比例ひれいと反比例はんぴれい

この章しょうで学まなぶこと

「片方かたほうが変かわればもう片方かたほうも変かわる」 — 2 つの量りょうの関係かんけいを数学すうがくで表あらわすしくみを学まなびます。 これが 関数かんすう です。

• 2 つの変数へんすう$x$、 $y$ の関係かんけいを 関数かんすう としてとらえる
• 比例ひれい $y=ax$ の意味いみとグラフを知しる
• 反比例はんぴれい $y=dfracax$ の意味いみとグラフを知しる
• 比例定数ひれいていすう $a$ の意味いみと求もとめ方かた
• 座標ざひょう と 座標平面ざひょうへいめん で点てんを表あらわせる
• 比例ひれい・反比例はんぴれいを 身みのまわりの例れい で見みつけられる

ポイント: 関数かんすう = 「$x$ が 1 つ決きまると $y$ も 1 つ決きまる」 関係かんけい。 比例ひれいと反比例はんぴれいはその中なかで一番いちばんシンプルな形かたちです。

1. 関数かんすうと変数へんすう

関数かんすうとは

2 つの数量すうりょう$x$、 $y$ があり、 $x$ の値あたいを 1 つ決きめるとそれに応おうじて $y$ の値あたいが ただ 1 つ 決きまるとき、 $y$ は $x$ の 関数かんすう であるといいます。

例れい	$y$ は $x$ の関数かんすうか
$y=3x+1$	はい ($x=2oy=7$、 1 つに決きまる)
1 辺へん$x$ cm の正方形せいほうけいの面積めんせき$y$ cm²	はい ($y=x^2$)
身長しんちょう$x$ cm の人ひとの体重たいじゅう$y$ kg	いいえ (同おなじ身長しんちょうの人ひとでも体重たいじゅうはちがう)

変数へんすうと定数ていすう

• 変数へんすう: いろいろな値あたいをとる文字もじ (ふつう $x$ や $y$)
• 定数ていすう: 値あたいが決きまった数かず (たとえば 「1 個こ 80 円えん」 の $80$)

2. 座標ざひょう

座標ざひょう平面へいめん

垂直すいちょくに交まじわる 2 つの数すう直線ちょくせんを使つかって、 平面へいめん上じょうの点てんの位置いちを表あらわすしくみを 座標平面ざひょうへいめん といいます。

名前なまえ	説明せつめい
x軸xじく	横よこの数すう直線ちょくせん (右みぎが正せい)
y軸yじく	たての数すう直線ちょくせん (上じょうが正せい)
原点げんてん	2 軸じくの交点こうてん (記号きごう$mathrmO$)
座標ざひょう	$(x,y)$ の形かたちで点てんを表あらわす

第だい1象限しょうげん	第だい2象限しょうげん	第だい3象限しょうげん	第だい4象限しょうげん
$x>0,y>0$ (右みぎ上じょう)	(左上ひだりうえ)	(左下ひだりした)	(右みぎ下か)

例題れいだい

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
点$mathrmA(3,2)$ はどの象限しょうげんにあるか。	$x>0$、 $y>0$ → 第だい 1 象限しょうげん
点$mathrmB(-2,-4)$ はどの象限しょうげんにあるか。	、 → 第だい 3 象限しょうげん
点$mathrmC(0,5)$ はどこにあるか。	$x=0$ → $y$軸じく上じょう

やってみよう: 点$mathrmD(-3,0)$ はどこにあるか。 (答えこたえ: $x$軸じく上じょう)

3. 比例ひれい

比例ひれいの意味いみ

$y$ が $x$ の 比例ひれい であるとは、

$y=axquad\left(aextは0extでない定数\right)$

の形かたちで書かけること。 この $a$ を 比例定数ひれいていすう といいます。

特とくちょう: $x$ が 2 倍ばい、 3 倍ばいになると、 $y$ も 2 倍ばい、 3 倍ばいになる。

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y=2x$	$-4$	$-2$	$0$	$2$	$4$	$6$

比例ひれい定数ていすうを求もとめる

「$y$ は $x$ に比例ひれいし、 $x=4$ のとき $y=12$」 とあれば、 $y=ax$ に代入だいにゅうして

$12=aimes4quadLongrightarrowquada=3$

なので $y=3x$。

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$y$ は $x$ に比例ひれいし、 $x=5$ のとき $y=-15$。 比例ひれいの式しきを求もとめよ。	$-15=5a$、 $a=-3$、 答えこたえ $y=-3x$
上うえの式しきで $x=-2$ のときの $y$ を求もとめよ。	$y=-3imes(-2)=6$

