この章で学ぶこと
楕円 が 「焦点 からの距離 の 和 が一定」 だったのに対し、 双曲線 は 「差 が一定」 で定義 される、 楕円 の 双対 な兄弟です。 軌道 は開いて 2 本に分かれ、 漸近線 という 「無限遠で近づく直線」 を持ちます。
- 双曲線 の 作図定義 と標準形
- 漸近線 の求め方と描き方
- 焦点・離心率・準線
- 双曲線 の 接線
- 双曲航法・GPS との関連
覚え方: 楕円 (和一定) と双曲線 (差一定) は 数学的双対。 楕円 が 「閉じた卵形」 なら双曲線 は 「開いた 2 本の弓」。 離心率 は楕円 が 0≤e<1、 双曲線 は e>1 で、 ちょうど反対側に並びます。
1. 双曲線の定義
作図定義
平面上の 2 定点 F,F′ (焦点) からの距離 の 差の絶対値が一定 2a である点P の 軌跡 を 双曲線 と呼びます。
∣PF−PF′∣=2a(2a<FF′)
焦点 に近い方と遠い方で 「差」 の符号 が入れ替わるため、 軌跡 は 2 本の曲線 に分かれます。
2. 双曲線の標準形
横向き
焦点 F(c,0),F′(−c,0) (c>a>0) で距離 の差を 2a とします。 標準形は
a2x2−b2y2=1(a,b>0)
ただし b=c2−a2 (c>a なので実数)。
縦向き
焦点 が y軸上 (F(0,c),F′(0,−c)) のとき
−a2x2+b2y2=1
用語
| 用語 | 意味 |
|---|
| 中心 | 対称中心 (例では原点) |
| 頂点 | 横向きで (±a,0)、 縦向きで (0,±b) |
| 主軸 | 2 頂点 を通る軸 (横向きで x軸) |
| 焦点 | (±c,0)、 c=a2+b2 |
| 離心率 | e=c/a>1 |
例題 1
9x2−16y2=1 の 焦点、 離心率 を求めよ。
解: a=3,b=4、 c=9+16=5。 焦点 (±5,0)、 離心率 e=5/3。
3. 漸近線
漸近線の方程式
横向き双曲線 a2x2−b2y2=1 の 漸近線 は
y=±abx
x が大きくなるほど、 双曲線 はこの 2 直線 に限りなく近づきます。
導き方
y2=b2(a2x2−1) で x を大きくすると a2x2≫1 より y2≈a2b2x2、 y≈±abx。
例題 2
4x2−9y2=1 の 漸近線 を書け。
解: a=2,b=3 より y=±23x。
4. 離心率と準線
離心率
横向き双曲線 の 離心率 は
e=ac>1
| e | 形 |
|---|
| e→1 | 細く縦長、 漸近線が主軸 に近づく |
| e大 | 広がった双曲線、 漸近線が直交 に近づく |
| e=2 | 直交 漸近線 (直角双曲線) |
直角双曲線
漸近線が直交 する双曲線 a2x2−a2y2=1 は 直角双曲線 と呼ばれ、 45°回転すると xy=一定 の形 (反比例) に一致 します。
準線
横向き双曲線 の一方の 準線 は x=a2/c=a/e。 楕円 と同じく
準線 への距離PF=e
が成り立ちます。
5. 双曲線の接線
公式
双曲線 a2x2−b2y2=1上の点(x0,y0) における 接線 は
a2x0x−b2y0y=1
(楕円 と同じパターン、 符号 だけが違う)
例題 3
4x2−12y2=1上の点(4,6) における接線 を求めよ。
解: 公式 より 44x−126y=1、 すなわち x−2y=1、 整理して 2x−y=2。
6. 媒介変数表示
双曲線関数を用いた表示
横向き双曲線 は
x=acosht,y=bsinht
と書けます。 ここで cosh,sinh は 双曲線関数 で
cosht=2et+e−t,sinht=2et−e−t
cosh2t−sinh2t=1 より双曲線 の式を満た します。 三角 関数 との並行でよく出てくる関数で、 つり橋のケーブルの形 (懸垂線 = cosh のグラフ) などに現れます。
三角関数を用いた表示
セカント・タンジェントでも
x=cosθa=asecθ,y=btanθ
sec2θ−tan2θ=1 から確かめられます。
7. 双曲線の応用 — 双曲航法と GPS
双曲航法
2 点F,F′ からの距離 の 差 が一定 な軌跡 が双曲線、 という性質 を使います。
| 方式 | 仕組 み |
|---|
| ロラン (Long Range Navigation) | 2 つの電波局からの信号到達時間の 差 を測り、 それが一定 な双曲線上にいると知る。 別ペアでもう 1 本描いて交点 を取ると位置 が決まる |
GPS
GPS (全地球測位 システム) も、 4 個以上の衛星 からの信号到達時間 の差から、 自分の位置 を 「複数の双曲線 (3 次元では 双曲面) の交点」 として求めています。 数学 C で学ぶ双曲線 が、 スマホの地図アプリの中で動いているのです。
8. 楕円と双曲線の双対性
| 項目 | 楕円 | 双曲線 |
|---|
| 距離 の関係 | 和が一定 | 差が一定 |
| 標準形 | a2x2+b2y2=1 | a2x2−b2y2=1 |
| b2 と c | b2=a2−c2 | b2=c2−a2 |
| 離心率 | 0≤e<1 | e>1 |
| 形 | 閉じている | 開いている (2 本) |
| 漸近線 | なし | あり (y=±bx/a) |
| 軌道 | 束縛 された 惑星 | 太陽系を 脱出 する彗星 |
大事: 楕円 と双曲線 の性質 はほぼ対称 (符号 が入れ替わるだけ) で、 公式 も 1 セット覚えれば両方に使えます。 試験ではこの 双対性 を意識すると暗記が半分になります。
章末まとめ
- 定義: ∣PF−PF′∣=2a (差一定)
- 標準形: a2x2−b2y2=1, c=a2+b2
- 漸近線 y=±abx
- 離心率 e=c/a>1
- 接線 a2x0x−b2y0y=1
- GPS・双曲航法 で実用 される