関数かんすうと極限きょくげん — 分数ぶんすう関数かんすう・無理むり関数かんすう・合成ごうせい関数かんすう・逆ぎゃく関数かんすう β版

この章しょうで学まなぶこと

数すうIII では、 これまでより複雑ふくざつな関数かんすうを扱あつかいます。 微積分びせきぶんの前まえに、 関数かんすうの基本きほん的てきな性質せいしつと関数かんすうの極限きょくげんを整理せいりします。

• 分数関数ぶんすうかんすう $y=\frac{k}{x-p}+q$ のグラフ
• 無理関数むりかんすう $y=\sqrt{ax+b}$ のグラフと定義ていぎ域いき
• 合成関数ごうせいかんすう $(g\circ f)\left(x\right)=g\left(f\right(x\left)\right)$
• 逆関数ぎゃくかんすう $y=f^{-1}\left(x\right)$ の作つくり方かた
• 関数かんすうの極限きょくげんと基本きほん極限きょくげん$\lim x\to 0\frac{\sin x}{x}=1$

ポイント: 逆関数ぎゃくかんすうは 「$x$ と $y$ を入いれかえて $y$ について解とく」 と作つくれます。 もとの関数かんすうとそのグラフは 直線ちょくせん$y=x$ について対称たいしょう です。

1. 分数ぶんすう関数かんすう・無理むり関数かんすう

分数ぶんすう関数かんすう

$y=\frac{k}{x-p}+q$ は、 $y=\frac{k}{x}$ のグラフを $x$方向ほうこうに $p$、 $y$方向ほうこうに $q$ だけ平行へいこう移動いどうしたものです。 漸近線ぜんきんせんは $x=p$ と $y=q$ です。

例題れいだい: $y=\frac{2x+1}{x-1}$ を $y=\frac{k}{x-p}+q$ の形かたちに変形へんけいし、 漸近ぜんきん線せんを求もとめよ。

分子ぶんしを分母ぶんぼで割われると $\frac{2x+1}{x-1}=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}.$ よって $k=3, p=1, q=2$。 漸近ぜんきん線せんは $x=1$ と $y=2$ です。

検算けんざん: $x=2$ のとき、 もとの式$=\frac{5}{1}=5$、 変形へんけい後ご$=2+\frac{3}{1}=5$(一致いっち)。 正ただしい。

無理むり関数かんすう

$y=\sqrt{ax+b}$ の定義ていぎ域いきは根号こんごうの中なかが $0$以上いじょう、 つまり $ax+b\ge 0$ の範囲はんいです。

例題れいだい: $y=\sqrt{2x-4}$ の定義ていぎ域いきと値域ちいきを求もとめよ。

$2x-4\ge 0$ より $x\ge 2$(定義ていぎ域いき)。 $\sqrt{ }$ は $0$以上いじょうなので値域ちいきは $y\ge 0$。

2. 合成ごうせい関数かんすう・逆ぎゃく関数かんすう

例題れいだい: $f\left(x\right)=2x+1, g\left(x\right)=x^2$ のとき、 $(g\circ f)\left(x\right)$ と $(f\circ g)\left(x\right)$ を求もとめよ。

$(g\circ f)\left(x\right)=g\left(f\right(x\left)\right)=(2x+1{)}^2=4x^2+4x+1.$ $(f\circ g)\left(x\right)=f\left(g\right(x\left)\right)=2x^2+1.$

検算けんざん: $x=1$ で $(g\circ f)\left(1\right)=g\left(3\right)=9$、 式しきから $4+4+1=9$(一致いっち)。 $(f\circ g)\left(1\right)=f\left(1\right)=3$、 式しきから $2+1=3$(一致いっち)。 正ただしい。 順序じゅんじょを変かえると結果けっかが変かわる点てんに注意ちゅうい。

例題れいだい: $f\left(x\right)=\frac{x+3}{2}$ の逆関数ぎゃくかんすうを求もとめよ。

$y=\frac{x+3}{2}$ で $x$ と $y$ を入いれかえると $x=\frac{y+3}{2}$。 これを $y$ について解とくと $2x=y+3$、 $y=2x-3$。 よって $f^{-1}\left(x\right)=2x-3$。

検算けんざん: $f\left(f^{-1}\right(x\left)\right)=\frac{(2x-3)+3}{2}=\frac{2x}{2}=x$。 もとにもどる。 正ただしい。

3. 関数かんすうの極限きょくげん

代入だいにゅうして $\frac{0}{0}$ の形かたちになるときは、 因数いんすう分解ぶんかいや有理ゆうり化かで約分やくぶんします。

例題れいだい: $\lim x\to 2\frac{x^2-4}{x-2}$ を求もとめよ。

$\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\to x\to 24.$

検算けんざん: $x=2.01$ で $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{4.0401-4}{0.01}=\frac{0.0401}{0.01}=4.01$。 $4$ に近ちかい。 正ただしい。

大事だいじ: 三角さんかく関数かんすうの基本きほん極限きょくげん$\lim x\to 0\frac{\sin x}{x}=1$(角かくは弧こ度ど法ほう)は、 数すうIII の微積分びせきぶんのいたるところで使つかう重要じゅうよう公式こうしきです。

例題れいだい: $\lim x\to 0\frac{\sin 3x}{x}$ を求もとめよ。

$\frac{\sin 3x}{x}=3\cdot \frac{\sin 3x}{3x}$ と書かきかえると、 $3x\to 0$ なので $\frac{\sin 3x}{3x}\to 1$。 よって極限きょくげんは $3\times 1=3$。

