放物線ほうぶつせん (準じゅん線せん・焦点しょうてん)

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがくで学まなんだ $y=a{x}^2$ は 放物線ほうぶつせん でした。 数学すうがく C ではこれを 「焦点しょうてん と 準線じゅんせん からの距きょ離り が等ひとしい点てんの 軌跡きせき」 という円えん錐すい曲きょく線せん の視点してんで捉とらえ直なおします。 離心率りしんりつ $e=1$ で、 楕だ円えん () と双そう曲きょく線せん ($e>1$) の 境きょう界かい に立たつ曲きょく線せん です。

• 放物ぶつ線せん の 作図さくず定てい義ぎ (焦点しょうてん・準線じゅんせん)
• 標ひょう準じゅん形かたちと 4 種たねの向むき
• 放物ぶつ線せん の 接線せっせん
• 反射性質はんしゃせいしつ とパラボラアンテナ
• 斜方投射しゃほうとうしゃ とのつながり

覚おぼえ方かた: 楕だ円えん = 「閉とじた卵たまご形がた」、 双そう曲きょく線せん = 「開ひらいた 2 本ほんの弓ゆみ」、 放物ぶつ線せん = 「無限むげんに伸のびる U 字じ」。 離心率りしんりつ $e=1$ で楕だ円えん から双そう曲きょく線せん への 臨りん界かい な形がたで、 「お椀わん」 「衛えい星せい放ほう送そう アンテナ」 「投なげたボールの軌道きどう」 という私わたしたちに最もっともなじみ深ふかい円えん錐すい曲きょく線せん です。

1. 放物線ほうぶつせんの定義ていぎ

作図さくず定義ていぎ

平へい面めん上じょうの 1 定てい点てん $F$ (焦点しょうてん) と、 これを通とおらない 1 直ちょく線せん $\ell$ (準線じゅんせん) からの 距きょ離り が等ひとしい 点$P$ の 軌跡きせき を 放物線ほうぶつせん と呼よびます。

$PF=(P から \ell への$距きょ離り)\mathrm{PF} = (\mathrm{P} \text{ から } \ell \text{ への距きょ離り})

離心率りしんりつ $e=1$ に相そう当とう します。

用語ようご

用よう語ご	意い味み
焦点しょうてん	定てい点てん $F$
準線じゅんせん	定てい直ちょく線せん $\ell$
頂点ちょうてん	$F$ と $\ell$ を結むすぶ垂線すいせんと放物ぶつ線せん の交こう点てん
軸じく	$F$ を通とおり $\ell$ に垂すい直ちょく な直ちょく線せん

2. 放物線ほうぶつせんの標準ひょうじゅん形がた

軸じくが x 軸じく、 焦点しょうてんが右

焦点しょうてん $F(p,0)$、 準線じゅんせん $x=-p$ ($p>0$) のとき、 標ひょう準じゅん形かたちは

$y^2=4px$

4 種たねの向むき

形かたち	焦点しょうてん	準線じゅんせん	向むき
$y^2=4px$	$(p,0)$	$x=-p$	右みぎ
$y^2=-4px$	$(-p,0)$	$x=p$	左ひだり
$x^2=4py$	$(0,p)$	$y=-p$	上うえ
$x^2=-4py$	$(0,-p)$	$y=p$	下した

中学ちゅうがくの y = ax² との関係かんけい

$x^2=4py$ で $4p=1/a$、 すなわち $p=1/\left(4a\right)$。 例たとえば $y=x^2$ ($a=1$) なら 焦点しょうてん は $(0,1/4)$、 準線じゅんせん は $y=-1/4$。

例題れいだい 1

$y^2=8x$ の 焦点しょうてん と 準線じゅんせん を求もとめよ。

解かい: $4p=8$ より $p=2$。 焦点しょうてん $(2,0)$、 準線じゅんせん $x=-2$。

例題れいだい 2

焦点しょうてん $(0,3)$、 準線じゅんせん $y=-3$ の放物ぶつ線せん を求もとめよ。

解かい: 頂点ちょうてん は原げん点てん、 上向うわむき、 $p=3$ より $x^2=12y$。

3. 放物線ほうぶつせんの接線せっせん

公式こうしき

$y^2=4px$上の点$(x_0,y_0)$ における 接線せっせん は

$y_{0}y=2p(x+x_0)$

$x^2=4py$上の点$(x_0,y_0)$ では

$x_{0}x=2p(y+y_0)$

例題れいだい 3

$y^2=4x$上の点$(1,2)$ における接せっ線せん を求もとめよ。

解かい: $4p=4$ より $p=1$。 公こう式しき $2y=2(x+1)$、 すなわち $y=x+1$。

4. 反射はんしゃ性質せいしつ

焦点しょうてんと軸じくの平行へいこう光線こうせん

放物線ほうぶつせん の鏡かがみに軸じくと平行へいこうな光線こうせんをあてると、 反はん射しゃ光こうは すべて 焦点しょうてん $F$ に集あつまる。 逆ぎゃくに 焦点しょうてん から出でた光ひかりは反はん射しゃ後に 軸じくと平行へいこうな平行へいこう光線こうせん になる。

応用おうよう

装そう置ち	仕組く み
パラボラアンテナ (衛えい星せい放ほう送そう)	平行へいこうに来くる電波でんぱを焦しょう点てん に集あつめ、 そこに受信じゅしん部ぶを置おく
太陽たいよう炉ろ	太陽光たいようこう (ほぼ平行へいこう) を焦しょう点てん に集中しゅうちゅうして高温こうおんを得える
自動車じどうしゃヘッドライト	焦しょう点てん に電球でんきゅうを置おき、 反はん射しゃ光こうを平行へいこうビームにする
反はん射しゃ望遠鏡ぼうえんきょう (ニュートン式しき)	平行へいこうに来くる星ほしの光ひかりを焦しょう点てん に結ゆい像ぞう
拡声かくせいマイク (パラボラ型がた)	遠とおくの音おとを焦しょう点てん に集あつめて集しゅう音おん

