一いち次じ関数かんすう — 傾かたむきと切片せっぺん・グラフ・式しきの決定けってい

この 章しょう で 学まなぶ こと

中なか 1 で 学まなんだ 比例ひれい ($y=ax$) を 1 段階だんかい進すすめて、 一次関数いちじかんすう ($y=ax+b$) を 学まなびます。 中なか 2 数学すうがく の 山やま場ば の 1 つ で、 高校こうこう の 二次関数にじかんすう や 微分積分びぶんせきぶん へ つながる 大事だいじ な 章しょう です。

• 一次関数いちじかんすう $y=ax+b$ の しくみ が わかる
• 傾きかたむき $a$ と 切片せっぺん $b$ の 意い味み が 言いえる
• 変化の割合へんかのわりあい が 一いち次じ関かん数すう で は つね に $a$ に 等しひとい こと が わかる
• 一いち次じ関かん数すう の グラフ を かける
• 2 点てん から、 1 点てん + 傾かたむき から、 式しき を 求もとめ られる

ポイント: 「比ひ例れい = 切片せつ が 0 の 一いち次じ関かん数すう」 と 覚おぼえれ ば、 中なか 1 と 中なか 2 が つながり ます。

1. 一いち次じ関数かんすう と は

つぎ の 形かたち で 表あらわせる 関かん数すう を 一次関数いちじかんすう と 言いいます。

$y=ax+b$

文も字じ	意い味み
$a$	**[[傾き
$b$	**[[切片

例れい

式しき	傾かたむき $a$	切片せつ$b$
$y=2x+3$	$2$	$3$
$y=-x+4$	$-1$	$4$
$y=\frac{1}{2}x-1$	$\frac{1}{2}$	$-1$
$y=3x$	$3$	$0$ ([[比例

大事だいじ: 比例ひれい は 「切片せつ が 0 の 一いち次じ関かん数すう」 で あり、 中なか 1 で 学まなんだ こと は すべて 中なか 2 で も 使つかえ ます。

2. 変化へんか の 割合わりあい

$x$ が ふえた 量りょう に 対たいし て、 $y$ が ふえた 量りょう の わり 算さん を 変化の割合へんかのわりあい と 言いいます。

$変へん化か の 割わり合あい=\frac{y の 増ぞう加か 量}{x の 増ぞう加か 量}$

大事だいじ な 性せい質しつ

一いち次じ関数かんすう$y=ax+b$ で は、 変化の割合へんかのわりあい は つね に $a$。

例

$y=2x+3$ で、 $x$ が $1$ から $4$ に 変かわった と き。

	$x$	$y$
始はじめ	$1$	$5$
終おわり	$4$	$11$
増ぞう加か量りょう	$+3$	$+6$

$変へん化か の 割わり合あい=\frac{6}{3}=2=a$

ポイント: 中なか 3 で 学まなぶ 二に次じ関数かんすう ($y=a{x}^2$) で は、 変へん化か の 割わり合あい は 一いっ定てい で は あり ません。 「一いっ定てい = 一いち次じ関かん数すう の しるし」 です。

3. グラフ の かき方かた

一いち次じ関数かんすう の グラフ は 直ちょく線せん に なり ます。

かき方かた ① 切片せつ と 傾かたむき から

$y=2x+3$ の グラフ を かく。

1. 切片せつ $b=3$ → $y$軸じく上じょう の 点$(0,3)$ を 打うつ
2. 傾かたむき $a=2$ → そこ から 右みぎ に 1、 上うえ に 2 進すすん だ 点$(1,5)$ を 打うつ
3. 2 点てん を 直ちょく線せん で つなぐ

