円錐えんすい曲線きょくせん (円えん・楕円だえん・双曲線そうきょくせん・放物線ほうぶつせん の 総論そうろん)

この 章しょう で 学まなぶ こと

円えん・楕円だえん・双曲線そうきょくせん・放物線ほうぶつせん。 中学ちゅうがく か ら 別々べつべつ に 学がく ん で き た こ の 4 つ の 曲きょく線せん は、 実みのる は 同どう じ 円えん錐すい を 違 う 角度かくど で 切せつ る だ け で 全部ぜんぶ出で て く る、 兄弟きょうだい の 曲きょく線せん で す。 こ の 章しょう で は 円錐曲線えんすいきょくせん (二次曲線にじきょくせん) と し て 4 種たね を 統とう一いつ的 に 眺 め、 第だい 5・6・7 章しょう へ の 共きょう通つう言げん語ご を 整せい え ま す。

• 円えん錐すい を 切せつ る と な ぜ 4 種たね の 曲きょく線せん が 出で る か
• 二次曲線にじきょくせん $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+\cdots =0$ の 一いっ般ぱん形 と 4 種たね の 判別はんべつ
• 焦点しょうてん・準線じゅんせん・離心率りしんりつ と い う 共きょう通つう の 言げん語ご
• 4 つ を 離はなれ心しん率りつ$e$ で 区く別べつ す る 仕組しくみ み
• 円錐えんすい曲線きょくせん と 物理ぶつり・天文てんもん の 結むすぶ び つ き

大事だいじ: アポロニウス (古代こだい ギリシャ の 数学すうがく者しゃ) は 紀元前きげんぜん 3 世紀せいき に 「す べ て の 円えん錐すい曲きょく線せん は 1 個こ の 円えん錐すい か ら 切せつ り 出で せ る」 と 示 し ま し た。 そ の 約やく 2000 年ねん後ご、 ケプラー と ニュートン が 「惑星わくせい の 軌き道どう は 太陽たいよう を 焦しょう点てん と す る 楕円だえん」 と 発見はっけん し、 純粋じゅんすい数学すうがく が 自然しぜん法則ほうそく と 直接ちょくせつ結ゆい び つ く こ と を 証明しょうめい し ま し た。

1. 円錐えんすい を 切きる と 何なに が 出で る か

アポロニウス の 4 種たね

平面へいめん で 円えん錐すい (両側りょうがわ に 無限むげん に 伸しん び る ダ ブル コ ー ン) を 切せつ る 角度かくど で、 切せつ り 口くち は 4 種たね に 変化へんか し ま す。

切せつ り 方かた	切せつ り 口くち
軸じく に 垂すい直ちょく	円えん
軸じく に 斜はす め (母ぼ線せん と は 平へい行こう で な い)	**[[楕円
母ぼ線せん に 平へい行こう	**[[放物線
軸じく に 斜はす め で 両方りょうほう の 円えん錐すい を 切せつ る	**[[双曲線

円錐えんすい曲線きょくせん = 二に次じ曲線きょくせん

切せつ り 口くち を $xy$平へい面めん の 方程てい式 で 書しょ く と、 必 ず

$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$

の よ う な 2 次つぎ式しき に な り ま す。 そ こ で 円えん錐すい曲きょく線せん = 二次曲線にじきょくせん と も 呼こ ば れ ま す。

2. 4 種たね の 標準ひょうじゅん形がた

第だい 5〜7 章しょう で 詳 し く 学がく ぶ こ と に な る、 各かく曲きょく線せん の 標準形ひょうじゅんがた を 一覧いちらん に し ま す。

曲きょく線せん	標ひょう準じゅん形かたち	特とく徴ちょう
円えん (中ちゅう心しん原げん点てん)	$x^2+y^2=r^2$	1 つ の [[焦点
楕だ円えん	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$)	2 つ の [[焦点
双そう曲きょく線せん	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	2 つ の [[焦点
放物ぶつ線せん	$y^2=4px$ ま た は $x^2=4py$	1 つ の [[焦点

