関数かんすうと極限きょくげん — 分数ぶんすう関数かんすう・無理むり関数かんすう・合成ごうせい関数かんすう・逆ぎゃく関数かんすう

この章しょうで学まなぶこと

数すうIII では、 これまでより複雑ふくざつな関数かんすうを扱あつかいます。 微積分びせきぶんの前まえに、 関数かんすうの基本きほん的てきな性質せいしつと関数かんすうの極限きょくげんを整理せいりします。

• 分数関数ぶんすうかんすう $y=\frac{k}{x-p}+q$ のグラフ
• 無理関数むりかんすう $y=\sqrt{ax+b}$ のグラフと定義ていぎ域いき
• 合成関数ごうせいかんすう $(g\circ f)\left(x\right)=g\left(f\right(x\left)\right)$
• 逆関数ぎゃくかんすう $y=f^{-1}\left(x\right)$ の作つくり方かた
• 関数かんすうの極限きょくげんと基本きほん極限きょくげん$\lim x\to 0\frac{\sin x}{x}=1$

ポイント: 逆関数ぎゃくかんすうは 「$x$ と $y$ を入いれかえて $y$ について解とく」 と作つくれます。 もとの関数かんすうとそのグラフは 直線ちょくせん$y=x$ について対称たいしょう です。

1. 分数ぶんすう関数かんすう・無理むり関数かんすう

分数ぶんすう関数かんすう

$y=\frac{k}{x-p}+q$ は、 $y=\frac{k}{x}$ のグラフを $x$方向ほうこうに $p$、 $y$方向ほうこうに $q$ だけ平行へいこう移動いどうしたものです。 漸近線ぜんきんせんは $x=p$ と $y=q$ です。

例題れいだい: $y=\frac{2x+1}{x-1}$ を $y=\frac{k}{x-p}+q$ の形かたちに変形へんけいし、 漸近ぜんきん線せんを求もとめよ。

分子ぶんしを分母ぶんぼで割われると $\frac{2x+1}{x-1}=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}.$ よって $k=3, p=1, q=2$。 漸近ぜんきん線せんは $x=1$ と $y=2$ です。

検算けんざん: $x=2$ のとき、 もとの式$=\frac{5}{1}=5$、 変形へんけい後ご$=2+\frac{3}{1}=5$(一致いっち)。 正ただしい。

無理むり関数かんすう

$y=\sqrt{ax+b}$ の定義ていぎ域いきは根号こんごうの中なかが $0$以上いじょう、 つまり $ax+b\ge 0$ の範囲はんいです。

例題れいだい: $y=\sqrt{2x-4}$ の定義ていぎ域いきと値域ちいきを求もとめよ。

$2x-4\ge 0$ より $x\ge 2$(定義ていぎ域いき)。 $\sqrt{ }$ は $0$以上いじょうなので値域ちいきは $y\ge 0$。

2. 合成ごうせい関数かんすう・逆ぎゃく関数かんすう

例題れいだい: $f\left(x\right)=2x+1, g\left(x\right)=x^2$ のとき、 $(g\circ f)\left(x\right)$ と $(f\circ g)\left(x\right)$ を求もとめよ。

$(g\circ f)\left(x\right)=g\left(f\right(x\left)\right)=(2x+1{)}^2=4x^2+4x+1.$ $(f\circ g)\left(x\right)=f\left(g\right(x\left)\right)=2x^2+1.$

検算けんざん: $x=1$ で $(g\circ f)\left(1\right)=g\left(3\right)=9$、 式しきから $4+4+1=9$(一致いっち)。 $(f\circ g)\left(1\right)=f\left(1\right)=3$、 式しきから $2+1=3$(一致いっち)。 正ただしい。 順序じゅんじょを変かえると結果けっかが変かわる点てんに注意ちゅうい。

例題れいだい: $f\left(x\right)=\frac{x+3}{2}$ の逆関数ぎゃくかんすうを求もとめよ。

$y=\frac{x+3}{2}$ で $x$ と $y$ を入いれかえると $x=\frac{y+3}{2}$。 これを $y$ について解とくと $2x=y+3$、 $y=2x-3$。 よって $f^{-1}\left(x\right)=2x-3$。

検算けんざん: $f\left(f^{-1}\right(x\left)\right)=\frac{(2x-3)+3}{2}=\frac{2x}{2}=x$。 もとにもどる。 正ただしい。

3. 関数かんすうの極限きょくげん

代入だいにゅうして $\frac{0}{0}$ の形かたちになるときは、 因数いんすう分解ぶんかいや有理ゆうり化かで約分やくぶんします。

例題れいだい: $\lim x\to 2\frac{x^2-4}{x-2}$ を求もとめよ。

$\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\to x\to 24.$

検算けんざん: $x=2.01$ で $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{4.0401-4}{0.01}=\frac{0.0401}{0.01}=4.01$。 $4$ に近ちかい。 正ただしい。

大事だいじ: 三角さんかく関数かんすうの基本きほん極限きょくげん$\lim x\to 0\frac{\sin x}{x}=1$(角かくは弧こ度ど法ほう)は、 数すうIII の微積分びせきぶんのいたるところで使つかう重要じゅうよう公式こうしきです。

例題れいだい: $\lim x\to 0\frac{\sin 3x}{x}$ を求もとめよ。

$\frac{\sin 3x}{x}=3\cdot \frac{\sin 3x}{3x}$ と書かきかえると、 $3x\to 0$ なので $\frac{\sin 3x}{3x}\to 1$。 よって極限きょくげんは $3\times 1=3$。

検算けんざん: $x=0.001$ で $\frac{\sin 0.003}{0.001}\approx \frac{0.0029999955}{0.001}\approx 3.0000$。 正ただしい。

どう問とわれるか

• 分数関数ぶんすうかんすうは $\frac{k}{x-p}+q$ の形かたちに直なおして漸近線ぜんきんせんを答こたえる問題もんだいが定番ていばんです。
• 逆関数ぎゃくかんすうは 「入いれかえて解とく」 手順てじゅんと、 もとの関数かんすうとの合成ごうせいが $x$ にもどることを確認かくにんします。
• 関数かんすうの極限きょくげんは $\frac{0}{0}$型の処理しょりと、 $\frac{\sin x}{x}\to 1$ の活用かつようが中心ちゅうしんです。

まとめ

• 分数関数ぶんすうかんすうは $\frac{k}{x-p}+q$ に直なおすと漸近ぜんきん線せん$x=p, y=q$ がわかる
• 逆関数ぎゃくかんすうは $x,y$ を入いれかえて $y$ について解とく。 $y=x$ について対称たいしょう
• $\frac{0}{0}$型の極限きょくげんは約分やくぶん、 $\lim x\to 0\frac{\sin x}{x}=1$ は必修ひっしゅう

次じ章しょうでは、 これらの関数かんすうを 微分びぶん する方法ほうほうを学まなびます。

※ 「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」 は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にっぽん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。