比例ひれいのグラフ

$y=ax$ のグラフは 原点げんてんを通とおる直線ちょくせん です。

$a$ の符号ふごう	グラフの向むき
$a>0$	右みぎ上あがり (左下ひだりしたから右みぎ上じょうへ)
	右みぎ下さがり (左上ひだりうえから右みぎ下かへ)

$a$ の大おおきさ	直線ちょくせんの急きゅうさ
$\mid a\mid$ が大おおきい	急きゅう (急きゅうこう配ばい)
$\mid a\mid$ が小ちいさい	ゆるやか

大事だいじ: 比例ひれいのグラフは 必かならず原点げんてんを通とおる。 これは $x=0$ のとき $y=aimes0=0$ だから。

4. 反比例はんぴれい

反比例はんぴれいの意味いみ

$y$ が $x$ の 反比例はんぴれい であるとは、

$y=dfracaxquad\left(aextは0extでない定数\right)$

の形かたちで書かけること。 同おなじく $a$ を 比例定数ひれいていすう といいます。

特とくちょう: $x$ が 2 倍ばい、 3 倍ばいになると、 $y$ は $dfrac12$倍、 $dfrac13$倍になる。 つまり $xy=a$ (積せきが一定いってい)。

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$6$
$y=dfrac12x$	$12$	$6$	$4$	$3$	$2$

反比例はんぴれい定数ていすうを求もとめる

「$y$ は $x$ に反比例はんぴれいし、 $x=3$ のとき $y=8$」 とあれば、 $y=dfracax$ に代入だいにゅうして

$8=dfraca3quadLongrightarrowquada=24$

なので $y=dfrac24x$。

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$y$ は $x$ に反比例はんぴれいし、 $x=-4$ のとき $y=3$。 式しきを求もとめよ。	$a=xy=-4imes3=-12$、 答えこたえ $y=-dfrac12x$
上うえの式しきで $x=6$ のときの $y$ を求もとめよ。	$y=-dfrac126=-2$

反比例はんぴれいのグラフ

$y=dfracax$ のグラフは 双曲線そうきょくせん と呼よばれる 2 本ほんのなめらかな曲線きょくせんです。

$a$ の符号ふごう	曲線きょくせんが通とおる象限しょうげん
$a>0$	第だい 1 象限しょうげんと第だい 3 象限しょうげん
	第だい 2 象限しょうげんと第だい 4 象限しょうげん

特とくちょう: $x$軸・$y$軸に 限かぎりなく近ちかづくが接せっしない ($xeq0$、 $yeq0$)。

5. 身みのまわりの比例ひれい・反比例はんぴれい

例れい	関係かんけい	式しき
1 m あたり $a$円のリボンを $x$ m 買かった代金だいきん$y$円	比例ひれい	$y=ax$
時速じそく$v$ km で $x$時間じかん走はしったきょり $y$ km	比例ひれい	$y=vx$
一定いっていの道のりみちのり $L$ km を時速じそく$x$ km で進すすむ時間じかん$y$時間じかん	反比例はんぴれい	$y=dfracLx$
面積めんせきが一定いってい$S$ の長方形ちょうほうけいの縦$x$ と横$y$	反比例はんぴれい	$y=dfracSx$
一定いってい量りょうの仕事しごとを $x$人で分わけると 1 人ひとあたり $y$	反比例はんぴれい	$y=dfracWx$

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
容積ようせき 600 mL の水みずそうに毎まい分ぶん$x$ mL のはやさで水みずを入いれると $y$分で満まんタン。 式しきを立たてよ。	$ximesy=600$、 すなわち $y=dfrac600x$ (反比例はんぴれい)
ある自転車じてんしゃが 1 時間じかんで 12 km 進すすむとき、 $x$時間じかんで進すすむきょり $y$ km は？	$y=12x$ (比例ひれい)

やってみよう: 1 個こ 50 円えんのあめを $x$個買かった代金だいきん$y$円は比例ひれいか反比例はんぴれいか？ (答えこたえ: $y=50x$、 比例ひれい)

まとめ

• 関数かんすう: $x$ が 1 つ決きまると $y$ が 1 つ決きまる関係かんけい
• 比例ひれい $y=ax$: グラフは 原点げんてんを通とおる直線ちょくせん、 $x$ が 2 倍ばい → $y$ も 2 倍ばい
• 反比例はんぴれい $y=dfracax$: グラフは 双曲線そうきょくせん、 $x$ が 2 倍ばい → $y$ は $dfrac12$倍 ($xy$ が一定いってい)
• 比例ひれい・反比例はんぴれいとも比例ひれい定数ていすう$a$ は 1 組くみの $(x,y)$ がわかれば求もとまる
• 座標ざひょう $(x,y)$ で平面へいめん上じょうの点てんを表あらわす。 4 つの象限しょうげんで符号ふごうが決きまる