比例ひれい と 反比例はんぴれい

この 章しょう で 学まなぶ こと

「片方かたほう が 変かわれば もう 片方かたほう も 変かわる」 — 2 つ の 量りょう の 関係かんけい を 数学すうがく で 表あらわす しくみ を 学まなび ます。 これ が 関数かんすう です。

• 2 つ の 変数へんすう$x$、 $y$ の 関係かんけい を 関数かんすう と して とらえる
• 比例ひれい $y=ax$ の 意味いみ と グラフ を 知しる
• 反比例はんぴれい $y=dfracax$ の 意味いみ と グラフ を 知しる
• 比例定数ひれいていすう $a$ の 意味いみ と 求もとめ方かた
• 座標ざひょう と 座標平面ざひょうへいめん で 点てん を 表あらわせる
• 比例ひれい・反比例はんぴれい を 身み の まわり の 例れい で 見みつけられる

ポイント: 関数かんすう = 「$x$ が 1 つ 決きまる と $y$ も 1 つ 決きまる」 関係かんけい。 比例ひれい と 反比例はんぴれい は その 中なか で 一番いちばん シンプル な 形かたち で す。

1. 関数かんすう と 変数へんすう

関数かんすう と は

2 つ の 数量すうりょう$x$、 $y$ が あり、 $x$ の 値ね を 1 つ 決きめる と それ に 応おうじて $y$ の 値ね が ただ 1 つ 決きまる とき、 $y$ は $x$ の 関数かんすう で ある と いい ます。

例れい	$y$ は $x$ の 関数かんすう か
$y=3x+1$	はい ($x=2oy=7$、 1 つ に 決きまる)
1 辺$x$ cm の 正方形せいほうけい の 面積めんせき$y$ cm²	はい ($y=x^2$)
身長しんちょう$x$ cm の 人ひと の 体重たいじゅう$y$ kg	いいえ (同おなじ 身長しんちょう の 人ひと で も 体重たいじゅう は ちがう)

変数へんすう と 定数ていすう

• 変数へんすう: いろいろ な 値ね を とる 文字もじ (ふつう $x$ や $y$)
• 定数ていすう: 値ね が 決きまった 数かず (たとえば 「1 個こ 80 円えん」 の $80$)

2. 座標ざひょう

座標ざひょう平面へいめん

垂直すいちょく に 交まじわる 2 つ の 数かず直線ちょくせん を 使つかって、 平面へいめん上じょう の 点てん の 位置いち を 表あらわす しくみ を 座標平面ざひょうへいめん と いいます。

名前なまえ	説明せつめい
**[[x軸	xじく]]**
**[[y軸	yじく]]**
**[[原点	げんてん]]**
**[[座標	ざひょう]]**

第だい1象限しょうげん	第だい2象限しょうげん	第だい3象限しょうげん	第だい4象限しょうげん
$x>0,y>0$ (右みぎ上じょう)	(左上ひだりうえ)	([左下	ひだりした])

例題れいだい

例題れいだい

| 問題もんだい | 解法かいほう | |---|---| | 点$mathrmA(3,2)$ は どの 象限しょうげん に ある か。 | $x>0$、 $y>0$ → 第だい 1 象限しょうげん | | 点$mathrmB(-2,-4)$ は どの 象限しょうげん に ある か。 | 、 → 第だい 3 象限しょうげん | | 点$mathrmC(0,5)$ は どこ に ある か。 | $x=0$ → $y$軸じく上じょう |

やって みよう: 点$mathrmD(-3,0)$ は どこ に ある か。 (答こたえ: $x$軸じく上じょう)

3. 比例ひれい

比例ひれい の 意味いみ

$y$ が $x$ の 比例ひれい で ある と は、

$y=axquad\left(aextは0extでない定数\right)$

の 形かたち で 書かける こと。 この $a$ を 比例定数ひれいていすう と いい ます。

特とくちょう: $x$ が 2 倍ばい、 3 倍ばい に なる と、 $y$ も 2 倍ばい、 3 倍ばい に なる。

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y=2x$	$-4$	$-2$	$0$	$2$	$4$	$6$

比例ひれい定数ていすう を 求もとめる

「$y$ は $x$ に 比例ひれい し、 $x=4$ の とき $y=12$」 と あれば、 $y=ax$ に 代入だいにゅう して

$12=aimes4quadLongrightarrowquada=3$

なので $y=3x$。

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$y$ は $x$ に 比例ひれい し、 $x=5$ の とき $y=-15$。 比例ひれい の 式しき を 求もとめよ。	$-15=5a$、 $a=-3$、 答こたえ $y=-3x$
上うえ の 式しき で $x=-2$ の とき の $y$ を 求もとめよ。	$y=-3imes(-2)=6$