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$-1$	$1$	$3$	$5$	$7$

傾かたむき と グラフ の 向むき

傾かたむき $a$	グラフ
$a>0$ (正せい)	右みぎ上あがり
([負	ふ])
$a=0$	**[横

切片せつ の 意い味み

$y$軸 と 交まじわる 点てん の 高たかさ。 $b>0$ なら 軸じく の 上うえ、 なら 軸じく の 下した。

4. 式しき を 求もとめる

パターン ① 傾かたむき と 1 点てん から

「傾かたむき $3$、 点$(2,5)$ を 通とおる」 直ちょく線せん の 式しき を 求もとめよ。

解とき方かた: $y=3x+b$ と おく。 点$(2,5)$ を 代入だいにゅう。

$5=3\times 2+b\Rightarrow b=-1$

答こたえ: $y=3x-1$

パターン ② 2 点てん から

2 点$(1,4)$、 $(3,10)$ を 通とおる 直ちょく線せん の 式しき を 求もとめよ。

解とき方かた: まず 傾かたむき を 求もとめる。

$a=\frac{10-4}{3-1}=\frac{6}{2}=3$

$y=3x+b$ に 点$(1,4)$ を 代入だいにゅう。

$4=3+b\Rightarrow b=1$

答こたえ: $y=3x+1$

大事だいじ: 傾かたむき は 「$y$ の 差さ ÷ $x$ の 差さ」。 順じゅん番ばん を そろえる の が ポイント (上じょう の 例れい で は 「あと の 点てん ー 前まえ の 点てん」 を $x$、 $y$ で 同おなじ 順じゅんで)。

5. 比例ひれい・反比例はんぴれい と の つながり

中なか 1 で 学まなん だ 関かん数すう と の 関かん係けい を 整せい理り し ま す。

関かん数すう	式しき	グラフ
**[[比例	ひれい]]**	$y=ax$
**[[一次関数	いちじかんすう]]** (中ちゅう 2)	$y=ax+b$
**[[反比例	はんぴれい]]**	$y=\frac{a}{x}$

ポイント: 比ひ例れい と 一いち次じ関かん数すう は どちら も 直ちょく線せん。 ちがい は 「原げん点てん を 通とおる か 通つうら ない か」 だけ。

6. 一いち次じ関数かんすう を 使つかった 例れい (実生みしょう活かつ)

例れい 1 — タクシー の 料りょう金きん

あ る タクシー は 初乗の り 500 円えん、 1 km ごと に 300 円えん 加算かさん さ れ る。 $x$ km 乗のった と き の 料りょう金きん$y$円 を 式しき で 表あらわせ。

式しき: $y=300x+500$

(切片せつ = 初乗の り、 傾かたむき = 1 km あたり)

例れい 2 — 水みず を 入いれる

5 L 入はいった 水すい槽そう に 毎まい分ぶん 2 L ずつ 水みず を 入いれ る。 $x$分ぶん後ご の 水みず の 量$y$ L を 式しき で。

式しき: $y=2x+5$

例れい 3 — ろう そく の 長ながさ

長ながさ 20 cm の ろう そく が、 火ひ を つける と 1 分ぶん ご と に 0.5 cm ずつ 短みじかく なる。 $x$分ぶん後ご の 長ながさ $y$ cm を。

式しき: $y=-0.5x+20$ (傾かたむき が 負ふ)

7. ふりかえり

• [ ]一次関数いちじかんすう$y=ax+b$ の $a$ は 傾きかたむき、 $b$ は 切片せっぺん だ と わかる
• [ ]変化の割合へんかのわりあい は つね に $a$ に 等しひとい こと が 言いえ る
• [ ]$a>0$ で 右みぎ上あがり、 で 右みぎ下さがり が わかる
• [ ]切片せつ と 傾かたむき から グラフ が かけ る
• 「傾かたむき + 1 点てん」 から 式しき を 求もとめ られる
• 「2 点てん」 から 式しき を 求もとめ られる
• [ ]比例ひれい は 「切片せつ 0 の 一いち次じ関かん数すう」 だ と 言いえ る
• [ ]実生い活かつ の 例れい (タクシー・水すい槽そう・ろう そく) を 一いち次じ関かん数すう で 表あらわせ る