二に次じ(数理すうり技能ぎのう)対策たいさく・総合そうごう — 記述きじゅつのコツと2級きゅう範囲はんいの融合ゆうごう β版

この章しょうで学まなぶこと

二に次じ(数理すうり技能ぎのう)では、 答えこたえだけでなく 方針ほうしんと計算けいさんの過程かてい を書かきます。 これまでの内容ないようを総合そうごうし、 記述きじゅつのコツをつかみます。

• 二に次じ(記述きじゅつ)で点てんをのがさない答案とうあんの書かき方かた
• 微分びぶん積分せきぶん・複素数ふくそすう・漸化式ぜんかしきの総合そうごう問題もんだい
• 2級きゅう範囲はんい(指数関数しすうかんすう・対数関数たいすうかんすう・三角関数さんかくかんすう)との融合ゆうごう

ポイント: 二に次じでは 「どんな定理ていり・公式こうしきを使つかうか」 を最初さいしょに書かくと、 方針ほうしんが伝つたわり部分ぶぶん点てんが得えやすくなります。 途中とちゅう式しきをていねいに残のこしましょう。

1. 記述きじゅつ答案とうあんの書かき方かた

• 使つかう 定理ていり・公式こうしき を明記めいきする(例れい: 「部分積分ぶぶんせきぶんを用もちいる」)
• $x$ とおいた 設定せってい を最初さいしょに書かく
• 増減ぞうげん表ひょう・図ず で説明せつめいできるものは図示ずしする
• 最後さいごに 「したがって ○○」 と結論けつろん を明確めいかくに書かく

2. 微分びぶん・最大さいだい最小さいしょうの総合そうごう

例題れいだい: $0\le x\le \pi$ における $f\left(x\right)=x+2\cos x$ の最大値さいだいちと最小値さいしょうちを求もとめよ。

$f^{\prime }\left(x\right)=1-2\sin x$。 $f^{\prime }\left(x\right)=0$ より $\sin x=\frac{1}{2}$、 $0\le x\le \pi$ では $x=\frac{\pi }{6}, \frac{5\pi }{6}$。

$x$	$0$	$\cdots$	$\frac{\pi }{6}$	$\cdots$	$\frac{5\pi }{6}$	$\cdots$	$\pi$
$f^{\prime }\left(x\right)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$		増まし	極大きょくだい	減げん	極小きょくしょう	増まし

各かく点てんの値あたいを求もとめます。 $f\hspace{0.17em}\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{6}+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}\approx 0.524+1.732=2.256,$ $f\hspace{0.17em}\left(\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{5\pi }{6}+2\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{5\pi }{6}-\sqrt{3}\approx 2.618-1.732=0.886,$ $f\left(0\right)=0+2=2,f\left(\pi \right)=\pi +2\cos \pi =\pi -2\approx \mathrm{1.142.}$ 端点たんてんと極ごく値あたいを比くらべると、 最大さいだいは $f\hspace{0.17em}\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}\approx 2.256$、 最小さいしょうは $f\left(0\right)=2$ … ではなく、 最小さいしょう候補こうほをすべて比較ひかくします。 値あたいは $2.256, 0.886, 2, 1.142$ なので、 最大値さいだいちは $\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}$($x=\frac{\pi }{6}$)、 最小値さいしょうちは $\frac{5\pi }{6}-\sqrt{3}$($x=\frac{5\pi }{6}$) です。

検算けんざん: 数値すうちで $2.256>2>1.142>0.886$。 最大さいだい$2.256$、 最小さいしょう$0.886$ で確たしかに極大きょくだい・極小きょくしょうが端点たんてんより外側そとがわになっている。 正ただしい。

3. 漸ぜん化か式しきと極限きょくげんの融合ゆうごう

例題れいだい: $a_1=4, a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n+1$ で定さだまる数列すうれつについて、 一般いっぱん項こうと $\lim n\to \infty a_n$ を求もとめよ。

