一いち次じ関数かんすう — 傾きかたむきと切片せっぺん・グラフ・式しきの決定けってい

この章しょうで学まなぶこと

中なか 1 で学まなんだ 比例ひれい ($y=ax$) を 1 段階だんかい進すすめて、 一次関数いちじかんすう ($y=ax+b$) を学まなびます。 中なか 2 数学すうがくの 山やま場ば の 1 つで、 高校こうこうの 二次関数にじかんすう や 微分積分びぶんせきぶん へつながる大事だいじな章しょうです。

• 一次関数いちじかんすう $y=ax+b$ のしくみがわかる
• 傾きかたむき $a$ と 切片せっぺん $b$ の意い味み が言いえる
• 変化の割合へんかのわりあい が一いち次じ関かん数すう ではつねに $a$ に等しひといことがわかる
• 一いち次じ関かん数すう の グラフぐらふ をかける
• 2 点てんから、 1 点てん + 傾きかたむきから、 式しき を求もとめられる

ポイント: 「比ひ例れい = 切片せつ が 0 の一いち次じ関かん数すう」 と覚おぼえれば、 中なか 1 と中なか 2 がつながります。

1. 一いち次じ関数かんすうとは

つぎの形かたちで表あらわせる関かん数すう を 一次関数いちじかんすう と言いいます。

$y=ax+b$

文も字じ	意い味み
$a$	傾きかたむき ($x$ が 1 ふえると $y$ がどれだけふえるか)
$b$	切片せっぺん ($x=0$ のときの $y$ の値ね、 $y$軸と交まじわる点てんの高たかさ)

例れい

式しき	傾きかたむき $a$	切片せつ $b$
$y=2x+3$	$2$	$3$
$y=-x+4$	$-1$	$4$
$y=\frac{1}{2}x-1$	$\frac{1}{2}$	$-1$
$y=3x$	$3$	$0$ (比例ひれい)

大事だいじ: 比例ひれい は 「切片せつ が 0 の一いち次じ関かん数すう」 であり、 中なか 1 で学まなんだことは すべて中ちゅう 2 でも使つかえ ます。

2. 変化へんかの割合わりあい

$x$ がふえた量りょうに対たいして、 $y$ がふえた量りょうの わり算ざん を 変化の割合へんかのわりあい と言いいます。

$$変へん化か の割わり合あい=y の増ぞう加か 量x の増ぞう加か 量\text{変へん化か の割わり合あい} = \frac{y \text{ の増ぞう加か 量}}{x \text{ の増ぞう加か 量}}

大事だいじな性せい質しつ

一いち次じ関数かんすう$y=ax+b$ では、 変化の割合へんかのわりあい はつねに $a$。

例

$y=2x+3$ で、 $x$ が $1$ から $4$ に変かわったとき。

	$x$	$y$
始はじめ	$1$	$5$
終おわり	$4$	$11$
増ぞう加か量りょう	$+3$	$+6$

$$変へん化か の割わり合あい=63=2=a\text{変へん化か の割わり合あい} = \frac{6}{3} = 2 = a

ポイント: 中なか 3 で学まなぶ 二に次じ関数かんすう ($y=a{x}^2$) では、 変へん化か の割わり合あい は 一いっ定てい ではありません。 「一いっ定てい = 一いち次じ関かん数すう のしるし」 です。

3. グラフのかき方かた

一いち次じ関数かんすうのグラフは 直ちょく線せん になります。

かき方かた ① 切片せつ と傾きかたむきから

$y=2x+3$ のグラフをかく。

1. 切片せつ $b=3$ → $y$軸じく上じょうの点$(0,3)$ を打うつ
2. 傾きかたむき $a=2$ → そこから 右みぎに 1、 上うえに 2 進すすんだ点$(1,5)$ を打うつ
3. 2 点てんを直ちょく線せん でつなぐ

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$-1$	$1$	$3$	$5$	$7$

傾きかたむきとグラフの向むき

傾きかたむき $a$	グラフ
$a>0$ (正せい)	右みぎ上あがり
(負ふ)	右みぎ下さがり
$a=0$	横よこ一いち直ちょく線せん ($y=b$、 関かん数すう としては一いち次じ ではない)