3. 焦点しょうてん・準じゅん線せん・離はなれ心しん率りつ

共通きょうつう の 定義ていぎ

円えん錐すい曲きょく線せん は す べ て、 「1 点てん (焦点しょうてん) と 1 直ちょく線せん (準線じゅんせん) か ら の 距きょ離り の 比ひ が 一いっ定てい」 と い う 共きょう通つう の 性せい質しつ で 定てい義ぎ で き ま す。

$\frac{距きょ}{離り}=e \left(\right[\left[離心率\mid りしんりつ\right]\left]\right)$

離はなれ心しん率りつ で 4 種たね を 区別くべつ

離はなれ心しん率りつ$e$	曲きょく線せん
$e=0$	円えん (準じゅん線せん が 無限むげん遠とお)
	[[楕円
$e=1$	[[放物線
$e>1$	[[双曲線

例題れいだい 1

焦点しょうてん$(2,0)$、 準線じゅんせん$x=8$、 離心率りしんりつ$e=1/2$ の 軌き跡せき を 求もとめ め よ。

解かい: 点$(x,y)$ と し、 $\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}=\frac{1}{2}\mid x-8\mid$。 両辺りょうへん 2 乗じょう し 整理せいり し て

$4\left\{\right(x-2{)}^2+y^2\}=(x-8{)}^2$

$4x^2-16x+16+4y^2=x^2-16x+64$

$3x^2+4y^2=48\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$

な の で 楕円だえん。

4. 二に次じ曲線きょくせん の 一般いっぱん形がた と 判別はんべつ

一般いっぱん形がた

$xy$ の 項こう を 含 む 一いっ般ぱん形 は

$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$

判別はんべつ式しき

判別式はんべつしき $\Delta =B^2-4AC$ で 種別しゅべつ が わ か り ま す。

| $\Delta$ | 円えん錐すい曲きょく線せん | |---|---| | | 楕円だえん (含 む 円えん) | | $\Delta =0$ | 放物線ほうぶつせん | | $\Delta >0$ | 双曲線そうきょくせん |

例題れいだい 2

$3x^2-2xy+3y^2-8=0$ は ど の 円えん錐すい曲きょく線せん か。

解かい: よ り 楕円だえん。 (実際じっさい、 $45°$回転かいてん す る と 標ひょう準じゅん形かたち の 楕だ円えん に な り ま す。)

5. 円錐えんすい曲線きょくせん と 自然しぜん ・ 物理ぶつり

ケプラー の 法則ほうそく と 楕円だえん軌道きどう

ケプラー は 17 世紀せいき に 惑星わくせい の 軌き道どう が 太陽たいよう を 焦しょう点てん と す る 楕円だえん で あ る こ と を 発見はっけん し ま し た。 万有引力ばんゆういんりょく (ニュートン) か ら 数学すうがく的てき に 導出どうしゅつ さ れ る 結けっ果か で、 軌き道どう の 種類しゅるい は 物体ぶったい の 力学的エネルギーりきがくてきエネルギー で 決けつ ま り ま す。

| エ ネ ル ギ ー | 軌き道どう | |---|---| | 負まけ で 大だい (深ふか い 束そく縛ばく) | 円えん ($e=0$ に 近きん い) | | 負まけ (束そく縛ばく あ り) | 楕円だえん () | | 0 (脱出だっしゅつ ぎ り ぎ り) | 放物線ほうぶつせん ($e=1$) | | 正ただし (脱出だっしゅつ) | 双曲線そうきょくせん ($e>1$) |

反射はんしゃ鏡きょう・パラボラ アンテナ

曲きょく線せん	反はん射しゃ の 性せい質しつ	用よう途と
[[放物線	ほうぶつせん]]	軸じく に 平行へいこう な 光ひかり が 焦しょう点てん に 集あつまり ま る
[[楕円	だえん]]	一方いっぽう の 焦しょう点てん か ら 出で た 光ひかり が もう 一方いっぽう の 焦しょう点てん に 集あつまり ま る
[[双曲線	そうきょくせん]]	一方いっぽう の 焦しょう点てん へ 向むこう か う 光ひかり が もう 一方いっぽう の 焦しょう点てん に 反射はんしゃ さ れ る

