この 章 で 学ぶ こと
「片方 が 変われば もう 片方 も 変わる」 — 2 つ の 量 の 関係 を 数学 で 表す しくみ を 学び ます。 これ が 関数 です。
- 2 つ の 変数x、 y の 関係 を 関数 と して とらえる
- 比例 y=ax の 意味 と グラフ を 知る
- 反比例 y=dfracax の 意味 と グラフ を 知る
- 比例定数 a の 意味 と 求め方
- 座標 と 座標平面 で 点 を 表せる
- 比例・反比例 を 身 の まわり の 例 で 見つけられる
ポイント: 関数 = 「x が 1 つ 決まる と y も 1 つ 決まる」 関係。 比例 と 反比例 は その 中 で 一番 シンプル な 形 で す。
1. 関数 と 変数
関数 と は
2 つ の 数量x、 y が あり、 x の 値 を 1 つ 決める と それ に 応じて y の 値 が ただ 1 つ 決まる とき、 y は x の 関数 で ある と いい ます。
| 例 | y は x の 関数 か |
|---|
| y=3x+1 | はい (x=2oy=7、 1 つ に 決まる) |
| 1 辺x cm の 正方形 の 面積y cm² | はい (y=x2) |
| 身長x cm の 人 の 体重y kg | いいえ (同じ 身長 の 人 で も 体重 は ちがう) |
変数 と 定数
- 変数: いろいろ な 値 を とる 文字 (ふつう x や y)
- 定数: 値 が 決まった 数 (たとえば 「1 個 80 円」 の 80)
2. 座標
座標平面
垂直 に 交わる 2 つ の 数直線 を 使って、 平面上 の 点 の 位置 を 表す しくみ を 座標平面 と いいます。
| 名前 | 説明 |
|---|
| **[[x軸 | xじく]]** |
| **[[y軸 | yじく]]** |
| **[[原点 | げんてん]]** |
| **[[座標 | ざひょう]]** |
| 第1象限 | 第2象限 | 第3象限 | 第4象限 |
|---|
| x>0,y>0 (右上) | x<0,y>0 (左上) | x<0,y<0 ([左下 | ひだりした]) |
例題
例題
| 問題 | 解法 |
|---|---|
| 点mathrmA(3,2) は どの 象限 に ある か。 | x>0、 y>0 → 第 1 象限 |
| 点mathrmB(−2,−4) は どの 象限 に ある か。 | x<0、 y<0 → 第 3 象限 |
| 点mathrmC(0,5) は どこ に ある か。 | x=0 → y軸上 |
やって みよう: 点mathrmD(−3,0) は どこ に ある か。 (答え: x軸上)
3. 比例
比例 の 意味
y が x の 比例 で ある と は、
y=axquad(aextは0extでない定数)
の 形 で 書ける こと。 この a を 比例定数 と いい ます。
特ちょう: x が 2 倍、 3 倍 に なる と、 y も 2 倍、 3 倍 に なる。
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|
| y=2x | −4 | −2 | 0 | 2 | 4 | 6 |
比例定数 を 求める
「y は x に 比例 し、 x=4 の とき y=12」 と あれば、 y=ax に 代入 して
12=aimes4quadLongrightarrowquada=3
なので y=3x。
例題
| 問題 | 解法 |
|---|
| y は x に 比例 し、 x=5 の とき y=−15。 比例 の 式 を 求めよ。 | −15=5a、 a=−3、 答え y=−3x |
| 上 の 式 で x=−2 の とき の y を 求めよ。 | y=−3imes(−2)=6 |
比例 の グラフ
y=ax の グラフ は 原点 を 通る 直線 です。
| a の 符号 | グラフ の 向き |
|---|
| a>0 | 右上がり (左下 から 右上 へ) |
| a<0 | [右 |
| a の 大きさ | 直線 の 急さ |
|---|---|
| ∣a∣ が 大きい | 急 (急こう配) |
| ∣a∣ が 小さい | ゆるやか |
大事: 比例 の グラフ は 必ず 原点 を 通る。 これ は x=0 の とき y=aimes0=0 だから。
4. 反比例
反比例 の 意味
y が x の 反比例 で ある と は、
y=dfracaxquad(aextは0extでない定数)
の 形 で 書ける こと。 同じ く a を 比例定数 と いい ます。
特ちょう: x が 2 倍、 3 倍 に なる と、 y は dfrac12倍、 dfrac13倍 に なる。 つまり xy=a (積 が 一定)。
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 |
|---|
| y=dfrac12x | 12 | 6 | 4 | 3 | 2 |
反比例定数 を 求める
「y は x に 反比例 し、 x=3 の とき y=8」 と あれば、 y=dfracax に 代入 して
8=dfraca3quadLongrightarrowquada=24
なので y=dfrac24x。
例題
| 問題 | 解法 |
|---|
| y は x に 反比例 し、 x=−4 の とき y=3。 式 を 求めよ。 | a=xy=−4imes3=−12、 答え y=−dfrac12x |
| 上 の 式 で x=6 の とき の y を 求めよ。 | y=−dfrac126=−2 |
反比例 の グラフ
y=dfracax の グラフ は 双曲線 と 呼ばれる 2 本 の なめらかな 曲線 です。
| a の 符号 | 曲線 が 通る 象限 |
|---|
| a>0 | 第 1 象限 と 第 3 象限 |
| a<0 | [第 |
特ちょう: x軸・y軸 に 限りなく 近づく が 接しない (xeq0、 yeq0)。
5. 身 の まわり の 比例・反比例
| 例 | 関係 | 式 |
|---|---|---|
| 1 m あたり a円 の リボン を x m 買った 代金y円 | 比例 | y=ax |
| 時速v km で x時間走った きょり y km | 比例 | y=vx |
| 一定 の 道のり L km を 時速x km で 進む 時間y時間 | 反比例 | y=dfracLx |
| 面積 が 一定S の 長方形 の 縦x と 横y | 反比例 | y=dfracSx |
| 一定量 の 仕事 を x人 で 分ける と 1 人 あたり y | 反比例 | y=dfracWx |
例題
| 問題 | 解法 |
|---|---|
| 容積 600 mL の 水そう に 毎分x mL の はやさ で 水 を 入れる と y分 で 満タン。 式 を 立てよ。 | ximesy=600、 すなわち y=dfrac600x (反比例) |
| ある 自転車 が 1 時間 で 12 km 進む とき、 x時間 で 進む きょり y km は? | y=12x (比例) |
やって みよう: 1 個 50 円 の あめ を x個買った 代金y円 は 比例 か 反比例 か? (答え: y=50x、 比例)
まとめ
- 関数: x が 1 つ 決まる と y が 1 つ 決まる 関係
- 比例 y=ax: グラフ は 原点 を 通る 直線、 x が 2 倍 → y も 2 倍
- 反比例 y=dfracax: グラフ は 双曲線、 x が 2 倍 → y は dfrac12倍 (xy が 一定)
- 比例・反比例 とも 比例定数a は 1 組 の (x,y) が わかれば 求まる
- 座標 (x,y) で 平面上 の 点 を 表す。 4 つ の 象限 で 符号 が 決まる