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数検すうけん準じゅん1級きゅう

行列ぎょうれつの演算えんざんと一いち次じ変換へんかん(発展はってん) β版

最終さいしゅう確認かくにん日び:

この章しょうで学まなぶこと

重要じゅうような注意ちゅうい: 行列ぎょうれつと一次変換いちじへんかんは 現在げんざいの高等こうとう学校がっこうの学習がくしゅう指導しどう要領ようりょうでは扱あつかわない範囲はんい です。 しかし数検すうけんは旧きゅう課程かていを踏ふまえ、 行列ぎょうれつを出題しゅつだい範囲はんいに含ふくめ続つづけています。 そのため本章ほんしょうは、 数かず検けんの対策たいさくとして学まなぶ 発展はってん内容ないよう です。

この章しょうでは、 数かずを長方形ちょうほうけいに並ならべた行列ぎょうれつと、 行列ぎょうれつによって点てんを移うつす一次変換いちじへんかんを学まなびます。

  • 2次じ正方せいほう行列の和ぎょうれつのわ・実じつ数すう倍ばい・積つむ
  • 行列式ぎょうれつしき ad−bcad - bc と逆行列ぎゃくぎょうれつ
  • 一次変換いちじへんかんと回転行列かいてんぎょうれつ

ポイント: 行列ぎょうれつの積せきは 「左ひだりの行くだり」 と 「右みぎの列れつ」 を組くみにして、 かけてたす のが基本きほんルールです。 順序じゅんじょを変かえると結果けっかが変かわる(交換こうかん法則ほうそくは成なり立たたない)点てんに注意ちゅういします。

1. 行列ぎょうれつの演算えんざん

2次じ正方せいほう行列ぎょうれつを A=(abcd)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} のように書かきます。 和わ・実じつ数すう倍ばいは成分せいぶんごとに行おこないます。

行列ぎょうれつの積

(abcd)(pqrs)=(ap+braq+bscp+drcq+ds).\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{pmatrix}.

例題れいだい: (1234)(5678)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} を計算けいさんせよ。

(1⋅5+2⋅71⋅6+2⋅83⋅5+4⋅73⋅6+4⋅8)=(19224350).\begin{pmatrix} 1\cdot5+2\cdot7 & 1\cdot6+2\cdot8 \\ 3\cdot5+4\cdot7 & 3\cdot6+4\cdot8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}.

検算けんざん: 左上ひだりうえ=5+14=19= 5 + 14 = 19、 右みぎ上じょう=6+16=22= 6 + 16 = 22、 左下ひだりした=15+28=43= 15 + 28 = 43、 右みぎ下か=18+32=50= 18 + 32 = 50。 正ただしい。

2. 行列ぎょうれつ式しきと逆ぎゃく行列ぎょうれつ

A=(abcd)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} の行列式ぎょうれつしきは det⁡A=ad−bc\det A = ad - bc。 det⁡A≠0\det A \neq 0 のとき逆行列ぎゃくぎょうれつが存在そんざいし、 A−1=1ad−bc(d−b−ca).A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.

例題れいだい: A=(2132)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} の逆ぎゃく行列ぎょうれつを求もとめよ。

det⁡A=2⋅2−1⋅3=4−3=1\det A = 2\cdot2 - 1\cdot3 = 4 - 3 = 1。 よって A−1=11(2−1−32)=(2−1−32).A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}.

検算けんざん: AA−1=(2132)(2−1−32)=(4−3−2+26−6−3+4)=(1001)A A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-3 & -2+2 \\ 6-6 & -3+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}。 単位たんい行列ぎょうれつになる。 正ただしい。

3. 一いち次じ変換へんかん

点(x, y)(x,\ y) を行列ぎょうれつAA で移うつす変換へんかん(x′y′)=A(xy)\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} を一次変換いちじへんかんといいます。

原点げんてんを中心ちゅうしんに角θ\theta だけ回転かいてんする回転行列かいてんぎょうれつは R(θ)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ).R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.

例題れいだい: 点(1, 0)(1,\ 0) を原点げんてん中心ちゅうしんに 90°90°回転かいてんさせた点てんを、 回転かいてん行列ぎょうれつを使つかって求もとめよ。

θ=90°\theta = 90° で cos⁡90°=0, sin⁡90°=1\cos90° = 0,\ \sin90° = 1 なので R(90°)=(0−110)R(90°) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}。 (0−110)(10)=(0⋅1+(−1)⋅01⋅1+0⋅0)=(01).\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot1 + (-1)\cdot0 \\ 1\cdot1 + 0\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. 点(1, 0)(1,\ 0) は (0, 1)(0,\ 1) へ移うつります。

検算けんざん: 90°90°回転かいてんで xx軸じく上じょうの点(1,0)(1,0) が yy軸じく上じょうの (0,1)(0,1) に来くるのは図形ずけい的てきに正ただしい。 正ただしい。

どう問とわれるか

  • 一いち次じでは行列ぎょうれつの積せきや逆行列ぎゃくぎょうれつの計算けいさんが直接ちょくせつ問とわれます。
  • 二に次じでは一次変換いちじへんかんによる点てんや図形ずけいの移うつり先さき、 回転行列かいてんぎょうれつを使つかった変換へんかんが出でます。
  • 積せきの順序じゅんじょ、 行列式ぎょうれつしき ad−bcad - bc の符号ふごう、 逆ぎゃく行列ぎょうれつの 1ad−bc\dfrac{1}{ad-bc} の見落みおとしに注意ちゅういします。