検算けんざん: $x=0.001$ で $\frac{\sin 0.003}{0.001}\approx \frac{0.0029999955}{0.001}\approx 3.0000$。 正ただしい。

どう問とわれるか

• 分数関数ぶんすうかんすうは $\frac{k}{x-p}+q$ の形かたちに直なおして漸近線ぜんきんせんを答こたえる問題もんだいが定番ていばんです。
• 逆関数ぎゃくかんすうは 「入いれかえて解とく」 手順てじゅんと、 もとの関数かんすうとの合成ごうせいが $x$ にもどることを確認かくにんします。
• 関数かんすうの極限きょくげんは $\frac{0}{0}$型の処理しょりと、 $\frac{\sin x}{x}\to 1$ の活用かつようが中心ちゅうしんです。

よくまちがえるところ

関数かんすうの極限きょくげんでは 「代入だいにゅうしてよい形かたちか」 の判断はんだん、 逆ぎゃく関数かんすうでは 「定義ていぎ域いきと値域ちいきの入いれかわり」 でつまずきます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
不ふ定形ていけいのまま代入だいにゅうして答えこたえにする	(x² - 4)/(x - 2) に x = 2 を入いれて 0/0 だから 0 とする	因数いんすう分解ぶんかいして (x + 2) に約分やくぶんしてから x → 2
sin x / x の極限きょくげんを度数どすう法ほうで使つかう	x を度どで測はかって sin x / x → 1 とする	この極限きょくげんが 1 になるのは弧こ度ど法ほう(ラジアン)のときだけ
合成関数ごうせいかんすうの順序じゅんじょを逆ぎゃくにする	(g ∘ f)(x) を f(g(x)) として計算けいさんする	(g ∘ f)(x) = g(f(x))。 内側うちがわが f
逆関数ぎゃくかんすうで定義ていぎ域いきと値域ちいきを入いれかえ忘わすれる	y = √(2x - 4) の逆ぎゃく関数かんすうの定義ていぎ域いきを x ≧ 2 のままにする	もとの関数かんすうの値域ちいきが逆ぎゃく関数かんすうの定義ていぎ域いきになる

いちばん多おおいのは 不定ふてい形がたのまま代入だいにゅう です。 0/0 は 「値あたいが決きまらない」 という印しるしであって、 0 でも 1 でもありません。 分母ぶんぼが 0 に近ちかづくのに分子ぶんしも 0 に近ちかづくときは、 因数いんすう分解ぶんかいして約分やくぶんする・有理ゆうり化かする・基本きほん極限きょくげんの形かたちに直なおす、 のいずれかで 0/0 を解消かいしょうしてから極限きょくげんをとります。 約分やくぶんできたあとで初はじめて代入だいにゅうしてよい、 と順序じゅんじょで覚おぼえてください。

sin x / x を使つかえる形かたちに直なおす

三角さんかく関数かんすうの極限きょくげんは、 x → 0 のとき sin x / x → 1(弧こ度ど法ほう)という 1 つの形かたちにそろえるのがこつです。

順番じゅんばん	すること	例れい
1	角かくの中身なかみを確たしかめる	sin 3x なら中身なかみは 3x
2	分母ぶんぼを中身なかみと同おなじにそろえる	sin 3x / x = 3 × sin 3x / (3x)
3	中身なかみが 0 に近ちかづくことを確たしかめる	x → 0 なら 3x → 0
4	基本きほん極限きょくげんを当あてて残のこりの係数けいすうをかける	3 × 1 = 3

同おなじやり方かたで使つかえる形かたちをまとめます。

極限きょくげん (x → 0)	値あたい	直なおし方かた
sin ax / x	a	a × sin ax / (ax) にそろえる
tan x / x	1	sin x / x × 1/cos x に分わける
(1 - cos x)/x²	1/2	分母ぶんぼ・分子ぶんしに (1 + cos x) をかける

大事だいじ: 角かくの単位たんいは必かならず弧こ度ど法ほう(ラジアン)です。 度どで測はかると sin x / x の極限きょくげんは 1 にならず π/180 になります。 数すうIII の極限きょくげん・微分びぶんでは、 三角さんかく関数かんすうの角かくはすべて弧こ度ど法ほうだと決きめておきましょう。

自分じぶんでチェック

• 0/0 は値あたいが決きまらない印しるしだと説明せつめいできる
• 約分やくぶん・有理ゆうり化かをしてから代入だいにゅうする順序じゅんじょを守まもれる
• sin ax / x を a × sin ax / (ax) にそろえられる
• (g ∘ f)(x) = g(f(x)) と書かける
• 逆ぎゃく関数かんすうの定義ていぎ域いきがもとの関数かんすうの値域ちいきになると言いえる

まとめ

• 分数関数ぶんすうかんすうは $\frac{k}{x-p}+q$ に直なおすと漸近ぜんきん線せん$x=p, y=q$ がわかる
• 逆関数ぎゃくかんすうは $x,y$ を入いれかえて $y$ について解とく。 $y=x$ について対称たいしょう
• $\frac{0}{0}$型の極限きょくげんは約分やくぶん、 $\lim x\to 0\frac{\sin x}{x}=1$ は必修ひっしゅう

次じ章しょうでは、 これらの関数かんすうを 微分びぶん する方法ほうほうを学まなびます。

※ 「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」 は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。