積分せきぶん法ほうIII — 置換ちかん積分せきぶん・部分ぶぶん積分せきぶん・面積めんせき・体積たいせき β版

この章しょうで学まなぶこと

数すうIII の積分せきぶんでは、 置換積分ちかんせきぶん・部分積分ぶぶんせきぶんという強力きょうりょくな道具どうぐを使つかい、 さらに面積めんせきや体積たいせきを求もとめます。

• 基本きほんの不定ふてい積分せきぶん($x^n$、 $\sin x$、 $e^x$、 $\frac{1}{x}$ など)
• 置換積分ちかんせきぶん法
• 部分積分ぶぶんせきぶん法
• 定てい積分せきぶんによる面積めんせき、 回転体の体積かいてんたいのたいせき

ポイント: 積分せきぶんは微分びぶんの逆ぎゃくです。 「微分びぶんすると被ひ積分せきぶん関数かんすうになる関数かんすう」 を探さがすのが基本きほん。 不定ふてい積分せきぶんには積分せきぶん定数ていすう$C$ を必かならず書かき、 定てい積分せきぶんでは $C$ は消きえます。

1. 基本きほんの不定ふてい積分せきぶん

$\int x^n\hspace{0.17em}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C (n\ne -1),\int \frac{1}{x}\hspace{0.17em}dx=\log \mid x\mid +C,$ $\int e^x\hspace{0.17em}dx=e^x+C,\int \sin x\hspace{0.17em}dx=-\cos x+C,\int \cos x\hspace{0.17em}dx=\sin x+C.$

2. 置換ちかん積分せきぶん

変数へんすうを $t$ に置おきかえて計算けいさんします。 $\int f\left(g\right(x\left)\right)g^{\prime }\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$ で $t=g\left(x\right)$ とおくと $dt=g^{\prime }\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$。

例題れいだい: $\int 2x(x^2+1{)}^3\hspace{0.17em}dx$ を求もとめよ。

$t=x^2+1$ とおくと $dt=2x\hspace{0.17em}dx$。 よって $\int (x^2+1{)}^3\cdot 2x\hspace{0.17em}dx=\int t^3\hspace{0.17em}dt=\frac{t^4}{4}+C=\frac{(x^2+1{)}^4}{4}+C.$

検算けんざん: 答えこたえを微分びぶんすると $\frac{4(x^2+1{)}^3\cdot 2x}{4}=2x(x^2+1{)}^3$。 被ひ積分せきぶん関数かんすうにもどる。 正ただしい。

3. 部分ぶぶん積分せきぶん

$\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)\hspace{0.17em}dx.$

例題れいだい: $\int x{e}^x\hspace{0.17em}dx$ を求もとめよ。

$f=x, g^{\prime }=e^x$ とおくと $f^{\prime }=1, g=e^x$。 $\int x{e}^x\hspace{0.17em}dx=x{e}^x-\int 1\cdot e^x\hspace{0.17em}dx=x{e}^x-e^x+C=(x-1)e^x+C.$

検算けんざん: 微分びぶんすると $\left\{\right(x-1)e^x{\}}^{\prime }=1\cdot e^x+(x-1)e^x=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$。 もとにもどる。 正ただしい。

例題れいだい: $\int \log x\hspace{0.17em}dx$ を求もとめよ。

$f=\log x, g^{\prime }=1$ とみて $f^{\prime }=\frac{1}{x}, g=x$。 $\int \log x\hspace{0.17em}dx=x\log x-\int x\cdot \frac{1}{x}\hspace{0.17em}dx=x\log x-x+C.$

検算けんざん: 微分びぶんすると $\log x+x\cdot \frac{1}{x}-1=\log x+1-1=\log x$。 正ただしい。

4. 面積めんせきと体積たいせき

面積めんせき

例題れいだい: 曲線きょくせん$y=x^2$ と直線ちょくせん$y=x$ で囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせきを求もとめよ。

交点こうてんは $x^2=x$ より $x=0, 1$。 $0\le x\le 1$ では $x\ge x^2$(直線ちょくせんが上うえ)なので $S=\int 01(x-x^2)\hspace{0.17em}dx=[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}]01=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.$

検算けんざん: $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6}$。 正ただしい。

回転かいてん体たいの体積たいせき

$y=f\left(x\right)$ と $x$軸、 $x=a, x=b$ で囲かこまれた部分ぶぶんを $x$軸のまわりに1回転かいてんした立体りったいの体積たいせきは $V=\pi \int ab\left\{f\right(x){\}}^2\hspace{0.17em}dx.$

例題れいだい: $y=\sqrt{x} (0\le x\le 4)$ と $x$軸で囲かこまれた部分ぶぶんを $x$軸のまわりに回転かいてんした立体りったいの体積たいせきを求もとめよ。

$V=\pi \int 04(\sqrt{x}{)}^2\hspace{0.17em}dx=\pi \int 04x\hspace{0.17em}dx=\pi \left[\frac{x^2}{2}\right]04=\pi \cdot \frac{16}{2}=8\pi .$

