基礎きそ的てき統計とうけい処理しょり — 平均へいきん・分散ぶんさん・標準ひょうじゅん偏差へんい・確率かくりつ分布ぶんぷ β版

この章しょうで学まなぶこと

データの散ちらばりぐあいを数すうで表あらわすのが分散ぶんさん・標準偏差ひょうじゅんへんさです。 さらに、 偶然ぐうぜんで値あたいが決きまる確率変数かくりつへんすうの期待値きたいちと分散ぶんさんを学まなびます。

• 平均へいきん・分散ぶんさん・標準偏差ひょうじゅんへんさ
• 確率変数かくりつへんすうの期待値きたいち $E\left(X\right)$ と分散ぶんさん $V\left(X\right)$
• 二項分布にこうぶんぷ $B(n, p)$

ポイント: 分散ぶんさんは 「偏差へんい(平均へいきんとの差さ)の2乗じょうの平均へいきん」 です。 計算けいさんには $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-\left\{E\right(X){\}}^2$(2乗じょうの平均へいきん$-$平均へいきんの2乗じょう)という公式こうしきが便利べんりです。

1. 平均へいきん・分散ぶんさん・標準ひょうじゅん偏差へんい

データ $x_1, x_2, \dots , x_n$ について、 $xˉ=\frac{1}{n}\sum i=1n{x}_i,V=\frac{1}{n}\sum i=1n(x_i-xˉ{)}^2,\sigma =\sqrt{V}.$

例題れいだい: データ $2, 4, 6, 8, 10$ の平均へいきん・分散ぶんさん・標準偏差ひょうじゅんへんさを求もとめよ。

平均へいきん$xˉ=\frac{2+4+6+8+10}{5}=\frac{30}{5}=6$。 偏差へんいの2乗じょうは $(2-6{)}^2,(4-6{)}^2,(6-6{)}^2,(8-6{)}^2,(10-6{)}^2=16,4,0,4,16$。 その和わは $40$。 $V=\frac{40}{5}=8,\sigma =\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$

検算けんざん: $\sum x^2=4+16+36+64+100=220$。 $E\left(X^2\right)=\frac{220}{5}=44$、 $\left\{E\right(X){\}}^2=36$。 $V=44-36=8$(一致いっち)。 正ただしい。

2. 確率かくりつ変数へんすうの期待きたい値ちと分散ぶんさん

確率かくりつ変数へんすう$X$ が値あたい$x_i$ を確率かくりつ$p_i$ でとるとき、 $E\left(X\right)=\sum x_i{p}_i,V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-\left\{E\right(X){\}}^2.$

例題れいだい: 1個このさいころを投なげて出でた目めを $X$ とする。 $E\left(X\right)$ と $V\left(X\right)$ を求もとめよ。

各かく目めは確率かくりつ$\frac{1}{6}$ なので $E\left(X\right)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}=\mathrm{3.5.}$ $E\left(X^2\right)=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}$。 よって $V\left(X\right)=\frac{91}{6}-{\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{182-147}{12}=\frac{35}{12}.$

検算けんざん: $\frac{91}{6}=\frac{182}{12}$、 $\frac{49}{4}=\frac{147}{12}$。 差さは $\frac{35}{12}\approx 2.917$。 正ただしい。

大事だいじ: 確率かくりつ変数へんすう$X$ を $aX+b$ に変かえると、 $E(aX+b)=aE\left(X\right)+b$、 $V(aX+b)=a^{2}V\left(X\right)$ です。 分散ぶんさんには定数ていすう$b$ は影響えいきょうせず、 係数けいすうは2乗じょうされます。

3. 二に項こう分布ぶんぷ

1回かいの試行しこうで確率かくりつ$p$ で起おこることが、 独立どくりつに $n$回くりかえされるとき、 起おこる回数かいすう$X$ は二項分布にこうぶんぷ $B(n, p)$ にしたがいます。 $E\left(X\right)=np,V\left(X\right)=np(1-p).$

例題れいだい: さいころを $180$回投なげるとき、 1 の目めが出でる回数かいすう$X$ の期待値きたいちと分散ぶんさんを求もとめよ。

$n=180, p=\frac{1}{6}$ の二に項こう分布ぶんぷなので $E\left(X\right)=180\cdot \frac{1}{6}=30,V\left(X\right)=180\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}=30\cdot \frac{5}{6}=25.$

検算けんざん: $np=30$、 $np(1-p)=30\cdot \frac{5}{6}=25$。 正ただしい。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは平均へいきん・分散ぶんさん・標準偏差ひょうじゅんへんさの計算けいさんが問とわれます。 $V=E\left(X^2\right)-\left\{E\right(X){\}}^2$ が速はやいです。
• 二に次じでは確率変数かくりつへんすうの分布ぶんぷ表ひょうをつくり期待値きたいち・分散ぶんさんを求もとめる問題もんだいや、 二項分布にこうぶんぷの $E\left(X\right)=np$、 $V\left(X\right)=np(1-p)$ の活用かつようが出でます。
• $V(aX+b)=a^{2}V\left(X\right)$ で定数ていすう$b$ を分散ぶんさんに足たしてしまうミスに注意ちゅういします。