直感ちょっかん: 「平行へいこう光線こうせん → 1 点てん集中しゅうちゅう」 は、 パラボラ形がただけが持もつ数学すうがく的てき性せい質しつ で、 球形きゅうけいの鏡かがみでは焦しょう点てん が場所ばしょによってずれます (球面収差きゅうめんしゅうさ)。 だから高性能こうせいのう望遠鏡ぼうえんきょうや衛えい星せい アンテナは必かならず放物ぶつ線せん (または双そう曲きょく線せん・楕だ円えん) 形かたちを使つかいます。

5. 物理ぶつりの斜はす方かた投射とうしゃとの関連かんれん

投射とうしゃ軌道きどうが放物線ほうぶつせん

地球ちきゅう表ひょう面めん近ちかくで、 重力じゅうりょくだけを受うけて動うごく物体ぶったい (斜方投射しゃほうとうしゃ) の軌き道どう は 放物線ほうぶつせん になります。

量りょう	式しき	説せつ明めい
水平すいへい位い置ち	$x=v_0\cos \theta \cdot t$	水平すいへいには等ひとし速そく
鉛直えんちょく位い置ち	$y=v_0\sin \theta \cdot t-\frac{1}{2}g{t}^2$	重力じゅうりょくで加速度かそくど$-g$

$t$ を消去しょうきょすると

$y=(\tan \theta )x-\frac{g}{2v02{\cos }^2\theta }{x}^2$

$x^2$ の項こうがあるので 放物線ほうぶつせん。 数学すうがく C の 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじ (Ch2) との直接的ちょくせつてきな例れいです。

例題れいだい 4

初速しょそく$v_0=20 m/s$、 角度かくど$\theta =45°$ で投射とうしゃした物体ぶったいが着地ちゃくちする距きょ離り (水平すいへい到達とうたつ距きょ離り) を求もとめよ。 重力じゅうりょく加速度かそくど$g=9.8 m/s^2$ とする。

解かい: 水平すいへい到達とうたつ距きょ離り $R=\frac{v02\sin 2\theta }{g}=\frac{400\cdot 1}{9.8}\approx 40.8 m$。

6. 放物線ほうぶつせんの平行へいこう移動いどう

頂点ちょうてんが原点げんてんでない場合ばあい

頂点ちょうてん $(p,q)$ の上向うわむき放物ぶつ線せん は

$(x-p{)}^2=4P(y-q)$

平方へいほう完成かんせいの例

$y=x^2-4x+7$ → $y=(x-2{)}^2+3$ → $(x-2{)}^2=y-3$。 頂点ちょうてん $(2,3)$、 $4P=1$ より $P=1/4$、 焦点しょうてん $(2,3+1/4)$、 準線じゅんせん $y=3-1/4$。

7. 円錐えんすい曲線きょくせん統一とういつの視点してん

離はなれ心しん率りつで並ならべる

円えん錐すい曲きょく線せん	離心率りしんりつ $e$	形かたち
円えん	$0$	閉とじた 1 周しゅう
楕円だえん		閉とじた楕だ円えん
放物線ほうぶつせん	$1$	境きょう界かい、 開ひらいた U 字じ
双曲線そうきょくせん	$>1$	開ひらいた 2 本ほん

極ごく方程式ほうていしきで統一とういつ

第だい 3 章しょうで学まなんだ 極方程式きょくほうていしき で、 円えん錐すい曲きょく線せん は すべて

$r=\frac{l}{1+e\cos \theta }$

の形かたちで書かけます。 $e$ の値ねで 4 種たねがすっきり並ならびます。 $e=1$ で放物ぶつ線せん (分母ぶんぼが 0 になる $\theta =\pi$ で $r\to \infty$、 開ひらいている性せい質しつ が表あらわれる)。

8. 放物線ほうぶつせんと文化ぶんか

例れい	説せつ明めい
懸垂線けんすいせん との違ちがい	つり橋ばしのケーブルは $\cosh$ (懸垂線けんすいせん) で放物ぶつ線せん とは違ちがうが、 重おもさが一いち様よう なら放物ぶつ線せん (例れい: 主しゅ塔とう上じょうで重量じゅうりょうが板いたで一いち様よう にかかる吊つり橋ばし)
噴水ふんすい	各かく水滴すいてきは斜方ほう投とう射しゃ、 軌き道どう が放物ぶつ線せん
スポーツ	バスケットボールのシュート、 砲ほう丸がん投なげ
衛えい星せい放ほう送そう	パラボラアンテナ
サーチライト	放物ぶつ線せん鏡きょうで平行へいこうビームを作つくる

章しょう末まつまとめ

• 定てい義ぎ: 焦点しょうてん と 準線じゅんせん から等とう距きょ離り (離心率りしんりつ $e=1$)
• 標ひょう準じゅん形かたち$y^2=4px$、 焦点しょうてん $(p,0)$、 準線じゅんせん $x=-p$
• 接せっ線せん $y_{0}y=2p(x+x_0)$
• 平行へいこう光線こうせん → 焦点しょうてん の反はん射しゃ性せい質しつ
• 斜方ほう投とう射しゃ の軌き道どう は放物ぶつ線せん
• 円えん錐すい曲きょく線せん の 4 番ばん目めとして 境きょう界かい に立たつ曲きょく線せん