数列すうれつと極限きょくげん — 漸ぜん化か式しき・数列すうれつの極限きょくげん・無限むげん級数きゅうすう

この章しょうで学まなぶこと

数すうIII の出発しゅっぱつ点てんは 極限きょくげん です。 まず数列すうれつを題材だいざいに、 無限むげんに進すすめたときの値あたい(極限きょくげん)の考かんがえ方かたをつかみます。

• 等差とうさ・等比とうひ数列すうれつと $\sum$ の復習ふくしゅう
• 漸化式ぜんかしき($a_{n+1}=p{a}_n+q$型)の解とき方かた
• 数列の極限すうれつのきょくげん $\lim n\to \infty a_n$ の求もとめ方かた
• 無限等比級数むげんとうひきゅうすうの収束しゅうそく条件じょうけんと和わ

ポイント: 極限きょくげんでは 「$n$ を限かぎりなく大おおきくしたとき、 値あたいがどんな数かずに近ちかづくか」 を考えかんがえます。 近ちかづく相手あいての数かずがあるとき 収束しゅうそく、 ないとき 発散はっさん といいます。

1. 漸ぜん化か式しき

等比とうひ型がた$a_{n+1}=p{a}_n$

$a_{n+1}=p{a}_n$ なら、 数列すうれつは公おおやけ比ひ$p$ の等比とうひ数列すうれつで $a_n=a_1\cdot p^{n-1}$ です。

$a_{n+1}=p{a}_n+q$型($p\ne 1$)

まず 特性とくせい方程式ほうていしき $\alpha =p\alpha +q$ を解といて $\alpha$ を求もとめ、 $a_{n+1}-\alpha =p(a_n-\alpha )$ と変形へんけいします。 すると $\{a_n-\alpha \}$ は公おおやけ比ひ$p$ の等比とうひ数列すうれつです。

例題れいだい: $a_1=1, a_{n+1}=3a_n-4$ で定さだまる数列すうれつの一般いっぱん項こうを求もとめよ。

特性とくせい方程式ほうていしき$\alpha =3\alpha -4$ より $-2\alpha =-4$、 $\alpha =2$。 よって $a_{n+1}-2=3(a_n-2).$ $\{a_n-2\}$ は初はつ項こう$a_1-2=-1$、 公おおやけ比ひ$3$ の等比とうひ数列すうれつなので $a_n-2=-1\cdot 3^{n-1},a_n=2-3^{n-1}.$

検算けんざん: $a_1=2-3^0=2-1=1$(○)。 $a_2=2-3=-1$。 漸ぜん化か式しきから $a_2=3\cdot 1-4=-1$(一致いっち)。 $a_3=2-9=-7$、 漸ぜん化か式しきから $3\cdot (-1)-4=-7$(一致いっち)。 正ただしい。

2. 数列すうれつの極限きょくげん

$n\to \infty$ のときの $a_n$ の極限きょくげんを考えかんがえます。 基本きほんは 最高さいこう次じの項こうでくくる ことです。

例題れいだい: $\lim n\to \infty \frac{2n^2-3n+1}{4n^2+n}$ を求もとめよ。

分母ぶんぼ・分子ぶんしを $n^2$ で割われると $\frac{2-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{4+\frac{1}{n}}\to n\to \infty \frac{2-0+0}{4+0}=\frac{1}{2}.$

検算けんざん: $n=1000$ で分子ぶんし$=2000000-3000+1=1997001$、 分母ぶんぼ$=4000000+1000=4001000$。 比ひは約$0.4991$ で $\frac{1}{2}$ に近ちかい。 正ただしい。

大事だいじ: 公おおやけ比ひ$r$ の等比とうひ数列すうれつ$r^n$ の極限きょくげんは、 のとき $0$、 $r=1$ のとき $1$、 $r>1$ のとき $+\infty$、 $r\le -1$ のとき振動しんどうして極限きょくげんなし、 です。

例題れいだい: $\lim n\to \infty (\sqrt{n^2+n}-n)$ を求もとめよ。

分子ぶんしの有理ゆうり化か(差さを和わで割われる)を使つかいます。 $\sqrt{n^2+n}-n=\frac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}.$ 分母ぶんぼ・分子ぶんしを $n$ で割われると $\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\to n\to \infty \frac{1}{\sqrt{1}+1}=\frac{1}{2}.$

検算けんざん: $n=100$ で $\sqrt{10100}-100\approx 100.4988-100=0.4988$。 $\frac{1}{2}$ に近ちかい。 正ただしい。

3. 無限むげん級数きゅうすう

無限むげん等比とうひ級数きゅうすう

初はつ項こう$a$、 公おおやけ比ひ$r$ の無限等比級数むげんとうひきゅうすう $a+ar+a{r}^2+\cdots$ は、 のとき収束しゅうそく し、 その和わは $S=\frac{a}{1-r}(a\ne 0).$ $\mid r\mid \ge 1$ のとき(かつ $a\ne 0$)は発散はっさんします。

例題れいだい: $\sum n=1\infty \frac{2}{3^n}$ の和わを求もとめよ。

これは初はつ項こう$a=\frac{2}{3}$、 公おおやけ比ひ$r=\frac{1}{3}$ の無限むげん等比とうひ級数きゅうすうです。 なので収束しゅうそくし、 $S=\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}}=1.$

検算けんざん: 部分ぶぶん和わ$S_3=\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\frac{2}{27}=\frac{18+6+2}{27}=\frac{26}{27}\approx 0.963$。 $1$ に近ちかづいている。 正ただしい。