よくまちがえるところ

統計とうけいは公式こうしきが少すくないぶん、 公式こうしきのどこに何なにが入はいるか の取とりちがえが失点しってんに直結ちょっけつします。

まちがい	例れい	直なおし方かた
分散ぶんさんに定数ていすうを足たしてしまう	V(2X + 3) を 4V(X) + 3 とする	V(aX + b) = a² V(X)。 定数ていすう b は分散ぶんさんを変かえない
分散ぶんさんと標準偏差ひょうじゅんへんさを取とりちがえる	分散ぶんさんを聞きかれて 2√2 と答こたえる(正ただしくは 8)	標準ひょうじゅん偏差へんいは分散ぶんさんの平方根へいほうこん。 単位たんいが違ちがう
2乗じょうの平均へいきんと平均へいきんの2乗じょうを入いれかえる	V = {E(X)}² - E(X²) と書かく	V = E(X²) - {E(X)}²。 逆ぎゃくにすると負ふになる
二項分布にこうぶんぷの分散ぶんさんを np とする	さいころ 180 回かいで V(X) = 30 とする	V(X) = np(1 - p) = 180 × 1/6 × 5/6 = 25

いちばん多おおいのは V(aX + b) に b を足たす ことです。 分散ぶんさんは 「平均へいきんからのずれ」 の大おおきさなので、 全体ぜんたいを b だけ平行へいこう移動いどうしても、 ずれの大おおきさは変かわりません。 だから b は分散ぶんさんに影響えいきょうしないのです。 一方いっぽう、 全体ぜんたいを a 倍ばいするとずれも a 倍ばいになり、 分散ぶんさんは 2乗じょうした量りょうなので a² 倍ばいになります。 「平行へいこう移動いどうでは散ちらばりは変かわらない、 引ひきのばすと 2乗じょうで効きく」 と意味いみで覚おぼえると、 公式こうしきを思おもい出だせなくなっても間違まちがえません。

たしかめ方かた

計算けいさんし終おえたら、 次つぎの 4 つで検算けんざんします。 どれも数すう秒びょうで終おわります。

見みるところ	成なり立たつべきこと	破やぶれていたら
分散ぶんさんの符号ふごう	分散ぶんさんは必かならず 0 以上いじょう	E(X²) と {E(X)}² を逆ぎゃくにしている
期待値きたいちの位置いち	E(X) は取とりうる値あたいの最小さいしょうと最大さいだいの間ま	確率かくりつの重みおもみづけを取とりちがえている
確率かくりつの合計ごうけい	分布ぶんぷ表ひょうの確率かくりつの合計ごうけいは 1	場合ばあい分わけの数かぞえもれがある
二に項こう分布ぶんぷの大小だいしょう関係かんけい	V(X) = np(1-p) は E(X) = np より小ちいさい	1 - p をかけ忘わすれている

もう 1 つ、 分散ぶんさんには 2 通とおりの求もとめ方かたがあります。 どちらで出だしても同おなじ値あたいになるので、 時間じかんがあれば両方りょうほうで確たしかめられます。

求もとめ方かた	式しき	向むいている場面ばめん
定義ていぎどおり	偏差へんいの2乗じょうの平均へいきん	値あたいが少すくなく平均へいきんが整数せいすうのとき
変形へんけいした式しき	E(X²) - {E(X)}²	平均へいきんが分数ぶんすうのとき、 確率かくりつ分布ぶんぷのとき

データ 2, 4, 6, 8, 10 なら、 定義ていぎどおりでは (16 + 4 + 0 + 4 + 16)/5 = 8、 変形へんけいした式しきでは 220/5 - 36 = 44 - 36 = 8 で一致いっちします。

大事だいじ: 標準偏差ひょうじゅんへんさはもとのデータと同おなじ単位たんい、 分散ぶんさんはその 2乗じょうの単位たんいです。 問題もんだい文ぶんが 「散ちらばりの度合どあいを、 データと同おなじ単位たんいで答こたえよ」 と言いっていれば標準ひょうじゅん偏差へんいです。 どちらを答こたえるのかを最初さいしょに確認かくにんしましょう。

自分じぶんでチェック

• V(aX + b) = a² V(X) と書かけ、 b が効きかない理由りゆうを説明せつめいできる
• 分散ぶんさんと標準ひょうじゅん偏差へんいを単位たんいのちがいで言いい分わけられる
• V = E(X²) - {E(X)}² の順序じゅんじょを正ただしく書かける
• 二に項こう分布ぶんぷで E(X) = np、 V(X) = np(1-p) を使つかい分わけられる
• 分散ぶんさんが 0 以上いじょうか、 期待きたい値ちが値あたいの範囲はんい内ないかで検算けんざんできる

まとめ

• 分散ぶんさん $V=E\left(X^2\right)-\left\{E\right(X){\}}^2$、 標準偏差ひょうじゅんへんさ $\sigma =\sqrt{V}$
• $E(aX+b)=aE\left(X\right)+b$、 $V(aX+b)=a^{2}V\left(X\right)$
• 二項分布にこうぶんぷ $B(n,p)$ は $E\left(X\right)=np$、 $V\left(X\right)=np(1-p)$

次章しょうでは、 ここまでの内容ないようと2級きゅう範囲はんいを合あわせた 二に次じ(数理すうり技能ぎのう)対策たいさく・総合そうごう を行おこないます。

※ 「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」 は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。