放物線ほうぶつせん (準じゅん線せん・焦点しょうてん)

この 章しょう で 学まなぶ こと

中学ちゅうがく で 学がく ん だ $y=a{x}^2$ は 放物線ほうぶつせん で し た。 数学すうがく C で は こ れ を 「焦点しょうてん と 準線じゅんせん か ら の 距きょ離り が 等ひとし し い 点てん の 軌跡きせき」 と い う 円えん錐すい曲きょく線せん の 視点してん で 捉 え 直ただし し ま す。 離心率りしんりつ$e=1$ で、 楕だ円えん () と 双そう曲きょく線せん ($e>1$) の 境きょう界かい に 立たつ つ 曲きょく線せん で す。

• 放物ぶつ線せん の 作図さくず定てい義ぎ (焦点しょうてん・準線じゅんせん)
• 標ひょう準じゅん形かたち と 4 種たね の 向むこう き
• 放物ぶつ線せん の 接線せっせん
• 反射性質はんしゃせいしつ と パ ラ ボ ラ ア ン テ ナ
• 斜方投射しゃほうとうしゃ と の つ な が り

覚さとし え 方かた: 楕だ円えん = 「閉 じ た 卵たまご形がた」、 双そう曲きょく線せん = 「開ひらく い た 2 本ほん の 弓ゆみ」、 放物ぶつ線せん = 「無限むげん に 伸しん び る U 字じ」。 離心率りしんりつ$e=1$ で 楕だ円えん か ら 双そう曲きょく線せん へ の 臨りん界かい な 形かたち で、 「お 椀わん」 「衛えい星せい放ほう送そう ア ン テ ナ」 「投とう げ た ボ ー ル の 軌道きどう」 と い う 私わたし た ち に 最さい も な じ み 深ふか い 円えん錐すい曲きょく線せん で す。

1. 放物線ほうぶつせん の 定義ていぎ

作図さくず定義ていぎ

平へい面めん上じょう の 1 定てい点てん$F$ (焦点しょうてん) と、 こ れ を 通つう ら な い 1 直ちょく線せん$\ell$ (準線じゅんせん) か ら の 距きょ離り が 等ひとし し い 点$P$ の 軌跡きせき を 放物線ほうぶつせん と 呼こ び ま す。

$PF=\left(P か ら \ell へ の 距きょ離り\right)$

離心率りしんりつ$e=1$ に 相そう当とう し ま す。

用語ようご

用よう語ご	意い味み
**[[焦点	しょうてん]]**
**[[準線	じゅんせん]]**
**[[頂点	ちょうてん]]**
軸じく	$F$ を 通つう り $\ell$ に 垂すい直ちょく な 直ちょく線せん

2. 放物線ほうぶつせん の 標準ひょうじゅん形がた

軸じく が x 軸じく、 焦点しょうてん が 右

焦点しょうてん$F(p,0)$、 準線じゅんせん$x=-p$ ($p>0$) の と き、 標ひょう準じゅん形かたち は

$y^2=4px$

4 種たね の 向むき

| 形かたち | 焦点しょうてん | 準線じゅんせん | 向むこう き | |---|---|---|---| | $y^2=4px$ | $(p,0)$ | $x=-p$ | 右みぎ | | $y^2=-4px$ | $(-p,0)$ | $x=p$ | 左ひだり | | $x^2=4py$ | $(0,p)$ | $y=-p$ | 上うえ | | $x^2=-4py$ | $(0,-p)$ | $y=p$ | 下した |

中学ちゅうがく の y = ax² と の 関係かんけい

$x^2=4py$ で $4p=1/a$、 す な わ ち $p=1/\left(4a\right)$。 例れい え ば $y=x^2$ ($a=1$) な ら 焦点しょうてん は $(0,1/4)$、 準線じゅんせん は $y=-1/4$。

