が 一いっ定てい	差さ が 一いっ定てい
標ひょう準じゅん形かたち	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
$b^2$ と $c$	$b^2=a^2-c^2$	$b^2=c^2-a^2$
[[離心率	りしんりつ]]
形かたち	閉 じ て い る	開ひらき い て い る (2 本ほん)
漸ぜん近きん線せん	な し	あ り ($y=\pm bx/a$)
軌き道どう	束そく縛ばく さ れ た [[惑星	わくせい]]

大事だいじ: 楕だ円えん と 双そう曲きょく線せん の 性せい質しつ は ほ ぼ 対称たいしょう (符ふ号ごう が 入いり れ 替かわ わ る だ け) で、 公こう式しき も 1 セ ッ ト 覚さとし え れ ば 両方りょうほう に 使し え ま す。 試験しけん で は こ の 双そう対つい性 を 意識いしき す る と 暗記あんき が 半分はんぶん に な り ま す。

章しょう末まつ まとめ

• 定てい義ぎ: $\mid PF-{PF}^{\prime }\mid =2a$ (差さ一いっ定てい)
• 標ひょう準じゅん形かたち: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, $c=\sqrt{a^2+b^2}$
• 漸近線ぜんきんせん$y=\pm \frac{b}{a}x$
• 離心率りしんりつ$e=c/a>1$
• 接線せっせん$\frac{x_{0}x}{a^2}-\frac{y_{0}y}{b^2}=1$
• GPS・双そう曲きょく航こう法ほう で 実じつ用よう さ れ る