検算けんざん: $\int 04x\hspace{0.17em}dx=\frac{16}{2}=8$。 $V=8\pi$。 正ただしい。

大事だいじ: 回転かいてん体たいでは 半径はんけいが $f\left(x\right)$、 円えんの断面だんめん積せきが $\pi \left\{f\right(x){\}}^2$ です。 2乗じょうを忘わすれて $\pi \int f\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$ としないよう注意ちゅういします。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは置換積分ちかんせきぶん・部分積分ぶぶんせきぶんの計算けいさんが直接ちょくせつ問とわれます。 $\int x{e}^{x}dx$、 $\int \log x\hspace{0.17em}dx$ は頻出ひんしゅつです。
• 二に次じでは 2 曲線きょくせんで囲かこまれた面積めんせきや、 回転体の体積かいてんたいのたいせきを定てい積分せきぶんで求もとめる問題もんだいが中心ちゅうしんです。
• 面積めんせきでは 「上うえの関数かんすう$-$下の関数かんすう」、 体積たいせきでは 2乗じょう を正確せいかくに立たつ式しきできるかがポイントです。

よくまちがえるところ

積分せきぶん法ほうIII は、 計算けいさんの型かたは決きまっているのに 手順てじゅんの一部いちぶを落おとして 失点しってんする単元たんげんです。

まちがい	例れい	直なおし方かた
置換積分ちかんせきぶんで積分せきぶん区間くかんを変かえ忘わすれる	∫(0 から 1) 2x(x²+1)³ dx で t = x²+1 と置おいたのに 0 から 1 のまま計算けいさんする	x = 0 で t = 1、 x = 1 で t = 2。 区間くかんは 1 から 2
部分積分ぶぶんせきぶんの第だい2項こうの符号ふごう	∫fg' dx = fg + ∫f'g dx と書かく	第だい2項こうは引ひく。 ∫fg' dx = fg - ∫f'g dx
不定ふてい積分せきぶんで積分せきぶん定数ていすうを落おとす	答えこたえを (x²+1)⁴/4 だけにする	不定ふてい積分せきぶんには必かならず + C を書かく
回転体の体積かいてんたいのたいせきで 2乗じょうを忘わすれる	V = π∫f(x) dx とする	断面だんめんは半径はんけい f(x) の円えん。 V = π∫{f(x)}² dx

いちばん多おおいのは 置換ちかんしたのに区間くかんを直なおさない ことです。 置換ちかん積分せきぶんでは、 x の世界せかいから t の世界せかいへ移うつったのに、 積分せきぶんの端はじだけが x のまま残のこってしまいます。 防ふせぎ方かたは 2 通とおりあります。 1 つは置おいた瞬間しゅんかんに 「x = a のとき t = ...」 と端はじの対応たいおうを書かいてしまう方法ほうほう、 もう 1 つは不定ふてい積分せきぶんとして計算けいさんしきってから t を x に戻もどし、 もとの区間くかんで代入だいにゅうする方法ほうほうです。 どちらかに決きめて、 いつも同おなじやり方かたで書かくとまちがえません。

置換ちかん積分せきぶんの手順てじゅん

順番じゅんばん	すること	例れい(∫(0 から 1) 2x(x²+1)³ dx)
1	置おきかえる式しきを決きめる	t = x² + 1
2	微分びぶんして dt と dx の関係かんけいを書かく	dt = 2x dx
3	積分せきぶん区間くかんを t に直なおす	x = 0 で t = 1、 x = 1 で t = 2
4	被ひ積分せきぶん関数かんすうをすべて t で書かく	∫(1 から 2) t³ dt
5	積分せきぶんして代入だいにゅうする	[t⁴/4](1 から 2) = 4 - 1/4 = 15/4
6	微分びぶんして検算けんざんする	(x²+1)⁴/4 を微分びぶんすると 2x(x²+1)³ に戻もどる

置おきかえる式しきは 「かたまりの内側うちがわ」 を選えらびます。 その微分びぶんが被ひ積分せきぶん関数かんすうの残のこりの部分ぶぶんに現あらわれていれば、 置換ちかんがうまくいく合図あいずです。 上うえの例れいでは (x²+1) の微分びぶんが 2x で、 それが式しきの中なかにそのままあります。

大事だいじ: 積分せきぶんの答えこたえは 微分びぶんして確たしかめる のがいちばん速はやい検算けんざんです。 不定ふてい積分せきぶんなら答えこたえを微分びぶんして被ひ積分せきぶん関数かんすうに戻もどるか、 定てい積分せきぶんなら原始げんし関数かんすうを微分びぶんして確たしかめてから代入だいにゅうします。 面積めんせきを求もとめたときは、 値あたいが正ただになっているかも見みましょう。 負ふが出でたら上下じょうげの関数かんすうを取とりちがえています。

自分じぶんでチェック

• 置換ちかん積分せきぶんで積分せきぶん区間くかんを t に直なおせる
• 部分ぶぶん積分せきぶんの第だい2項こうが引ひき算ざんだと言いえる
• 不定ふてい積分せきぶんに積分せきぶん定数ていすう C を書かける
• 回転かいてん体たいの体積たいせきを V = π∫{f(x)}² dx と立たつ式しきできる
• 積分せきぶんの答えこたえを微分びぶんして検算けんざんできる

まとめ

• 置換積分ちかんせきぶんは $t=g\left(x\right)$ とおき $dt=g^{\prime }\left(x\right)dx$
• 部分積分ぶぶんせきぶんは $\int f{g}^{\prime }=fg-\int f^{\prime }g$。 $\log x$ は $g^{\prime }=1$ とみる
• 面積めんせきは $\int (上-下)dx$、 回転かいてん体たいは $V=\pi \int \left\{f\right(x){\}}^{2}dx$

次章しょうでは、 媒介変数ばいかいへんすうや極座標きょくざひょうで表あらわされる曲線きょくせんを学まなびます。

※ 「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」 は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。