特性とくせい方程式ほうていしき$\alpha =\frac{1}{2}\alpha +1$ より $\frac{1}{2}\alpha =1$、 $\alpha =2$。 よって $a_{n+1}-2=\frac{1}{2}(a_n-2)$。 $\{a_n-2\}$ は初はつ項こう$a_1-2=2$、 公おおやけ比ひ$\frac{1}{2}$ の等比とうひ数列すうれつなので $a_n-2=2{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1},a_n=2+2{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-2}.$ ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\to 0$ なので $\lim n\to \infty a_n=2$。

検算けんざん: $a_1=2+2\cdot 1=4$(○)。 $a_2=2+2\cdot \frac{1}{2}=3$、 漸ぜん化か式しきから $\frac{1}{2}\cdot 4+1=3$(一致いっち)。 極限きょくげん$2$ は特性とくせい方程式ほうていしきの解かいに一致いっち。 正ただしい。

4. 2級きゅう範囲はんいとの融合ゆうごう(対数たいすう)

例題れいだい: 不等式ふとうしき を解とけ(真しん数すう条件じょうけんに注意ちゅうい)。

真ま数すう条件じょうけんは $x-1>0$ かつ $x+1>0$、 すなわち $x>1$。 左辺さへんは ${\log }_2\left\{\right(x-1\left)\right(x+1\left)\right\}={\log }_2(x^2-1)$。 $3={\log }_{2}8$ なので、 底$2>1$ より 真しん数すう条件じょうけん$x>1$ と合あわせて、 。

検算けんざん: $x=2$ を代入だいにゅうすると (成立せいりつ)。 $x=3$ では $x^2-1=8$ で等号とうごうとなり範囲はんい外がい。 正ただしい。

どう問とわれるか

• 二に次じは記述きじゅつです。 方針ほうしん(使つかう定理ていり)・設定せってい・増減ぞうげん表ひょう・結論けつろんを順じゅんに書かきます。
• 微分びぶんの最大さいだい最小さいしょうは、 極きょく値ちと端点たんてんの両方りょうほう を比くらべるのが鉄則てっそくです(端点たんてんを忘わすれない)。
• 漸化式ぜんかしきと極限きょくげん、 対数たいすう・三角さんかく関数かんすうを含ふくむ融合ゆうごう問題もんだいが出でます。 真ま数すう条件じょうけん・定義ていぎ域いきの確認かくにんを怠おこたらないことが大切たいせつです。

よくまちがえるところ

二に次じ(数理すうり技能ぎのう)では、 計算けいさんはできているのに 条件じょうけんの確認かくにんもれ と 結論けつろんの書かき落おとし で減点げんてんされます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
端点たんてんを調しらべずに最大さいだい最小さいしょうを答こたえる	0 ≦ x ≦ π で x + 2cos x の極大きょくだい値ちだけを見みて最大値さいだいちとする	極ごく値あたいと両端りょうたん x = 0、 x = π の値あたいをすべて比くらべる
真ま数すう条件じょうけん・定義ていぎ域いきを後回あとまわしにする	log の不等式ふとうしきで -3 < x < 3 だけを答える	先に真数条件 x > 1 を出だし、 最後さいごに共通きょうつう部分ぶぶん 1 < x < 3
底そこが 1 より小ちいさい対数たいすうで不等号ふとうごうの向むきをそのままにする	底そこが 1/2 の不等式ふとうしきで真しん数すうの大小だいしょうをそのまま使つかう	底そこが 0 と 1 の間まなら不等号ふとうごうの向むきが逆ぎゃくになる
結論けつろんを書かかずに終おえる	増減ぞうげん表ひょうを書かいたところで答案とうあんを終おえる	「したがって最大値さいだいちは ...」 と文ぶんで結むすぶ

いちばん多おおいのは 端点たんてんの見落みおとし です。 閉区間くかんでの最大さいだい最小さいしょうは、 極きょく値ちだけでなく端点たんてんでも起おこります。 実際じっさい 0 ≦ x ≦ π での f(x) = x + 2cos x は、 極大きょくだい値ちが約やく 2.256(x = π/6)、 極小きょくしょう値ちが約やく 0.886(x = 5π/6)、 端点たんてんが f(0) = 2 と f(π) ≒ 1.142 です。 このとき最大さいだいは極大きょくだい値ち、 最小さいしょうは極小きょくしょう値ちですが、 関数かんすうや区間くかんが変かわれば端点たんてんが最大さいだい・最小さいしょうになることもよくあります。 候補こうほは極ごく値あたいと端点たんてんの全部ぜんぶ、 と決きめて表ひょうに並ならべてから比くらべてください。

