関数かんすう — 比例ひれい反比例はんぴれい・一いち次じ関数かんすう・y=ax²

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう1 の比例ひれい・反比例はんぴれい、 中ちゅう2 の一いち次じ関数かんすう、 中ちゅう3 の $y=a{x}^2$ をまとめて学まなびます。 グラフと式しきを行いき来きできるようにするのがゴールです。

• 比例ひれい$y=ax$ と反比例はんぴれい$y=\frac{a}{x}$
• 一いち次じ関数かんすう$y=ax+b$ とグラフ
• 関数かんすう$y=a{x}^2$
• 変化の割合へんかのわりあい

ポイント: 「関数かんすう」 とは、 $x$ を決きめると $y$ がただ 1 つ決きまる関係かんけいのこと。 式しき・表ひょう・グラフの 3 つで同おなじ関係かんけいを表あらわせるようになるのが大切たいせつです。

1. 比例ひれいと反比例はんぴれい

種類しゅるい	式しき	特徴とくちょう
比例ひれい	$y=ax$	$x$ が 2 倍ばいなら $y$ も 2 倍ばい。 グラフは原点げんてんを通とおる直線ちょくせん
反比例はんぴれい	$y=\frac{a}{x}$	$x$ が 2 倍ばいなら $y$ は $\frac{1}{2}$倍。 グラフは 双曲線そうきょくせん

例題れいだい: $y$ は $x$ に反比例はんぴれいし、 $x=3$ のとき $y=4$ である。 $x=6$ のときの $y$ を求もとめよ。

反比例はんぴれいは $y=\frac{a}{x}$。 $x=3, y=4$ より $4=\frac{a}{3}$、 $a=12$。

$y=\frac{12}{x},x=6\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} y=\frac{12}{6}=2$

検算けんざん: $x=3$ で $\frac{12}{3}=4$ ($\circ$)。 式しきは正ただしい。 $x=6$ で $y=2$。

2. 一いち次じ関数かんすう

$y=ax+b$ の形かたち。 $a$ は 傾きかたむき、 $b$ は 切片せっぺん ($y$軸と交まじわる点てんの $y$座標ざひょう)。

例題れいだい: 2 点$(1,3)$、 $(3,7)$ を通とおる直線ちょくせんの式しきを求もとめよ。

傾きかたむき $a=\frac{7-3}{3-1}=\frac{4}{2}=2$。

$y=2x+b$ に $(1,3)$ を代入だいにゅうして $3=2+b$、 $b=1$。

$y=2x+1$

検算けんざん: $(3,7)$ を代入だいにゅうすると $2\times 3+1=7$ ($\circ$)。 両方りょうほうの点てんを通とおる。 正ただしい。

大事だいじ: 傾きかたむきは 「$x$ が 1 ふえると $y$ がいくつふえるか」。 一いち次じ関数かんすうでは傾きかたむきが 変化の割合へんかのわりあい そのもので、 つねに一定いっていです。

3. 関数かんすう y = ax²

中ちゅう3 で学まなぶ関数かんすう。 グラフは原点げんてんを通とおり、 $a>0$ なら上うえに開ひらいた 放物線ほうぶつせん、 なら下したに開ひらきます。 $y$軸について左右さゆう対称たいしょうです。

例題れいだい: $y=2x^2$ で、 $x=-3$ のときの $y$ を求もとめよ。

$y=2\times (-3{)}^2=2\times 9=18$

検算けんざん: $(-3{)}^2=9$、 $2\times 9=18$。 正ただしい。

大事だいじ: $y=a{x}^2$ では $x$ が正せいでも負まけでも、 2 乗じょうするので $y$ の符号ふごうは $a$ で決きまります。 $a>0$ なら $y\ge 0$。

4. 変化へんかの割合わりあい

変化の割合へんかのわりあい $=\frac{y の 増加量}{x の 増加量}$。 一いち次じ関数かんすうでは一定いってい (傾きかたむき) ですが、 $y=a{x}^2$ では場所ばしょによって変かわります。

例題れいだい: $y=x^2$ で、 $x$ が $2$ から $5$ まで増ふえるときの 変化の割合へんかのわりあい を求もとめよ。

$x=2$ で $y=4$、 $x=5$ で $y=25$。

$\frac{25-4}{5-2}=\frac{21}{3}=7$

検算けんざん: $y$ の増加ぞうか量りょう$=25-4=21$、 $x$ の増加ぞうか量りょう$=5-2=3$、 $21÷3=7$。 正ただしい。

ポイント: $y=a{x}^2$ で $x$ が $p$ から $q$ まで変かわるとき、 変化の割合へんかのわりあい は $a(p+q)$ になります。 上うえの例れいは $1\times (2+5)=7$ で一致いっち。 検算けんざんに便利べんりです。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「$y=3x^2$ で $x=-2$ のときの $y$」 「2 点てんを通とおる直線ちょくせんの式しき」 など、 値ねや式しきを求もとめる問題もんだい。
• 二に次じではグラフ上じょうの点てんや、 一いち次じ関数かんすうと $y=a{x}^2$ の 交点こうてん を求もとめる問題もんだいが出でます。 交点こうてんは連立れんりつ方程式ほうていしき (= 二次方程式にじほうていしき) で求もとめます。

まとめ

• 比例ひれい$y=ax$、 反比例はんぴれい$y=\frac{a}{x}$
• 一いち次じ関数かんすう$y=ax+b$、 傾きかたむき $a$ が 変化の割合へんかのわりあい
• $y=a{x}^2$ のグラフは原点げんてんを通とおる 放物線ほうぶつせん
• $y=a{x}^2$ の 変化の割合へんかのわりあい は $a(p+q)$

次章しょうでは、 図形ずけいの単元たんげん (合同ごうどう・相似そうじ・円周角えんしゅうかく) を学まなびます。