この章で学ぶこと
重要な注意: 行列と一次変換は 現在の高等学校の学習指導要領では扱わない範囲 です。 しかし数検は旧課程を踏まえ、 行列を出題範囲に含め続けています。 そのため本章は、 数検の対策として学ぶ 発展内容 です。
この章では、 数を長方形に並べた行列と、 行列によって点を移す一次変換を学びます。
- 2次正方行列の和・実数倍・積
- 行列式 ad−bc と逆行列
- 一次変換と回転行列
ポイント: 行列の積は 「左の行」 と 「右の列」 を組にして、 かけてたす のが基本ルールです。 順序を変えると結果が変わる(交換法則は成り立たない)点に注意します。
1. 行列の演算
2次正方行列を A=(acbd) のように書きます。 和・実数倍は成分ごとに行います。
行列の積
(acbd)(prqs)=(ap+brcp+draq+bscq+ds).
例題: (1324)(5768) を計算せよ。
(1⋅5+2⋅73⋅5+4⋅71⋅6+2⋅83⋅6+4⋅8)=(19432250).
検算: 左上=5+14=19、 右上=6+16=22、 左下=15+28=43、 右下=18+32=50。 正しい。
2. 行列式と逆行列
A=(acbd) の行列式は detA=ad−bc。 detA=0 のとき逆行列が存在し、
A−1=ad−bc1(d−c−ba).
例題: A=(2312) の逆行列を求めよ。
detA=2⋅2−1⋅3=4−3=1。 よって
A−1=11(2−3−12)=(2−3−12).
検算: AA−1=(2312)(2−3−12)=(4−36−6−2+2−3+4)=(1001)。 単位行列になる。 正しい。
3. 一次変換
点(x, y) を行列A で移す変換(x′y′)=A(xy) を一次変換といいます。
原点を中心に角θ だけ回転する回転行列は
R(θ)=(cosθsinθ−sinθcosθ).
例題: 点(1, 0) を原点中心に 90°回転させた点を、 回転行列を使って求めよ。
θ=90° で cos90°=0, sin90°=1 なので R(90°)=(01−10)。
(01−10)(10)=(0⋅1+(−1)⋅01⋅1+0⋅0)=(01).
点(1, 0) は (0, 1) へ移ります。
検算: 90°回転で x軸上の点(1,0) が y軸上の (0,1) に来るのは図形的に正しい。 正しい。
どう問われるか
- 一次では行列の積や逆行列の計算が直接問われます。
- 二次では一次変換による点や図形の移り先、 回転行列を使った変換が出ます。
- 積の順序、 行列式 ad−bc の符号、 逆行列の ad−bc1 の見落としに注意します。
まとめ
- 行列の積は 「行 × 列」 でかけてたす。 順序を変えると結果が変わる
- 行列式 detA=ad−bc、 逆行列は ad−bc1(d−c−ba)
- 回転行列 R(θ)=(cosθsinθ−sinθcosθ)
- ※行列は現行の高校課程外。 数検固有の発展範囲
次章では、 データを整理する 基礎的統計処理 を学びます。
※ 「数検」「実用数学技能検定」 は公益財団法人日本数学検定協会の登録商標です。
