円錐曲線｜高校数学C 円・楕円・双曲線・放物線の総論

この章しょうで学まなぶこと

円えん・楕円だえん・双曲線そうきょくせん・放物線ほうぶつせん。中学ちゅうがくから別々べつべつに学まなんできたこの 4 つの曲きょく線せんは、実じつは 同おなじ円えん錐すいを違ちがう角度かくどで切きるだけ で全部ぜんぶ出でてくる、兄弟きょうだいの曲きょく線せんです。この章しょうでは 円錐曲線えんすいきょくせん (二次曲線にじきょくせん) として 4 種たねを 統とう一いつ的 に眺ながめ、第だい 5・6・7 章しょうへの共きょう通つう言げん語ごを整ととのえます。

円えん錐すいを切きるとなぜ 4 種たねの曲きょく線せんが出でるか
二次曲線にじきょくせん $A x^{2} + B x y + C y^{2} + \dots = 0$ の一いっ般ぱん形と 4 種たねの判別はんべつ
焦点しょうてん・準線じゅんせん・離心率りしんりつ という共きょう通つうの言げん語ご
4 つを 離はなれ心しん率りつ $e$ で区く別べつする仕組しくみ
円錐えんすい曲線きょくせんと物理ぶつり・天文てんもんの結むすびつき

大事だいじ: アポロニウス (古代こだいギリシャの数学すうがく者しゃ) は紀元前きげんぜん 3 世紀せいきに「すべての円えん錐すい曲きょく線せんは 1 個この円えん錐すいから切きり出だせる」と示しめしました。その約やく 2000 年ねん後ご、ケプラーけぷらーとニュートンにゅーとんが「惑星わくせいの軌き道どうは太陽たいようを焦しょう点てんとする楕円だえん」と発見はっけんし、純粋じゅんすい数学すうがくが自然しぜん法則ほうそくと直接ちょくせつ結むすびつくことを証明しょうめいしました。

1. 円錐えんすいを切きると何なにが出でるか

アポロニウスの 4 種たね

平面へいめんで円えん錐すい (両側りょうがわに無限むげんに伸のびるダブルコーン) を切きる角度かくどで、切きり口くちは 4 種たねに変化へんかします。

切きり方かた	切きり口くち
軸じくに垂すい直ちょく	円えん
軸じくに斜ななめ (母ぼ線せんとは平へい行こうでない)	楕円だえん
母ぼ線せんに平へい行こう	放物線ほうぶつせん
軸じくに斜ななめで両方りょうほうの円えん錐すいを切きる	双曲線そうきょくせん (2 本ほんの曲きょく線せん)

円錐えんすい曲線きょくせん = 二に次じ曲線きょくせん

切きり口くちを $x y$ 平へい面めんの方程てい式で書かくと、必かならず

$A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0$

のような 2 次つぎ式しき になります。そこで円えん錐すい曲きょく線せん = 二次曲線にじきょくせん とも呼よばれます。

2. 4 種たねの標準ひょうじゅん形がた

第だい 5〜7 章しょうで詳くわしく学まなぶことになる、各かく曲きょく線せんの 標準形ひょうじゅんがた を一覧いちらんにします。

曲きょく線せん	標ひょう準じゅん形かたち	特とく徴ちょう
円えん (中ちゅう心しん原げん点てん)	$x^{2} + y^{2} = r^{2}$	1 つの焦点しょうてん (中ちゅう心しん)
楕だ円えん	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )	2 つの焦点しょうてん、閉とじた曲きょく線せん
双そう曲きょく線せん	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$	2 つの焦点しょうてん、 2 本ほんの開ひらいた曲きょく線せん
放物ぶつ線せん	$y^{2} = 4 p x$ または $x^{2} = 4 p y$	1 つの焦点しょうてんと 1 本ほんの準線じゅんせん

3. 焦点しょうてん・準じゅん線せん・離はなれ心しん率りつ

共通きょうつうの定義ていぎ

円えん錐すい曲きょく線せんはすべて、「1 点てん (焦点しょうてん) と 1 直ちょく線せん (準線じゅんせん) からの距きょ離りの比ひが一いっ定てい」という共きょう通つうの性せい質しつで定てい義ぎできます。