ポイント: 無限むげん等比とうひ級数きゅうすうでは、 まず 初はつ項こう$a$ と公おおやけ比ひ$r$ を正ただしく読よみ取とり、 を確認かくにんしてから $\frac{a}{1-r}$ を使つかいます。 収束しゅうそく条件じょうけんの確認かくにんを忘わすれないことが最大さいだいの注意ちゅうい点てんです。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは $a_{n+1}=p{a}_n+q$型の漸化式ぜんかしきから一般いっぱん項こうを求もとめ、 さらにその極限きょくげんを問とう問題もんだいがよく出でます。
• $\sqrt{n^2+n}-n$ のような $\infty -\infty$型 は、 有理ゆうり化かで形かたちを変かえるのが定石じょうせきです。
• 無限等比級数むげんとうひきゅうすうでは収束しゅうそく条件じょうけん を確認かくにんし、 $\frac{a}{1-r}$ を正ただしく使つかえるかが問とわれます。

よくまちがえるところ

数列すうれつと極限きょくげんでは、 「条件じょうけんを確たしかめずに公式こうしきを当あてる」 まちがいが目立めだちます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
収束しゅうそく条件じょうけんを確たしかめずに和わの公式こうしきを使つかう	公おおやけ比ひ 2 の等比とうひ級数きゅうすうに a/(1-r) を当あてて -a と答こたえる	公おおやけ比ひの絶対ぜったい値ちが 1 より小ちいさいときだけ和わが存在そんざいする
∞ - ∞ の形かたちをそのまま処理しょりする	√(n²+n) - n を 「∞ - ∞ だから 0」 とする	有理ゆうり化かして n でくくってから極限きょくげんをとる
特性とくせい方程式ほうていしきの解かいを一般いっぱん項こうと取とりちがえる	a_1 = 1, a_(n+1) = 3a_n - 4 で α = 2 を答えこたえとする	α は等比とうひ数列すうれつにずらすための定数ていすう。 一般いっぱん項こうは a_n = 2 - 3^(n-1)
級数きゅうすうの初はつ項こうを読よみまちがえる	2/3^n (n = 1 から) の初はつ項こうを 2 とする	n = 1 を代入だいにゅうして初はつ項こうは 2/3

いちばん多おおいのは 収束しゅうそく条件じょうけんの確認かくにんもれ です。 a/(1-r) は 「公おおやけ比ひの絶対ぜったい値ちが 1 より小ちいさい」 ときにだけ成なり立たつ式しきで、 これを外はずすと発散はっさんする級数きゅうすうに有限ゆうげんの値あたいを答えこたえてしまいます。 しかも計算けいさん自体じたいは通かよってしまうので、 見直みなおしでも気きづきにくいのがやっかいです。 級数きゅうすうを見みたら、 まず初はつ項こうと公おおやけ比ひを書かき出だし、 公おおやけ比ひの絶対ぜったい値ちを確たしかめてから和わの式しきに進すすんでください。

極限きょくげんを求もとめる手順てじゅん

極限きょくげんは 「形かたちを見分みわけてから処理しょりを選えらぶ」 のが基本きほんです。

順番じゅんばん	すること	見分みわけ方かたと処理しょり
1	そのまま n や x を近ちかづけて形かたちを見みる	有限ゆうげんの値あたいになればそれが答えこたえ
2	∞/∞ の分数ぶんすう式しきか	分母ぶんぼ・分子ぶんしを最高さいこう次じの項こうで割われる
3	∞ - ∞ で根号こんごうを含ふくむか	有理ゆうり化かして分数ぶんすうの形かたちに直なおす
4	等比とうひ r^n を含ふくむか	公おおやけ比ひの絶対ぜったい値ちで場合ばあい分わけする
5	出でた値あたいを数値すうちで確たしかめる	n に大おおきな値あたいを入いれて近ちかいか見みる

第だい4段階だんかいの場合ばあい分わけは、 次つぎのとおりです。

公おおやけ比ひ r の範囲はんい	r^n の極限きょくげん
絶対ぜったい値ちが 1 より小ちいさい	0 に収束しゅうそく
r = 1	1 に収束しゅうそく
r が 1 より大おおきい	正せいの無限むげん大だいに発散はっさん
r が -1 以下いか	振動しんどうして極限きょくげんなし

大事だいじ: 極限きょくげんを求もとめたら、 n に 100 や 1000 を入いれて数値すうちを出だしてみましょう。 たとえば (2n² - 3n + 1)/(4n² + n) は n = 1000 でおよそ 0.4991 となり、 答えこたえの 1/2 に近ちかいことが確たしかめられます。 符号ふごうや桁けたのまちがいはこれでほとんど見みつかります。

自分じぶんでチェック

• 等比とうひ級数きゅうすうの和わを使つかう前まえに公おおやけ比ひの絶対ぜったい値ちを確たしかめている
• ∞ - ∞ の形かたちを有理ゆうり化かして処理しょりできる
• 特性とくせい方程式ほうていしきの解かい α と一般いっぱん項こうのちがいを説明せつめいできる
• r^n の極限きょくげんを公おおやけ比ひの範囲はんいで場合ばあい分わけできる
• 求もとめた極限きょくげんを大おおきな n の数値すうちで検算けんざんできる

まとめ

• $a_{n+1}=p{a}_n+q$ は特性とくせい方程式ほうていしき$\alpha =p\alpha +q$ で $\alpha$ を求もとめ、 $\{a_n-\alpha \}$ を等比とうひ数列すうれつに
• 分数ぶんすう型がたの極限きょくげんは 最高さいこう次じでくくる、 $\infty -\infty$型は 有理ゆうり化か
• 無限等比級数むげんとうひきゅうすうは のとき収束しゅうそくし和わは $\frac{a}{1-r}$

次章しょうでは、 関数かんすうそのものの極限きょくげんと、 分数関数ぶんすうかんすう・逆関数ぎゃくかんすうなどを学まなびます。

※ 「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」 は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。