積分せきぶん法ほうIII — 置換ちかん積分せきぶん・部分ぶぶん積分せきぶん・面積めんせき・体積たいせき

この章しょうで学まなぶこと

数すうIII の積分せきぶんでは、 置換積分ちかんせきぶん・部分積分ぶぶんせきぶんという強力きょうりょくな道具どうぐを使つかい、 さらに面積めんせきや体積たいせきを求もとめます。

• 基本きほんの不定ふてい積分せきぶん($x^n$、 $\sin x$、 $e^x$、 $\frac{1}{x}$ など)
• 置換積分ちかんせきぶん法
• 部分積分ぶぶんせきぶん法
• 定てい積分せきぶんによる面積めんせき、 回転体の体積かいてんたいのたいせき

ポイント: 積分せきぶんは微分びぶんの逆ぎゃくです。 「微分びぶんすると被ひ積分せきぶん関数かんすうになる関数かんすう」 を探さがすのが基本きほん。 不定ふてい積分せきぶんには積分せきぶん定数ていすう$C$ を必かならず書かき、 定てい積分せきぶんでは $C$ は消きえます。

1. 基本きほんの不定ふてい積分せきぶん

$\int x^n\hspace{0.17em}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C (n\ne -1),\int \frac{1}{x}\hspace{0.17em}dx=\log \mid x\mid +C,$ $\int e^x\hspace{0.17em}dx=e^x+C,\int \sin x\hspace{0.17em}dx=-\cos x+C,\int \cos x\hspace{0.17em}dx=\sin x+C.$

2. 置換ちかん積分せきぶん

変数へんすうを $t$ に置おきかえて計算けいさんします。 $\int f\left(g\right(x\left)\right)g^{\prime }\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$ で $t=g\left(x\right)$ とおくと $dt=g^{\prime }\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$。

例題れいだい: $\int 2x(x^2+1{)}^3\hspace{0.17em}dx$ を求もとめよ。

$t=x^2+1$ とおくと $dt=2x\hspace{0.17em}dx$。 よって $\int (x^2+1{)}^3\cdot 2x\hspace{0.17em}dx=\int t^3\hspace{0.17em}dt=\frac{t^4}{4}+C=\frac{(x^2+1{)}^4}{4}+C.$

検算けんざん: 答えこたえを微分びぶんすると $\frac{4(x^2+1{)}^3\cdot 2x}{4}=2x(x^2+1{)}^3$。 被ひ積分せきぶん関数かんすうにもどる。 正ただしい。

3. 部分ぶぶん積分せきぶん

$\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)\hspace{0.17em}dx.$

例題れいだい: $\int x{e}^x\hspace{0.17em}dx$ を求もとめよ。

$f=x, g^{\prime }=e^x$ とおくと $f^{\prime }=1, g=e^x$。 $\int x{e}^x\hspace{0.17em}dx=x{e}^x-\int 1\cdot e^x\hspace{0.17em}dx=x{e}^x-e^x+C=(x-1)e^x+C.$

検算けんざん: 微分びぶんすると $\left\{\right(x-1)e^x{\}}^{\prime }=1\cdot e^x+(x-1)e^x=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$。 もとにもどる。 正ただしい。

例題れいだい: $\int \log x\hspace{0.17em}dx$ を求もとめよ。

$f=\log x, g^{\prime }=1$ とみて $f^{\prime }=\frac{1}{x}, g=x$。 $\int \log x\hspace{0.17em}dx=x\log x-\int x\cdot \frac{1}{x}\hspace{0.17em}dx=x\log x-x+C.$

検算けんざん: 微分びぶんすると $\log x+x\cdot \frac{1}{x}-1=\log x+1-1=\log x$。 正ただしい。

4. 面積めんせきと体積たいせき

面積めんせき

例題れいだい: 曲線きょくせん$y=x^2$ と直線ちょくせん$y=x$ で囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせきを求もとめよ。

交点こうてんは $x^2=x$ より $x=0, 1$。 $0\le x\le 1$ では $x\ge x^2$(直線ちょくせんが上うえ)なので $S=\int 01(x-x^2)\hspace{0.17em}dx=[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}]01=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.$

検算けんざん: $\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6}$。 正ただしい。

回転かいてん体たいの体積たいせき

$y=f\left(x\right)$ と $x$軸、 $x=a, x=b$ で囲かこまれた部分ぶぶんを $x$軸のまわりに1回転かいてんした立体りったいの体積たいせきは $V=\pi \int ab\left\{f\right(x){\}}^2\hspace{0.17em}dx.$

例題れいだい: $y=\sqrt{x} (0\le x\le 4)$ と $x$軸で囲かこまれた部分ぶぶんを $x$軸のまわりに回転かいてんした立体りったいの体積たいせきを求もとめよ。

$V=\pi \int 04(\sqrt{x}{)}^2\hspace{0.17em}dx=\pi \int 04x\hspace{0.17em}dx=\pi \left[\frac{x^2}{2}\right]04=\pi \cdot \frac{16}{2}=8\pi .$

検算けんざん: $\int 04x\hspace{0.17em}dx=\frac{16}{2}=8$。 $V=8\pi$。 正ただしい。

大事だいじ: 回転かいてん体たいでは 半径はんけいが $f\left(x\right)$、 円えんの断面だんめん積せきが $\pi \left\{f\right(x){\}}^2$ です。 2乗じょうを忘わすれて $\pi \int f\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$ としないよう注意ちゅういします。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは置換積分ちかんせきぶん・部分積分ぶぶんせきぶんの計算けいさんが直接ちょくせつ問とわれます。 $\int x{e}^{x}dx$、 $\int \log x\hspace{0.17em}dx$ は頻出ひんしゅつです。
• 二に次じでは 2 曲線きょくせんで囲かこまれた面積めんせきや、 回転体の体積かいてんたいのたいせきを定てい積分せきぶんで求もとめる問題もんだいが中心ちゅうしんです。
• 面積めんせきでは 「上うえの関数かんすう$-$下の関数かんすう」、 体積たいせきでは 2乗じょう を正確せいかくに立たつ式しきできるかがポイントです。

まとめ

• 置換積分ちかんせきぶんは $t=g\left(x\right)$ とおき $dt=g^{\prime }\left(x\right)dx$
• 部分積分ぶぶんせきぶんは $\int f{g}^{\prime }=fg-\int f^{\prime }g$。 $\log x$ は $g^{\prime }=1$ とみる
• 面積めんせきは $\int (上-下)dx$、 回転かいてん体たいは $V=\pi \int \left\{f\right(x){\}}^{2}dx$

次章しょうでは、 媒介変数ばいかいへんすうや極座標きょくざひょうで表あらわされる曲線きょくせんを学まなびます。

※ 「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」 は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にっぽん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。