離はなれ心しん率りつで 4 種たねを区別くべつ

離はなれ心しん率りつ $e$	曲きょく線せん
$e = 0$	円えん (準じゅん線せんが無限むげん遠とお)
$0 < e < 1$	楕円だえん
$e = 1$	放物線ほうぶつせん
$e > 1$	双曲線そうきょくせん

例題れいだい 1

焦点しょうてん $(2, 0)$ 、準線じゅんせん $x = 8$ 、離心率りしんりつ $e = 1 / 2$ の軌き跡せきを求もとめよ。

解かい: 点 $(x, y)$ とし、 $\sqrt{(x - 2)^{2} + y^{2}} = \frac{1}{2} ∣ x - 8 ∣$ 。両辺りょうへん 2 乗のし整理せいりして

$4 {(x - 2)^{2} + y^{2}} = (x - 8)^{2}$

$4 x^{2} - 16 x + 16 + 4 y^{2} = x^{2} - 16 x + 64$

$3 x^{2} + 4 y^{2} = 48 \Rightarrow \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

$e < 1$ なので 楕円だえん。

4. 二に次じ曲線きょくせんの一般いっぱん形がたと判別はんべつ

一般いっぱん形がた

$x y$ の項こうを含ふくむ一いっ般ぱん形は

$A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0$

判別はんべつ式しき

判別式はんべつしき $Δ = B^{2} - 4 A C$ で種別しゅべつがわかります。

$Δ$	円えん錐すい曲きょく線せん
$Δ < 0$	楕円だえん (含ふくむ円えん)
$Δ = 0$	放物線ほうぶつせん
$Δ > 0$	双曲線そうきょくせん

例題れいだい 2

$3 x^{2} - 2 x y + 3 y^{2} - 8 = 0$ はどの円えん錐すい曲きょく線せんか。

解かい: $Δ = (- 2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4 - 36 = - 32 < 0$ より 楕円だえん。 (実際じっさい、 $45 °$ 回転かいてんすると標ひょう準じゅん形かたちの楕だ円えんになります。)

5. 円錐えんすい曲線きょくせんと自然しぜん・物理ぶつり

ケプラーの法則ほうそくと楕円だえん軌道きどう

ケプラーけぷらーは 17 世紀せいきに 惑星わくせいの軌き道どうが太陽たいようを焦しょう点てんとする楕円だえん であることを発見はっけんしました。万有引力ばんゆういんりょく (ニュートン) から数学すうがく的てきに導出どうしゅつされる結けっ果かで、軌き道どうの種類しゅるいは物体ぶったいの 力学的エネルギーりきがくてきえねるぎー で決きまります。

エネルギー	軌き道どう
負まけで大だい (深ふかい束そく縛ばく)	円えん ( $e = 0$ に近ちかい)
負まけ (束そく縛ばくあり)	楕円だえん ( $0 < e < 1$ )
0 (脱出だっしゅつぎりぎり)	放物線ほうぶつせん ( $e = 1$ )
正ただし (脱出だっしゅつ)	双曲線そうきょくせん ( $e > 1$ )

反射はんしゃ鏡きょう・パラボラアンテナ

曲きょく線せん	反はん射しゃの性せい質しつ	用よう途と
放物線ほうぶつせん	軸じくに平行へいこうな光ひかりが焦しょう点てんに集あつまる	パラボラアンテナ、自動車じどうしゃヘッドライト
楕円だえん	一方いっぽうの焦しょう点てんから出でた光ひかりがもう一方いっぽうの焦しょう点てんに集あつまる	結石けっせき破砕はさい装そう置ち (体外たいがい衝撃波しょうげきは)
双曲線そうきょくせん	一方いっぽうの焦しょう点てんへ向むかう光ひかりがもう一方いっぽうの焦しょう点てんに反射はんしゃされる	カセグレン反射はんしゃ望遠鏡ぼうえんきょう

6. 二に次じ曲線きょくせんの平行へいこう移動いどう

中心ちゅうしんが原点げんてんでない場合ばあい

中ちゅう心しん (放物線ほうぶつせんでは頂ちょう点てん) を $(p, q)$ にずらすと、 $x \to x - p$ , $y \to y - q$ と置おき換かえれば同おなじ形かたちになります。

