関数かんすう — 比例ひれい反比例はんぴれい・一いち次じ関数かんすう・y=ax²

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう1 の比例ひれい・反比例はんぴれい、 中ちゅう2 の一いち次じ関数かんすう、 中ちゅう3 の $y=a{x}^2$ をまとめて学まなびます。 グラフと式しきを行いき来きできるようにするのがゴールです。

• 比例ひれい$y=ax$ と反比例はんぴれい$y=\frac{a}{x}$
• 一いち次じ関数かんすう$y=ax+b$ とグラフ
• 関数かんすう$y=a{x}^2$
• 変化の割合へんかのわりあい

ポイント: 「関数かんすう」 とは、 $x$ を決きめると $y$ がただ 1 つ決きまる関係かんけいのこと。 式しき・表ひょう・グラフの 3 つで同おなじ関係かんけいを表あらわせるようになるのが大切たいせつです。

1. 比例ひれいと反比例はんぴれい

種類しゅるい	式しき	特徴とくちょう
比例ひれい	$y=ax$	$x$ が 2 倍ばいなら $y$ も 2 倍ばい。 グラフは原点げんてんを通とおる直線ちょくせん
反比例はんぴれい	$y=\frac{a}{x}$	$x$ が 2 倍ばいなら $y$ は $\frac{1}{2}$倍。 グラフは双曲線そうきょくせん

例題れいだい: $y$ は $x$ に反比例はんぴれいし、 $x=3$ のとき $y=4$ である。 $x=6$ のときの $y$ を求もとめよ。

反比例はんぴれいは $y=\frac{a}{x}$。 $x=3, y=4$ より $4=\frac{a}{3}$、 $a=12$。

$y=\frac{12}{x},x=6\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} y=\frac{12}{6}=2$

検算けんざん: $x=3$ で $\frac{12}{3}=4$ ($\circ$)。 式しきは正ただしい。 $x=6$ で $y=2$。

2. 一いち次じ関数かんすう

$y=ax+b$ の形かたち。 $a$ は 傾きかたむき、 $b$ は 切片せっぺん ($y$軸と交まじわる点てんの $y$座標ざひょう)。

例題れいだい: 2 点$(1,3)$、 $(3,7)$ を通とおる直線ちょくせんの式しきを求もとめよ。

傾きかたむき $a=\frac{7-3}{3-1}=\frac{4}{2}=2$。

$y=2x+b$ に $(1,3)$ を代入だいにゅうして $3=2+b$、 $b=1$。

$y=2x+1$

検算けんざん: $(3,7)$ を代入だいにゅうすると $2\times 3+1=7$ ($\circ$)。 両方りょうほうの点てんを通とおる。 正ただしい。

大事だいじ: 傾きかたむきは 「$x$ が 1 ふえると $y$ がいくつふえるか」。 一いち次じ関数かんすうでは傾きかたむきが変化の割合へんかのわりあいそのもので、 つねに一定いっていです。

3. 関数かんすう y = ax²

中ちゅう3 で学まなぶ関数かんすう。 グラフは原点げんてんを通とおり、 $a>0$ なら上うえに開ひらいた 放物線ほうぶつせん、 なら下したに開ひらきます。 $y$軸について左右さゆう対称たいしょうです。

例題れいだい: $y=2x^2$ で、 $x=-3$ のときの $y$ を求もとめよ。

$y=2\times (-3{)}^2=2\times 9=18$

検算けんざん: $(-3{)}^2=9$、 $2\times 9=18$。 正ただしい。

大事だいじ: $y=a{x}^2$ では $x$ が正せいでも負ふでも、 2 乗じょうするので $y$ の符号ふごうは $a$ で決きまります。 $a>0$ なら $y\ge 0$。

4. 変化へんかの割合わりあい

変化の割合へんかのわりあい $=\frac{y の 増加量}{x の 増加量}$。 一いち次じ関数かんすうでは一定いってい (傾きかたむき) ですが、 $y=a{x}^2$ では場所ばしょによって変かわります。

例題れいだい: $y=x^2$ で、 $x$ が $2$ から $5$ まで増ふえるときの変化の割合へんかのわりあいを求もとめよ。

$x=2$ で $y=4$、 $x=5$ で $y=25$。

$\frac{25-4}{5-2}=\frac{21}{3}=7$

検算けんざん: $y$ の増加ぞうか量りょう$=25-4=21$、 $x$ の増加ぞうか量りょう$=5-2=3$、 $21÷3=7$。 正ただしい。

ポイント: $y=a{x}^2$ で $x$ が $p$ から $q$ まで変かわるとき、 変化の割合へんかのわりあいは $a(p+q)$ になります。 上うえの例れいは $1\times (2+5)=7$ で一致いっち。 検算けんざんに便利べんりです。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「$y=3x^2$ で $x=-2$ のときの $y$」 「2 点てんを通とおる直線ちょくせんの式しき」 など、 値あたいや式しきを求もとめる問題もんだい。
• 二に次じではグラフ上じょうの点てんや、 一いち次じ関数かんすうと $y=a{x}^2$ の 交点こうてん を求もとめる問題もんだいが出でます。 交点こうてんは連立れんりつ方程式ほうていしき (= 二次方程式にじほうていしき) で求もとめます。