6. 二に次じ曲線きょくせん の 平行へいこう移動いどう

中心ちゅうしん が 原点げんてん で ない 場合ばあい

中ちゅう心しん (放物線ほうぶつせん で は 頂ちょう点てん) を $(p,q)$ に ず ら す と、 $x\to x-p$, $y\to y-q$ と 置 き 換 え れ ば 同どう じ 形かたち に な り ま す。

元もと の 形かたち	中ちゅう心しん$(p,q)$
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$\frac{(x-p{)}^2}{a^2}+\frac{(y-q{)}^2}{b^2}=1$
$y^2=4px$	$(y-q{)}^2=4p(x-p)$

例題れいだい 3

$x^2+4y^2-2x-16y+13=0$ を 標ひょう準じゅん形かたち に せ よ。

解かい: $x$, $y$ そ れ ぞ れ で 平方へいほう完成かんせい。

$x^2-2x=(x-1{)}^2-1$

$4(y^2-4y)=4\left\{\right(y-2{)}^2-4\}=4(y-2{)}^2-16$

代入だいにゅう し て $(x-1{)}^2-1+4(y-2{)}^2-16+13=0$、 整理せいり し て

$(x-1{)}^2+4(y-2{)}^2=4\Rightarrow \frac{(x-1{)}^2}{4}+(y-2{)}^2=1$

中ちゅう心しん$(1,2)$、 $a=2,b=1$ の 楕円だえん。

7. 円錐えんすい曲線きょくせん の 系図けいず

ま と め と し て、 4 種たね の 関係かんけい を 系図けいず で。

出しゅっ発ぱつ	操そう作さ	行あるき き 先さき
円えん ($e=0$)	押 し つ ぶ す	[[楕円
[[楕円	だえん]] ()	$e\to 1$ で [[焦点
[[放物線	ほうぶつせん]] ($e=1$)	$e>1$ で 反対はんたい側がわ に も 出で る
[[双曲線	そうきょくせん]] ($e>1$)	$e\to \infty$

8. 円錐えんすい曲線きょくせん と 数学すうがく の 歴史れきし

時代じだい	出来事できごと
紀元前きげんぜん 3 世紀せいき	アポロニウス が 円えん錐すい曲きょく線せん を 体系たいけい化か
17 世紀せいき前半ぜんはん	デカルト が 座ざ標ひょう幾き何か を 発明はつめい、 4 曲きょく線せん が 数式すうしき で 表ひょう せ る よ う に な る
17 世紀せいき前半ぜんはん	ケプラー が **[[惑星
17 世紀せいき後半こうはん	ニュートン が **[[万有引力
19 世紀せいき	[[射影幾何

次じ の 章しょう へ: 第だい 5 章しょう で 楕円だえん、 第だい 6 章しょう で 双曲線そうきょくせん、 第だい 7 章しょう で 放物線ほうぶつせん を そ れ ぞ れ 詳 し く 学がく び ま す。 こ の 章しょう で 学がく ん だ 離心率りしんりつ・焦点しょうてん・準線じゅんせん の 共きょう通つう言げん語ご が、 す べ て の 章しょう で カ ギ に な り ま す。

章しょう末まつ まとめ

• 円えん錐すい を 切せつ る 角度かくど で 円えん・楕だ円えん・放物線ほうぶつせん・双曲線そうきょくせん の 4 種たね
• 一いっ般ぱん 2 次つぎ式しき$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+\cdots =0$、 判はん別べつ式しき$\Delta =B^2-4AC$
• 離心率りしんりつ$e$ で 4 種たね を 区く別べつ: $e=0$円、 楕だ円えん、 $e=1$放物線ほうぶつせん、 $e>1$双曲線そうきょくせん
• 共きょう通つう言げん語ご: 焦点しょうてん・準線じゅんせん
• 物理ぶつり で は 惑星わくせい軌き道どう・反はん射しゃ鏡 と し て 必須ひっす