元もとの形かたち	中ちゅう心しん $(p, q)$
$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$	$\frac{(x - p)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - q)^{2}}{b^{2}} = 1$
$y^{2} = 4 p x$	$(y - q)^{2} = 4 p (x - p)$

例題れいだい 3

$x^{2} + 4 y^{2} - 2 x - 16 y + 13 = 0$ を標ひょう準じゅん形かたちにせよ。

解かい: $x$ , $y$ それぞれで平方へいほう完成かんせい。

$x^{2} - 2 x = (x - 1)^{2} - 1$

$4 (y^{2} - 4 y) = 4 {(y - 2)^{2} - 4} = 4 (y - 2)^{2} - 16$

代入だいにゅうして $(x - 1)^{2} - 1 + 4 (y - 2)^{2} - 16 + 13 = 0$ 、整理せいりして

$(x - 1)^{2} + 4 (y - 2)^{2} = 4 \Rightarrow \frac{(x - 1)^{2}}{4} + (y - 2)^{2} = 1$

中ちゅう心しん $(1, 2)$ 、 $a = 2, b = 1$ の楕円だえん。

7. 円錐えんすい曲線きょくせんの系図けいず

まとめとして、 4 種たねの関係かんけいを系図けいずで。

出しゅっ発ぱつ	操そう作さ	行ゆき先さき
円えん ( $e = 0$ )	押おしつぶす	楕円だえん
楕円だえん ( $0 < e < 1$ )	$e \to 1$ で焦点しょうてんが無限むげんへ	放物線ほうぶつせん
放物線ほうぶつせん ( $e = 1$ )	$e > 1$ で反対はんたい側がわにも出でる	双曲線そうきょくせん
双曲線そうきょくせん ( $e > 1$ )	$e \to \infty$	2 直ちょく線せん (退たい化か)

8. 円錐えんすい曲線きょくせんと数学すうがくの歴史れきし

時代じだい	出来事できごと
紀元前きげんぜん 3 世紀せいき	アポロニウスが円えん錐すい曲きょく線せんを体系たいけい化か
17 世紀せいき前半ぜんはん	デカルトでかるとが座ざ標ひょう幾き何かを発明はつめい、 4 曲きょく線せんが数式すうしきで表あらわせるようになる
17 世紀せいき前半ぜんはん	ケプラーけぷらーが惑星わくせい = 楕円だえん軌き道どうを発見はっけん
17 世紀せいき後半こうはん	ニュートンにゅーとんが万有引力ばんゆういんりょくから円えん錐すい曲きょく線せん軌き道どうを数学すうがく的てきに導出どうしゅつ
19 世紀せいき	射影幾何しゃえいきかで 4 曲きょく線せんを「同おなじ 1 つの図形ずけい」として統一とういつ

次じの章しょうへ: 第だい 5 章しょうで 楕円だえん、第だい 6 章しょうで 双曲線そうきょくせん、第だい 7 章しょうで 放物線ほうぶつせん をそれぞれ詳くわしく学まなびます。この章しょうで学まなんだ 離心率りしんりつ・焦点しょうてん・準線じゅんせん の共きょう通つう言げん語ごが、すべての章しょうでカギになります。

章しょう末まつまとめ

円えん錐すいを切きる角度かくどで円えん・楕だ円えん・放物線ほうぶつせん・双曲線そうきょくせんの 4 種たね
一いっ般ぱん 2 次つぎ式しき $A x^{2} + B x y + C y^{2} + \dots = 0$ 、判はん別べつ式しき $Δ = B^{2} - 4 A C$
離心率りしんりつ $e$ で 4 種たねを区く別べつ: $e = 0$ 円、 $0 < e < 1$ 楕だ円えん、 $e = 1$ 放物線ほうぶつせん、 $e > 1$ 双曲線そうきょくせん
共きょう通つう言げん語ご: 焦点しょうてん・準線じゅんせん
物理ぶつりでは惑星わくせい軌き道どう・反はん射しゃ鏡として必須ひっす

円錐えんすい曲線きょくせん (円えん・楕円だえん・双曲線そうきょくせん・放物線ほうぶつせん の 総論そうろん)