例題れいだい 1

$y^2=8x$ の 焦点しょうてん と 準線じゅんせん を 求もとめ め よ。

解かい: $4p=8$ よ り $p=2$。 焦点しょうてん$(2,0)$、 準線じゅんせん$x=-2$。

例題れいだい 2

焦点しょうてん$(0,3)$、 準線じゅんせん$y=-3$ の 放物ぶつ線せん を 求もとめ め よ。

解かい: 頂点ちょうてん は 原げん点てん、 上向うわむき き、 $p=3$ よ り $x^2=12y$。

3. 放物線ほうぶつせん の 接線せっせん

公式こうしき

$y^2=4px$上 の 点$(x_0,y_0)$ に お け る 接線せっせん は

$y_{0}y=2p(x+x_0)$

$x^2=4py$上 の 点$(x_0,y_0)$ で は

$x_{0}x=2p(y+y_0)$

例題れいだい 3

$y^2=4x$上 の 点$(1,2)$ に お け る 接せっ線せん を 求もとめ め よ。

解かい: $4p=4$ よ り $p=1$。 公こう式しき$2y=2(x+1)$、 す な わ ち $y=x+1$。

4. 反射はんしゃ性質せいしつ

焦点しょうてん と 軸じく の 平行へいこう光線こうせん

放物線ほうぶつせん の 鏡かがみ に 軸じく と 平行へいこう な 光線こうせん を あ て る と、 反はん射しゃ光こう は す べ て 焦点しょうてん$F$ に 集あつまり ま る。 逆ぎゃく に 焦点しょうてん か ら 出で た 光ひかり は 反はん射しゃ後 に 軸じく と 平行へいこう な 平行へいこう光線こうせん に な る。

応用おうよう

装そう置ち	仕組く み
パ ラ ボ ラ ア ン テ ナ (衛えい星せい放ほう送そう)	平行へいこう に 来き る 電波でんぱ を 焦しょう点てん に 集あつまり め、 そ こ に 受信じゅしん部ぶ を 置 く
太陽たいよう炉ろ	太陽光たいようこう (ほ ぼ 平行へいこう) を 焦しょう点てん に 集中しゅうちゅう し て 高温こうおん を 得とく る
自動車じどうしゃ ヘ ッ ド ラ イ ト	焦しょう点てん に 電球でんきゅう を 置 き、 反はん射しゃ光こう を 平行へいこう ビ ー ム に す る
反はん射しゃ望遠鏡ぼうえんきょう (ニュートン 式しき)	平行へいこう に 来き る 星ほし の 光ひかり を 焦しょう点てん に 結ゆい像ぞう
拡声かくせい マ イ ク (パ ラ ボ ラ 型かた)	遠とお く の 音おと を 焦しょう点てん に 集あつまり め て 集あつまり音おん

直感ちょっかん: 「平行へいこう光線こうせん → 1 点てん集中しゅうちゅう」 は、 パ ラ ボ ラ 形かたち だ け が 持じ つ 数学すうがく的てき性せい質しつ で、 球形きゅうけい の 鏡かがみ で は 焦しょう点てん が 場所ばしょ に よ っ て ず れ ま す (球面収差きゅうめんしゅうさ)。 だ か ら 高性能こうせいのう望遠鏡ぼうえんきょう や 衛えい星せい ア ン テ ナ は 必 ず 放物ぶつ線せん (ま た は 双そう曲きょく線せん・楕だ円えん) 形かたち を 使し い ま す。

5. 物理ぶつり の 斜はす方かた投射とうしゃ と の 関連かんれん

投射とうしゃ軌道きどう が 放物線ほうぶつせん

地球ちきゅう表ひょう面めん近ちか く で、 重力じゅうりょく だ け を 受 け て 動どう く 物体ぶったい (斜方投射しゃほうとうしゃ) の 軌き道どう は 放物線ほうぶつせん に な り ま す。

量りょう	式しき	説せつ明めい
水平すいへい位い置ち	$x=v_0\cos \theta \cdot t$	水平すいへい に は 等ひとし速そく
鉛直えんちょく位い置ち	$y=v_0\sin \theta \cdot t-\frac{1}{2}g{t}^2$	重力じゅうりょく で 加速度かそくど$-g$