たしかめ方かた

総合そうごう問題もんだいでは、 求もとめた答えこたえを別べつの見方みかたで確たしかめます。

求もとめたもの	たしかめ方かた	合あっていれば
不等式ふとうしきの解かい	範囲はんいの内側うちがわと外側そとがわの値あたいを代入だいにゅうする	内側うちがわで成なり立たち、 外側そとがわで成なり立たたない
漸化式ぜんかしきの一般いっぱん項こう	n = 1, 2, 3 を代入だいにゅうして漸ぜん化か式しきと比くらべる	どの項こうも漸ぜん化か式しきを満みたす
数列すうれつの極限きょくげん	特性とくせい方程式ほうていしきの解かいと比くらべる	収束しゅうそくするとき極限きょくげんは特性とくせい方程式ほうていしきの解かい
最大値さいだいち・最小値さいしょうち	候補こうほの値あたいを小数しょうすうにして並ならべる	大小だいしょうの順序じゅんじょが増減ぞうげん表ひょうと合あう
定てい積分せきぶんの値あたい	原始げんし関数かんすうを微分びぶんして戻もどす	被ひ積分せきぶん関数かんすうに戻もどる

たとえば a_1 = 4、 a_(n+1) = (1/2)a_n + 1 の一般いっぱん項こうを a_n = 2 + 2 × (1/2)^(n-1) と求もとめたら、 n = 1 で 2 + 2 = 4、 n = 2 で 2 + 1 = 3 となり、 漸ぜん化か式しきの (1/2) × 4 + 1 = 3 と一致いっちします。 さらに極限きょくげんは 2 で、 特性とくせい方程式ほうていしき α = (1/2)α + 1 の解かい α = 2 とも一致いっちします。 2 通とおりの検算けんざんがそろって初はじめて安心あんしん できます。

大事だいじ: 記述きじゅつでは、 条件じょうけんの確認かくにんそのものが得点とくてんになります。 「真しん数すう条件じょうけんより x > 1」 「f は閉区間くかんで連続れんぞくだから最大値さいだいちをとる」 のように、 使つかった条件じょうけんを 1 行くだりで書かき添そえてください。 計算けいさんが途中とちゅうで止とまっても、 方針ほうしんと条件じょうけんが書かいてあれば部分ぶぶん点てんになります。

自分じぶんでチェック

• 閉区間くかんの最大さいだい最小さいしょうで極ごく値あたいと端点たんてんをすべて比くらべられる
• 対数たいすう・分数ぶんすう式しきで定義ていぎ域いきや真ま数すう条件じょうけんを先さきに書かける
• 底そこが 1 より小ちいさい対数たいすうで不等号ふとうごうの向むきを変かえられる
• 一般いっぱん項こうを n = 1, 2, 3 の代入だいにゅうで検算けんざんできる
• 答案とうあんを 「したがって ...」 の結論けつろんで締しめくくれる

まとめ

• 二に次じは 「方針ほうしん → 設定せってい → 計算けいさん → 結論けつろん」 の順じゅんで記述きじゅつする
• 最大さいだい最小さいしょうは極ごく値あたいと 端点たんてん をすべて比較ひかくする
• 漸化式ぜんかしきの極限きょくげんは特性とくせい方程式ほうていしきの解かいに一致いっちする
• 対数たいすう・三角さんかくを含ふくむ融合ゆうごうでは真ま数すう条件じょうけん・定義ていぎ域いきを最初さいしょに確認かくにんする

これで数すう検けん準じゅん1級きゅうの教材きょうざいはひと通とおり終おわりです。 各かく章しょうの例題れいだいをくりかえし解とき、 一いち問もん一いち答とうや問題もんだい集しゅうで力ちからを確たしかめましょう。

※ 「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」 は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。 この教材きょうざいは非公式ひこうしきの学習がくしゅう教材きょうざいであり、 合格ごうかくを保証ほしょうするものではありません。