基礎きそ的てき統計とうけい処理しょり — 平均へいきん・分散ぶんさん・標準ひょうじゅん偏差へんい・確率かくりつ分布ぶんぷ

この章しょうで学まなぶこと

データの散ちらばりぐあいを数すうで表あらわすのが分散ぶんさん・標準偏差ひょうじゅんへんさです。 さらに、 偶然ぐうぜんで値あたいが決きまる確率変数かくりつへんすうの期待値きたいちと分散ぶんさんを学まなびます。

• 平均へいきん・分散ぶんさん・標準偏差ひょうじゅんへんさ
• 確率変数かくりつへんすうの期待値きたいち $E\left(X\right)$ と分散ぶんさん $V\left(X\right)$
• 二項分布にこうぶんぷ $B(n, p)$

ポイント: 分散ぶんさんは 「偏差へんい(平均へいきんとの差さ)の2乗じょうの平均へいきん」 です。 計算けいさんには $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-\left\{E\right(X){\}}^2$(2乗じょうの平均へいきん$-$平均へいきんの2乗じょう)という公式こうしきが便利べんりです。

1. 平均へいきん・分散ぶんさん・標準ひょうじゅん偏差へんい

データ $x_1, x_2, \dots , x_n$ について、 $xˉ=\frac{1}{n}\sum i=1n{x}_i,V=\frac{1}{n}\sum i=1n(x_i-xˉ{)}^2,\sigma =\sqrt{V}.$

例題れいだい: データ $2, 4, 6, 8, 10$ の平均へいきん・分散ぶんさん・標準偏差ひょうじゅんへんさを求もとめよ。

平均へいきん$xˉ=\frac{2+4+6+8+10}{5}=\frac{30}{5}=6$。 偏差へんいの2乗じょうは $(2-6{)}^2,(4-6{)}^2,(6-6{)}^2,(8-6{)}^2,(10-6{)}^2=16,4,0,4,16$。 その和わは $40$。 $V=\frac{40}{5}=8,\sigma =\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$

検算けんざん: $\sum x^2=4+16+36+64+100=220$。 $E\left(X^2\right)=\frac{220}{5}=44$、 $\left\{E\right(X){\}}^2=36$。 $V=44-36=8$(一致いっち)。 正ただしい。

2. 確率かくりつ変数へんすうの期待きたい値ちと分散ぶんさん

確率かくりつ変数へんすう$X$ が値あたい$x_i$ を確率かくりつ$p_i$ でとるとき、 $E\left(X\right)=\sum x_i{p}_i,V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-\left\{E\right(X){\}}^2.$

例題れいだい: 1個このさいころを投なげて出でた目めを $X$ とする。 $E\left(X\right)$ と $V\left(X\right)$ を求もとめよ。

各かく目めは確率かくりつ$\frac{1}{6}$ なので $E\left(X\right)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}=\mathrm{3.5.}$ $E\left(X^2\right)=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}$。 よって $V\left(X\right)=\frac{91}{6}-{\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{182-147}{12}=\frac{35}{12}.$

検算けんざん: $\frac{91}{6}=\frac{182}{12}$、 $\frac{49}{4}=\frac{147}{12}$。 差さは $\frac{35}{12}\approx 2.917$。 正ただしい。

大事だいじ: 確率かくりつ変数へんすう$X$ を $aX+b$ に変かえると、 $E(aX+b)=aE\left(X\right)+b$、 $V(aX+b)=a^{2}V\left(X\right)$ です。 分散ぶんさんには定数ていすう$b$ は影響えいきょうせず、 係数けいすうは2乗じょうされます。

3. 二に項こう分布ぶんぷ

1回かいの試行しこうで確率かくりつ$p$ で起おこることが、 独立どくりつに $n$回くりかえされるとき、 起おこる回数かいすう$X$ は二項分布にこうぶんぷ $B(n, p)$ にしたがいます。 $E\left(X\right)=np,V\left(X\right)=np(1-p).$

例題れいだい: さいころを $180$回投なげるとき、 1 の目めが出でる回数かいすう$X$ の期待値きたいちと分散ぶんさんを求もとめよ。

$n=180, p=\frac{1}{6}$ の二に項こう分布ぶんぷなので $E\left(X\right)=180\cdot \frac{1}{6}=30,V\left(X\right)=180\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}=30\cdot \frac{5}{6}=25.$

検算けんざん: $np=30$、 $np(1-p)=30\cdot \frac{5}{6}=25$。 正ただしい。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは平均へいきん・分散ぶんさん・標準偏差ひょうじゅんへんさの計算けいさんが問とわれます。 $V=E\left(X^2\right)-\left\{E\right(X){\}}^2$ が速はやいです。
• 二に次じでは確率変数かくりつへんすうの分布ぶんぷ表ひょうをつくり期待値きたいち・分散ぶんさんを求もとめる問題もんだいや、 二項分布にこうぶんぷの $E\left(X\right)=np$、 $V\left(X\right)=np(1-p)$ の活用かつようが出でます。
• $V(aX+b)=a^{2}V\left(X\right)$ で定数ていすう$b$ を分散ぶんさんに足たしてしまうミスに注意ちゅういします。

まとめ

• 分散ぶんさん $V=E\left(X^2\right)-\left\{E\right(X){\}}^2$、 標準偏差ひょうじゅんへんさ $\sigma =\sqrt{V}$
• $E(aX+b)=aE\left(X\right)+b$、 $V(aX+b)=a^{2}V\left(X\right)$
• 二項分布にこうぶんぷ $B(n,p)$ は $E\left(X\right)=np$、 $V\left(X\right)=np(1-p)$

次章しょうでは、 ここまでの内容ないようと2級きゅう範囲はんいを合あわせた 二に次じ(数理すうり技能ぎのう)対策たいさく・総合そうごう を行おこないます。

※ 「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」 は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にっぽん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。