よくまちがえるところ

関数かんすうは、 一いち次じ関数かんすうの感覚かんかくを y = ax² にそのまま持もちこむ ことが最大さいだいのつまずきです。

まちがい	例れい	直なおし方かた
y = ax² の変化の割合へんかのわりあいを a だと思おもう	y = x² で x が 2 から 5 のときの変化へんかの割合わりあいを 1 とする	(25 - 4) / (5 - 2) = 7。 一定いっていではない
反比例はんぴれいの式しきを比例ひれいと同おなじ形かたちにする	y が x に反比例はんぴれいするのに y = ax とおく	反比例はんぴれいは y = a / x
2 乗じょうのときに符号ふごうを落おとす	y = 2x² に x = -3 を入いれて -18 とする	(-3)² = 9 なので 2 × 9 = 18
傾きかたむきと切片せっぺんを取とりちがえる	y = 2x + 1 の傾きかたむきを 1 とする	x にかかる 2 が傾きかたむき、 1 が切片せっぺん

いちばん多おおいのは y = ax² の変化へんかの割合わりあいを a だと思おもうこと です。 一いち次じ関数かんすうでは変化へんかの割合わりあいがどこでも傾きかたむき a に等ひとしくなりますが、 y = ax² のグラフは放物線ほうぶつせんで、 場所ばしょによって傾きかたむき方かたが変かわります。 x が p から q まで変かわるときの変化へんかの割合わりあいは a(p + q) になるので、 x の位置いちによって値あたいが変かわることが式しきからも分わかります。

変化へんかの割合わりあいの求もとめ方かたの手順てじゅん

順番じゅんばん	やること	例れい (y = x² で x が 2 から 5)
1	始はじめの x のときの y を求もとめる	x = 2 で y = 4
2	終おわりの x のときの y を求もとめる	x = 5 で y = 25
3	y の増加ぞうか量りょうを出だす (終おわり - 始はじめ)	25 - 4 = 21
4	x の増加ぞうか量りょうを出だす (終おわり - 始はじめ)	5 - 2 = 3
5	y の増加ぞうか量りょう ÷ x の増加ぞうか量りょう を計算けいさんする	21 ÷ 3 = 7
6	y = ax² なら a(p + q) と一致いっちするか確たしかめる	1 × (2 + 5) = 7 で一致いっち

手順てじゅん 3 と 4 は 引ひく向むきを必かならずそろえます。 片方かたほうだけ逆ぎゃくにすると符号ふごうが反対はんたいになり、 右みぎ上あがりのグラフなのに変化へんかの割合わりあいが負ふになるといったおかしな結果けっかになります。 一いち次じ関数かんすうなら手順てじゅん 5 の答えこたえが傾きかたむき a と一致いっちするので、 それ自体じたいが検算けんざんになります。

ポイント: 一いち次じ関数かんすうと y = ax² の交点こうてんは、 2 つの式しきを連立れんりつさせると二次方程式にじほうていしきになります。 第だい5章しょうの解とき方かたがそのまま使つかえるので、 交点こうてんの問題もんだいが出でたら因数いんすう分解ぶんかいか解かいの公式こうしきを思おもい出だしましょう。

自分じぶんでチェック

• 比例ひれい y = ax と反比例はんぴれい y = a / x を書かき分わけられる
• 一次関数いちじかんすうの傾きかたむきと切片せっぺんを式しきから読よめる
• y = ax² のグラフが原点げんてんを通とおる放物線ほうぶつせんだと言いえる
• y = ax² の変化の割合へんかのわりあいが一定いっていでない理由りゆうを説明せつめいできる
• a(p + q) を使つかって変化へんかの割合わりあいを検算けんざんできる

まとめ

• 比例ひれい$y=ax$、 反比例はんぴれい$y=\frac{a}{x}$
• 一いち次じ関数かんすう$y=ax+b$、 傾きかたむき $a$ が変化の割合へんかのわりあい
• $y=a{x}^2$ のグラフは原点げんてんを通とおる放物線ほうぶつせん
• $y=a{x}^2$ の変化の割合へんかのわりあいは $a(p+q)$

次章しょうでは、 図形ずけいの単元たんげん (合同ごうどう・相似そうじ・円周角えんしゅうかく) を学まなびます。