$t$ を 消去しょうきょ す る と

$y=(\tan \theta )x-\frac{g}{2v02{\cos }^2\theta }{x}^2$

$x^2$ の 項こう が あ る の で 放物線ほうぶつせん。 数学すうがく C の 媒介変数ばいかいへんすう表示ひょうじ (Ch2) と の 直接的ちょくせつてき な 例れい で す。

例題れいだい 4

初速しょそく$v_0=20 m/s$、 角度かくど$\theta =45°$ で 投射とうしゃ し た 物体ぶったい が 着地ちゃくち す る 距きょ離り (水平すいへい到達とうたつ距きょ離り) を 求もとめ め よ。 重力じゅうりょく加速度かそくど$g=9.8 m/s^2$ と す る。

解かい: 水平すいへい到達とうたつ距きょ離り$R=\frac{v02\sin 2\theta }{g}=\frac{400\cdot 1}{9.8}\approx 40.8 m$。

6. 放物線ほうぶつせん の 平行へいこう移動いどう

頂点ちょうてん が 原点げんてん で ない 場合ばあい

頂点ちょうてん$(p,q)$ の 上向うわむき き 放物ぶつ線せん は

$(x-p{)}^2=4P(y-q)$

平方へいほう完成かんせい の 例

$y=x^2-4x+7$ → $y=(x-2{)}^2+3$ → $(x-2{)}^2=y-3$。 頂点ちょうてん$(2,3)$、 $4P=1$ よ り $P=1/4$、 焦点しょうてん$(2,3+1/4)$、 準線じゅんせん$y=3-1/4$。

7. 円錐えんすい曲線きょくせん統一とういつ の 視点してん

離はなれ心しん率りつ で 並なみ べ る

| 円えん錐すい曲きょく線せん | 離心率りしんりつ$e$ | 形かたち | |---|---|---| | 円えん | $0$ | 閉 じ た 1 周しゅう | | 楕円だえん | | 閉 じ た 楕だ円えん | | 放物線ほうぶつせん | $1$ | 境きょう界かい、 開ひらき い た U 字じ | | 双曲線そうきょくせん | $>1$ | 開ひらき い た 2 本ほん |

極ごく方程式ほうていしき で 統一とういつ

第だい 3 章しょう で 学がく ん だ 極方程式きょくほうていしき で、 円えん錐すい曲きょく線せん は す べ て

$r=\frac{l}{1+e\cos \theta }$

の 形かたち で 書しょ け ま す。 $e$ の 値ね で 4 種たね が す っ き り 並なみ び ま す。 $e=1$ で 放物ぶつ線せん (分母ぶんぼ が 0 に な る $\theta =\pi$ で $r\to \infty$、 開ひらき い て い る 性せい質しつ が 表ひょう れ る)。

8. 放物線ほうぶつせん と 文化ぶんか

例れい	説せつ明めい
[[懸垂線	けんすいせん]] と の 違 い
噴水ふんすい	各かく水滴すいてき は 斜方ほう投とう射しゃ、 軌き道どう が 放物ぶつ線せん
ス ポ ー ツ	バ ス ケ ッ ト ボ ー ル の シ ュ ー ト、 砲ほう丸がん投 げ
衛えい星せい放ほう送そう	パ ラ ボ ラ ア ン テ ナ
サ ー チ ラ イ ト	放物ぶつ線せん鏡きょう で 平行へいこう ビ ー ム を 作さく る

章しょう末まつ まとめ

• 定てい義ぎ: 焦点しょうてん と 準線じゅんせん か ら 等とう距きょ離り (離心率りしんりつ$e=1$)
• 標ひょう準じゅん形かたち$y^2=4px$、 焦点しょうてん$(p,0)$、 準線じゅんせん$x=-p$
• 接せっ線せん$y_{0}y=2p(x+x_0)$
• 平行へいこう光線こうせん → 焦点しょうてん の 反はん射しゃ性せい質しつ
• 斜方ほう投とう射しゃ の 軌き道どう は 放物ぶつ線せん
• 円えん錐すい曲きょく線せん の 4 番ばん目め と し て 境きょう界かい に 立たつ つ 曲きょく線せん