二に次じ(数理すうり技能ぎのう)対策たいさく・総合そうごう — 記述きじゅつのコツと2級きゅう範囲はんいの融合ゆうごう

この章しょうで学まなぶこと

二に次じ(数理すうり技能ぎのう)では、 答えこたえだけでなく 方針ほうしんと計算けいさんの過程かてい を書かきます。 これまでの内容ないようを総合そうごうし、 記述きじゅつのコツをつかみます。

• 二に次じ(記述きじゅつ)で点てんをのがさない答案とうあんの書かき方かた
• 微分びぶん積分せきぶん・複素数ふくそすう・漸化式ぜんかしきの総合そうごう問題もんだい
• 2級きゅう範囲はんい(指数関数しすうかんすう・対数関数たいすうかんすう・三角関数さんかくかんすう)との融合ゆうごう

ポイント: 二に次じでは 「どんな定理ていり・公式こうしきを使つかうか」 を最初さいしょに書かくと、 方針ほうしんが伝つたわり部分ぶぶん点てんが得えやすくなります。 途中とちゅう式しきをていねいに残のこしましょう。

1. 記述きじゅつ答案とうあんの書かき方かた

• 使つかう 定理ていり・公式こうしき を明記めいきする(例れい: 「部分積分ぶぶんせきぶんを用もちいる」)
• $x$ とおいた 設定せってい を最初さいしょに書かく
• 増減ぞうげん表ひょう・図ず で説明せつめいできるものは図示ずしする
• 最後さいごに 「したがって ○○」 と結論けつろん を明確めいかくに書かく

2. 微分びぶん・最大さいだい最小さいしょうの総合そうごう

例題れいだい: $0\le x\le \pi$ における $f\left(x\right)=x+2\cos x$ の最大値さいだいちと最小値さいしょうちを求もとめよ。

$f^{\prime }\left(x\right)=1-2\sin x$。 $f^{\prime }\left(x\right)=0$ より $\sin x=\frac{1}{2}$、 $0\le x\le \pi$ では $x=\frac{\pi }{6}, \frac{5\pi }{6}$。

$x$	$0$	$\cdots$	$\frac{\pi }{6}$	$\cdots$	$\frac{5\pi }{6}$	$\cdots$	$\pi$
$f^{\prime }\left(x\right)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$		増まし	極大きょくだい	減げん	極小きょくしょう	増まし

各かく点てんの値あたいを求もとめます。 $f\hspace{0.17em}\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{6}+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}\approx 0.524+1.732=2.256,$ $f\hspace{0.17em}\left(\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{5\pi }{6}+2\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{5\pi }{6}-\sqrt{3}\approx 2.618-1.732=0.886,$ $f\left(0\right)=0+2=2,f\left(\pi \right)=\pi +2\cos \pi =\pi -2\approx \mathrm{1.142.}$ 端点たんてんと極ごく値あたいを比くらべると、 最大さいだいは $f\hspace{0.17em}\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}\approx 2.256$、 最小さいしょうは $f\left(0\right)=2$ … ではなく、 最小さいしょう候補こうほをすべて比較ひかくします。 値あたいは $2.256, 0.886, 2, 1.142$ なので、 最大値さいだいちは $\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}$($x=\frac{\pi }{6}$)、 最小値さいしょうちは $\frac{5\pi }{6}-\sqrt{3}$($x=\frac{5\pi }{6}$) です。

検算けんざん: 数値すうちで $2.256>2>1.142>0.886$。 最大さいだい$2.256$、 最小さいしょう$0.886$ で確たしかに極大きょくだい・極小きょくしょうが端点たんてんより外側そとがわになっている。 正ただしい。

3. 漸うたて化か式しきと極限きょくげんの融合ゆうごう

例題れいだい: $a_1=4, a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n+1$ で定さだまる数列すうれつについて、 一般いっぱん項こうと $\lim n\to \infty a_n$ を求もとめよ。

特性とくせい方程式ほうていしき$\alpha =\frac{1}{2}\alpha +1$ より $\frac{1}{2}\alpha =1$、 $\alpha =2$。 よって $a_{n+1}-2=\frac{1}{2}(a_n-2)$。 $\{a_n-2\}$ は初はつ項こう$a_1-2=2$、 公おおやけ比ひ$\frac{1}{2}$ の等比とうひ数列すうれつなので $a_n-2=2{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1},a_n=2+2{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-2}.$ ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}\to 0$ なので $\lim n\to \infty a_n=2$。

検算けんざん: $a_1=2+2\cdot 1=4$(○)。 $a_2=2+2\cdot \frac{1}{2}=3$、 漸うたて化か式しきから $\frac{1}{2}\cdot 4+1=3$(一致いっち)。 極限きょくげん$2$ は特性とくせい方程式ほうていしきの解かいに一致いっち。 正ただしい。

4. 2級きゅう範囲はんいとの融合ゆうごう(対数たいすう)

例題れいだい: 不等式ふとうしき を解とけ(真しん数すう条件じょうけんに注意ちゅうい)。

真ま数すう条件じょうけんは $x-1>0$ かつ $x+1>0$、 すなわち $x>1$。 左辺さへんは ${\log }_2\left\{\right(x-1\left)\right(x+1\left)\right\}={\log }_2(x^2-1)$。 $3={\log }_{2}8$ なので、 底$2>1$ より 真しん数すう条件じょうけん$x>1$ と合あわせて、 。

検算けんざん: $x=2$ を代入だいにゅうすると (成立せいりつ)。 $x=3$ では $x^2-1=8$ で等号とうごうとなり範囲はんい外がい。 正ただしい。

どう問とわれるか

• 二に次じは記述きじゅつです。 方針ほうしん(使つかう定理ていり)・設定せってい・増減ぞうげん表ひょう・結論けつろんを順じゅんに書かきます。
• 微分びぶんの最大さいだい最小さいしょうは、 極きょく値ちと端点たんてんの両方りょうほう を比くらべるのが鉄則てっそくです(端点たんてんを忘わすれない)。
• 漸化式ぜんかしきと極限きょくげん、 対数たいすう・三角さんかく関数かんすうを含ふくむ融合ゆうごう問題もんだいが出でます。 真ま数すう条件じょうけん・定義ていぎ域いきの確認かくにんを怠おこたらないことが大切たいせつです。

まとめ

• 二に次じは 「方針ほうしん → 設定せってい → 計算けいさん → 結論けつろん」 の順じゅんで記述きじゅつする
• 最大さいだい最小さいしょうは極ごく値あたいと 端点たんてん をすべて比較ひかくする
• 漸化式ぜんかしきの極限きょくげんは特性とくせい方程式ほうていしきの解かいに一致いっちする
• 対数たいすう・三角さんかくを含ふくむ融合ゆうごうでは真ま数すう条件じょうけん・定義ていぎ域いきを最初さいしょに確認かくにんする

これで数すう検けん準じゅん1級きゅうの教材きょうざいはひと通とおり終おわりです。 各かく章しょうの例題れいだいをくりかえし解とき、 一いち問もん一いち答とうや問題もんだい集しゅうで力ちからを確たしかめましょう。

※ 「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」 は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にっぽん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。 この教材きょうざいは非公式ひこうしきの学習がくしゅう教材きょうざいであり、 合格ごうかくを保証ほしょうするものではありません。