関数かんすう — 比例ひれい反比例はんぴれい・一いち次じ関数かんすう・y=ax²

この 章しょう で 学まなぶ こと

中ちゅう1 の 比例ひれい・反比例はんぴれい、 中ちゅう2 の 一いち次じ関数かんすう、 中ちゅう3 の $y=a{x}^2$ を まとめて 学まなび ます。 グラフ と 式しき を 行いき来き できる よう に する のが ゴール です。

• 比例ひれい$y=ax$ と 反比例はんぴれい$y=\frac{a}{x}$
• 一いち次じ関数かんすう$y=ax+b$ と グラフ
• 関数かんすう$y=a{x}^2$
• 変化の割合へんかのわりあい

ポイント: 「関数かんすう」 とは、 $x$ を 決きめる と $y$ が ただ 1 つ 決きまる 関係かんけい の こと。 式しき・表ひょう・グラフ の 3 つ で 同おなじ 関係かんけい を 表あらわせる よう に なる のが 大切たいせつ です。

1. 比例ひれい と 反比例はんぴれい

種類しゅるい	式しき	特徴とくちょう
比例ひれい	$y=ax$	$x$ が 2 倍ばい なら $y$ も 2 倍ばい。 グラフ は 原点げんてん を 通とおる 直線ちょくせん
反比例はんぴれい	$y=\frac{a}{x}$	$x$ が 2 倍ばい なら $y$ は $\frac{1}{2}$倍。 グラフ は 双曲線そうきょくせん

例題れいだい: $y$ は $x$ に 反比例はんぴれい し、 $x=3$ の とき $y=4$ で ある。 $x=6$ の とき の $y$ を 求もとめよ。

反比例はんぴれい は $y=\frac{a}{x}$。 $x=3, y=4$ より $4=\frac{a}{3}$、 $a=12$。

$y=\frac{12}{x},x=6\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} y=\frac{12}{6}=2$

検算けんざん: $x=3$ で $\frac{12}{3}=4$ ($\circ$)。 式しき は 正ただしい。 $x=6$ で $y=2$。

2. 一いち次じ関数かんすう

$y=ax+b$ の 形かたち。 $a$ は 傾かたむき、 $b$ は 切片せっぺん ($y$軸 と 交まじわる 点てん の $y$座標ざひょう)。

例題れいだい: 2 点$(1,3)$、 $(3,7)$ を 通とおる 直線ちょくせん の 式しき を 求もとめよ。

傾かたむき $a=\frac{7-3}{3-1}=\frac{4}{2}=2$。

$y=2x+b$ に $(1,3)$ を 代入だいにゅう して $3=2+b$、 $b=1$。

$y=2x+1$

検算けんざん: $(3,7)$ を 代入だいにゅう すると $2\times 3+1=7$ ($\circ$)。 両方りょうほう の 点てん を 通とおる。 正ただしい。

大事だいじ: 傾かたむき は 「$x$ が 1 ふえる と $y$ が いくつ ふえる か」。 一いち次じ関数かんすう で は 傾かたむき が 変化の割合へんかのわりあい そのもの で、 つねに 一定いってい です。

3. 関数かんすう y = ax²

中ちゅう3 で 学まなぶ 関数かんすう。 グラフ は 原点げんてん を 通とおり、 $a>0$ なら 上うえ に 開ひらいた 放物線ほうぶつせん、 なら 下した に 開ひらき ます。 $y$軸 について 左右さゆう対称たいしょう です。

例題れいだい: $y=2x^2$ で、 $x=-3$ の とき の $y$ を 求もとめよ。

$y=2\times (-3{)}^2=2\times 9=18$

検算けんざん: $(-3{)}^2=9$、 $2\times 9=18$。 正ただしい。

大事だいじ: $y=a{x}^2$ で は $x$ が 正ただし でも 負まけ でも、 2 乗じょう する ので $y$ の 符号ふごう は $a$ で 決きまり ます。 $a>0$ なら $y\ge 0$。

4. 変化へんかの割合わりあい

変化の割合へんかのわりあい $=\frac{y の 増加量}{x の 増加量}$。 一いち次じ関数かんすう で は 一定いってい (傾かたむき) ですが、 $y=a{x}^2$ で は 場所ばしょ に よって 変かわり ます。

例題れいだい: $y=x^2$ で、 $x$ が $2$ から $5$ まで 増ふえる とき の 変化の割合へんかのわりあい を 求もとめよ。

$x=2$ で $y=4$、 $x=5$ で $y=25$。

$\frac{25-4}{5-2}=\frac{21}{3}=7$

検算けんざん: $y$ の 増加ぞうか量りょう$=25-4=21$、 $x$ の 増加ぞうか量りょう$=5-2=3$、 $21÷3=7$。 正ただしい。

ポイント: $y=a{x}^2$ で $x$ が $p$ から $q$ まで 変かわる とき、 変化の割合へんかのわりあい は $a(p+q)$ に なり ます。 上うえ の 例れい は $1\times (2+5)=7$ で 一致いっち。 検算けんざん に 便利べんり です。

どう 問とわれる か

• 一いち次じ で は 「$y=3x^2$ で $x=-2$ の とき の $y$」 「2 点てん を 通とおる 直線ちょくせん の 式しき」 など、 値ね や 式しき を 求もとめる 問題もんだい。
• 二に次じ で は グラフ 上うえ の 点てん や、 一いち次じ関数かんすう と $y=a{x}^2$ の 交点こうてん を 求もとめる 問題もんだい が 出で ます。 交点こうてん は 連立れんりつ方程式ほうていしき (= 二次方程式にじほうていしき) で 求もとめ ます。

まとめ

• 比例ひれい$y=ax$、 反比例はんぴれい$y=\frac{a}{x}$
• 一いち次じ関数かんすう$y=ax+b$、 傾かたむき $a$ が 変化の割合へんかのわりあい
• $y=a{x}^2$ の グラフ は 原点げんてん を 通とおる 放物線ほうぶつせん
• $y=a{x}^2$ の 変化の割合へんかのわりあい は $a(p+q)$

次じ章しょう で は、 図形ずけい の 単元たんげん (合同ごうどう・相似そうじ・円周角えんしゅうかく) を 学まなび ます。