比例ひれい の グラフ

$y=ax$ の グラフ は 原点げんてん を 通とおる 直線ちょくせん です。

$a$ の 符号ふごう	グラフ の 向むき
$a>0$	右みぎ上あがり (左下ひだりした から 右みぎ上じょう へ)
	[右

| $a$ の 大おおきさ | 直線ちょくせん の 急きゅうさ | |---|---| | $\mid a\mid$ が 大おおきい | 急きゅう (急きゅうこう配ばい) | | $\mid a\mid$ が 小ちいさい | ゆるやか |

大事だいじ: 比例ひれい の グラフ は 必かならず 原点げんてん を 通とおる。 これ は $x=0$ の とき $y=aimes0=0$ だから。

4. 反比例はんぴれい

反比例はんぴれい の 意味いみ

$y$ が $x$ の 反比例はんぴれい で ある と は、

$y=dfracaxquad\left(aextは0extでない定数\right)$

の 形かたち で 書かける こと。 同おなじ く $a$ を 比例定数ひれいていすう と いい ます。

特とくちょう: $x$ が 2 倍ばい、 3 倍ばい に なる と、 $y$ は $dfrac12$倍、 $dfrac13$倍 に なる。 つまり $xy=a$ (積せき が 一定いってい)。

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$6$
$y=dfrac12x$	$12$	$6$	$4$	$3$	$2$

反比例はんぴれい定数ていすう を 求もとめる

「$y$ は $x$ に 反比例はんぴれい し、 $x=3$ の とき $y=8$」 と あれば、 $y=dfracax$ に 代入だいにゅう して

$8=dfraca3quadLongrightarrowquada=24$

なので $y=dfrac24x$。

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$y$ は $x$ に 反比例はんぴれい し、 $x=-4$ の とき $y=3$。 式しき を 求もとめよ。	$a=xy=-4imes3=-12$、 答こたえ $y=-dfrac12x$
上うえ の 式しき で $x=6$ の とき の $y$ を 求もとめよ。	$y=-dfrac126=-2$

反比例はんぴれい の グラフ

$y=dfracax$ の グラフ は 双曲線そうきょくせん と 呼よばれる 2 本ほん の なめらかな 曲線きょくせん です。

$a$ の 符号ふごう	曲線きょくせん が 通とおる 象限しょうげん
$a>0$	第だい 1 象限しょうげん と 第だい 3 象限しょうげん
	[第

特とくちょう: $x$軸・$y$軸 に 限かぎりなく 近ちかづく が 接せっしない ($xeq0$、 $yeq0$)。

5. 身み の まわり の 比例ひれい・反比例はんぴれい

| 例れい | 関係かんけい | 式しき | |---|---|---| | 1 m あたり $a$円 の リボン を $x$ m 買かった 代金だいきん$y$円 | 比例ひれい | $y=ax$ | | 時速じそく$v$ km で $x$時間じかん走はしった きょり $y$ km | 比例ひれい | $y=vx$ | | 一定いってい の 道みちのり $L$ km を 時速じそく$x$ km で 進すすむ 時間じかん$y$時間じかん | 反比例はんぴれい | $y=dfracLx$ | | 面積めんせき が 一定いってい$S$ の 長方形ちょうほうけい の 縦$x$ と 横$y$ | 反比例はんぴれい | $y=dfracSx$ | | 一定いってい量りょう の 仕事しごと を $x$人 で 分わける と 1 人ひと あたり $y$ | 反比例はんぴれい | $y=dfracWx$ |

例題れいだい

| 問題もんだい | 解法かいほう | |---|---| | 容積ようせき 600 mL の 水みずそう に 毎まい分ぶん$x$ mL の はやさ で 水みず を 入いれる と $y$分 で 満まんタン。 式しき を 立だてよ。 | $ximesy=600$、 すなわち $y=dfrac600x$ (反比例はんぴれい) | | ある 自転車じてんしゃ が 1 時間じかん で 12 km 進すすむ とき、 $x$時間じかん で 進すすむ きょり $y$ km は？ | $y=12x$ (比例ひれい) |

やって みよう: 1 個こ 50 円えん の あめ を $x$個買かった 代金だいきん$y$円 は 比例ひれい か 反比例はんぴれい か？ (答こたえ: $y=50x$、 比例ひれい)

まとめ

• 関数かんすう: $x$ が 1 つ 決きまる と $y$ が 1 つ 決きまる 関係かんけい
• 比例ひれい $y=ax$: グラフ は 原点げんてん を 通とおる 直線ちょくせん、 $x$ が 2 倍ばい → $y$ も 2 倍ばい
• 反比例はんぴれい $y=dfracax$: グラフ は 双曲線そうきょくせん、 $x$ が 2 倍ばい → $y$ は $dfrac12$倍 ($xy$ が 一定いってい)
• 比例ひれい・反比例はんぴれい とも 比例ひれい定数ていすう$a$ は 1 組くみ の $(x,y)$ が わかれば 求もとまる
• 座標ざひょう $(x,y)$ で 平面へいめん上じょう の 点てん を 表あらわす。 4 つ の 象限しょうげん で 符号ふごう が 決きまる