よくまちがえるところ

行列ぎょうれつは計算けいさん規則きそくが高校こうこうまでの数かずと違ちがうため、 数すうと同おなじ感覚かんかくで扱あつかう ことがまちがいのもとになります。

まちがい例れい直なおし方かた
積せきの順序じゅんじょを入いれかえるAB と BA を同おなじものとして扱あつかう一般いっぱんに AB と BA は一致いっちしない。 順序じゅんじょを変かえない
行列式ぎょうれつしきの符号ふごうをまちがえる第だい1行こうが (2, 1)、 第だい2行こうが (3, 2) の行列ぎょうれつで ad + bc = 7 とするad - bc = 2×2 - 1×3 = 1
逆行列ぎゃくぎょうれつで 1/(ad - bc) を落おとす成分せいぶんを入いれかえ符号ふごうを変かえただけで終おえる全体ぜんたいを ad - bc で割われる
行列ぎょうれつ式しきが 0 でも逆ぎゃく行列ぎょうれつを作つくろうとする第だい1行こうが (1, 2)、 第だい2行こうが (2, 4) の行列ぎょうれつの逆ぎゃく行列ぎょうれつを求もとめるad - bc = 0 なので逆ぎゃく行列ぎょうれつは存在そんざいしない

いちばん多おおいのは 積せきの順序じゅんじょ です。 行列ぎょうれつの積せきは 「左ひだりの行くだりと右みぎの列れつを組くみにして、 かけて足たす」 という決きまりなので、 左右さゆうを入いれかえると組み合わせくみあわせそのものが変かわってしまいます。 一次変換いちじへんかんで考かんがえると分わかりやすく、 AB は 「まず B の変換へんかんをしてから A の変換へんかんをする」 という意味いみです。 回転かいてんしてから対称たいしょう移動いどうするのと、 対称たいしょう移動いどうしてから回転かいてんするのとでは行ゆき先さきが違ちがう、 と図ずで確たしかめておくとまちがえません。

一いち次じ変換へんかんを行列ぎょうれつで書かき分わける

代表だいひょう的てきな一いち次じ変換へんかんの行列ぎょうれつを、 第だい1行こう・第だい2行こうの順じゅんに並ならべて書かきます。

変換へんかん第だい1行こう第だい2行こう
原点げんてんまわりに角かく θ の回転かいてん(cosθ, -sinθ)(sinθ, cosθ)
x軸じくに関かんする対称たいしょう移動いどう(1, 0)(0, -1)
y軸じくに関かんする対称たいしょう移動いどう(-1, 0)(0, 1)
原点げんてんに関かんする対称たいしょう移動いどう(-1, 0)(0, -1)
直線ちょくせん y = x に関かんする対称たいしょう移動いどう(0, 1)(1, 0)
原点げんてん中心ちゅうしんの k倍ばいの拡大かくだい(k, 0)(0, k)

確たしかめ方かたは簡単かんたんです。 点てん (1, 0) と点てん (0, 1) の行ゆき先さき を見みると、 それがそのまま行列ぎょうれつの第だい1列れつ・第だい2列れつになります。 たとえば 90 度ど回転かいてんなら (1, 0) は (0, 1) へ、 (0, 1) は (-1, 0) へ移うつるので、 第だい1列れつが (0, 1)、 第だい2列れつが (-1, 0)、 つまり第だい1行こうが (0, -1)、 第だい2行こうが (1, 0) です。 上うえの表ひょうで θ = 90 度どとしたものと一致いっちします。

大事だいじ: 行列ぎょうれつ式しきは 「変換へんかんで面積めんせきが何なん倍ばいになるか」 を表あらわします。 回転かいてん行列ぎょうれつの行列ぎょうれつ式しきは cos²θ + sin²θ = 1 で、 回転かいてんしても面積めんせきが変かわらないことと合あいます。 行列ぎょうれつ式しきが 0 の変換へんかんは平面へいめんをつぶして直線ちょくせんか点てんにしてしまうので、 元もとに戻もどせません。 これが 「行列ぎょうれつ式しきが 0 なら逆ぎゃく行列ぎょうれつがない」 ことの意味いみです。

自分じぶんでチェック

  • AB と BA が一般いっぱんに一致いっちしないと言いえる
  • 行列ぎょうれつ式しきを ad - bc と正ただしく計算けいさんできる
  • 逆ぎゃく行列ぎょうれつの 1/(ad - bc) を落おとさずに書かける
  • 行列ぎょうれつ式しきが 0 のとき逆ぎゃく行列ぎょうれつが無ない理由りゆうを説明せつめいできる
  • (1, 0) と (0, 1) の行ゆき先さきから変換へんかんの行列ぎょうれつを作つくれる

まとめ

  • 行列ぎょうれつの積せきは 「行あるき × 列れつ」 でかけてたす。 順序じゅんじょを変かえると結果けっかが変かわる
  • 行列式ぎょうれつしき det⁡A=ad−bc\det A = ad-bc、 逆行列ぎゃくぎょうれつは 1ad−bc(d−b−ca)\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
  • 回転行列かいてんぎょうれつ R(θ)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}
  • ※行列ぎょうれつは現行げんこうの高校こうこう課程かてい外がい。 数かず検けん固有こゆうの発展はってん範囲はんい

次じ章しょうでは、 データを整理せいりする 基礎きそ的てき統計とうけい処理しょり を学まなびます。

※ 「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」 は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。

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  7. 7複素数ふくそすう平面へいめん — 極ごく形式けいしき・ド・モアブルの定理ていり
  8. 8行列ぎょうれつの演算えんざんと一いち次じ変換へんかん(発展はってん)
  9. 9基礎きそ的てき統計とうけい処理しょり — 平均へいきん・分散ぶんさん・標準ひょうじゅん偏差へんい・確率かくりつ分布ぶんぷ
  10. 10二に次じ(数理すうり技能ぎのう)対策たいさく・総合そうごう — 記述きじゅつのコツと2級きゅう範囲はんいの融合ゆうごう
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