切片せつ の意い味み

$y$軸と交まじわる点てんの 高たかさ。 $b>0$ なら軸じくの上うえ、 なら軸じくの下した。

4. 式しきを求もとめる

パターン ① 傾きかたむきと 1 点てんから

「傾きかたむき $3$、 点$(2,5)$ を通とおる」 直ちょく線せん の式しきを求もとめよ。

解とき方かた: $y=3x+b$ とおく。 点$(2,5)$ を代入だいにゅう。

$5=3\times 2+b\Rightarrow b=-1$

答えこたえ: $y=3x-1$

パターン ② 2 点てんから

2 点$(1,4)$、 $(3,10)$ を通とおる直ちょく線せん の式しきを求もとめよ。

解とき方かた: まず傾きかたむきを求もとめる。

$a=\frac{10-4}{3-1}=\frac{6}{2}=3$

$y=3x+b$ に点$(1,4)$ を代入だいにゅう。

$4=3+b\Rightarrow b=1$

答えこたえ: $y=3x+1$

大事だいじ: 傾きかたむきは 「$y$ の差さ ÷ $x$ の差さ」。 順じゅん番ばん をそろえるのがポイント (上じょうの例れいでは 「あとの点てんー前まえの点てん」 を $x$、 $y$ で同おなじ順じゅんで)。

5. 比例ひれい・反比例はんぴれいとのつながり

中なか 1 で学まなんだ関かん数すう との関かん係けい を整せい理り します。

関かん数すう	式しき	グラフ
比例ひれい	$y=ax$	原げん点てん を通とおる直ちょく線せん
一次関数いちじかんすう (中ちゅう 2)	$y=ax+b$	$y$軸と $b$ で交まじわる直ちょく線せん
反比例はんぴれい	$y=\frac{a}{x}$	双曲線そうきょくせん (曲きょく線せん)

ポイント: 比ひ例れい と 一いち次じ関かん数すう はどちらも直ちょく線せん。 ちがいは 「原げん点てん を通とおるか通とおらないか」 だけ。

6. 一いち次じ関数かんすうを使つかった例れい (実生みしょう活かつ)

例れい 1 — タクシーの料りょう金きん

あるタクシーは 初乗の り 500 円えん、 1 km ごとに 300 円えん 加算かさんされる。 $x$ km 乗のったときの料りょう金きん $y$円を式しきで表あらわせ。

式しき: $y=300x+500$

(切片せつ = 初乗の り、 傾きかたむき = 1 km あたり)

例れい 2 — 水みずを入いれる

5 L 入はいった水すい槽そう に毎まい分ぶん 2 L ずつ水みずを入いれる。 $x$分ぶん後ごの水みずの量$y$ L を式しきで。

式しき: $y=2x+5$

例れい 3 — ろうそくの長ながさ

長ながさ 20 cm のろうそくが、 火ひをつけると 1 分ぶんごとに 0.5 cm ずつ短みじかくなる。 $x$分ぶん後ごの長ながさ $y$ cm を。

式しき: $y=-0.5x+20$ (傾きかたむきが 負ふ)

7. ふりかえり

• [ ]一次関数いちじかんすう $y=ax+b$ の $a$ は 傾きかたむき、 $b$ は 切片せっぺん だとわかる
• [ ]変化の割合へんかのわりあい はつねに $a$ に等しひとい ことが言いえる
• [ ]$a>0$ で右みぎ上あがり、 で右みぎ下さがりがわかる
• [ ]切片せつ と傾きかたむきから グラフ がかける
• 「傾きかたむき + 1 点てん」 から式しきを求もとめられる
• 「2 点てん」 から式しきを求もとめられる
• [ ]比例ひれい は 「切片せつ 0 の一いち次じ関かん数すう」 だと言いえる
• [ ]実生い活かつの例れい (タクシー・水すい槽そう・ろうそく) を一いち次じ関かん数すう で表あらわせる