微分びぶん法ほうIII — 各種かくしゅ関数かんすうの微分びぶん・増減ぞうげん・凹凸おうとつ・変へん曲きょく点てん

この章しょうで学まなぶこと

数すうIII の微分びぶんでは、 多項式たこうしき以外いがいの関数かんすうも微分びぶんできるようになります。 そして第だい2次じ導しるべ関数かんすうまで使つかい、 グラフの形かたち(凹凸おうとつ)まで調しらべます。

• 三角関数さんかくかんすう・指数関数しすうかんすう・対数関数の微分たいすうかんすうのびぶん公式こうしき
• 積せきの微分びぶん・商しょうの微分びぶん・合成関数の微分ごうせいかんすうのびぶん(連鎖律れんさりつ)
• 第だい1次じ導しるべ関数かんすうによる増減ぞうげん、 第だい2次じ導しるべ関数かんすうによる凹凸おうとつと変曲点へんきょくてん

ポイント: 微分びぶんの基本きほん公式こうしき$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$、 $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$、 $(e^x{)}^{\prime }=e^x$、 $(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ は確実かくじつに覚おぼえます。 ここを土台どだいに積せき・商しょう・合成ごうせいの公式こうしきを重かさねます。

1. 基本きほんの微分びぶん公式こうしき

関数かんすう	導しるべ関数かんすう
$x^n$	$n{x}^{n-1}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\frac{1}{{\cos }^{2}x}$
$e^x$	$e^x$
$\log x$	$\frac{1}{x}$

2. 積せき・商しょう・合成ごうせいの微分びぶん

積せきの微分びぶん

$\left\{f\right(x\left)g\right(x){\}}^{\prime }=f^{\prime }(x\left)g\right(x)+f(x\left)g^{\prime }\right(x).$

例題れいだい: $y=x^2{e}^x$ を微分びぶんせよ。

$y^{\prime }=(x^2{)}^{\prime }{e}^x+x^2(e^x{)}^{\prime }=2x{e}^x+x^2{e}^x=(x^2+2x)e^x.$

検算けんざん: $f=x^2, g=e^x$ とおくと $f^{\prime }=2x, g^{\prime }=e^x$。 公式こうしきどおり $2x{e}^x+x^2{e}^x$。 正ただしい。

商しょうの微分びぶん

${\left\{\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right\}}^{\prime }=\frac{f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)}{\left\{g\right(x){\}}^2}.$

例題れいだい: $y=\frac{x}{x^2+1}$ を微分びぶんせよ。

$y^{\prime }=\frac{1\cdot (x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1{)}^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}.$

検算けんざん: 分子ぶんしは $(x^2+1)-2x^2=1-x^2$。 符号ふごう・次数じすうとも合あう。 正ただしい。

合成ごうせい関数かんすうの微分びぶん(連鎖れんさ律りつ)

$\left\{f\right(g\left(x\right)){\}}^{\prime }=f^{\prime }(g\left(x\right))\cdot g^{\prime }(x).$

例題れいだい: $y=(3x^2+1{)}^4$ を微分びぶんせよ。

外側そとがわを $u^4$($u=3x^2+1$)とみると $\frac{dy}{du}=4u^3$、 $\frac{du}{dx}=6x$。 よって $y^{\prime }=4(3x^2+1{)}^3\cdot 6x=24x(3x^2+1{)}^3.$

検算けんざん: $x=1$ で $u=4$、 $y^{\prime }=4\cdot 64\cdot 6=1536$。 公式こうしきから $24\cdot 1\cdot 64=1536$(一致いっち)。 正ただしい。

例題れいだい: $y=\log (x^2+1)$ を微分びぶんせよ。

$y^{\prime }=\frac{1}{x^2+1}\cdot (x^2+1{)}^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}.$

3. 増減ぞうげん・凹凸おうとつ・変へん曲きょく点てん

• $f^{\prime }\left(x\right)>0$ の区間くかんで 増加ぞうか、 の区間くかんで 減少げんしょう
• $f^{\prime \prime }\left(x\right)>0$ の区間くかんで 下かに凸とつ、 の区間くかんで 上じょうに凸とつ
• $f^{\prime \prime }\left(x\right)$ の符号ふごうが変かわる点てんが 変曲点へんきょくてん

例題れいだい: $f\left(x\right)=x^3-3x$ の増減ぞうげんと極値きょくち、 変曲点へんきょくてんを調しらべよ。

$f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$。 $f^{\prime }\left(x\right)=0$ は $x=\pm 1$。

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	増まし	極大きょくだい$2$	減げん	極小きょくしょう$-2$	増まし

$f(-1)=-1+3=2$(極大きょくだい)、 $f\left(1\right)=1-3=-2$(極小きょくしょう)。 また $f^{\prime \prime }\left(x\right)=6x$ より $f^{\prime \prime }\left(x\right)=0$ は $x=0$ で、 ここで符号ふごうが負まけから正まさに変かわるので $(0, 0)$ が変曲点へんきょくてんです。

検算けんざん: $f\left(0\right)=0$。 (上じょうに凸とつ=極大きょくだい側がわ)、 $f^{\prime \prime }\left(1\right)=6>0$(下かに凸とつ=極小きょくしょう側がわ)。 つじつまが合あう。 正ただしい。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは $x^2{e}^x$ や $\frac{x}{x^2+1}$ のような積せき・商しょう・合成ごうせいを組み合わせくみあわせた微分びぶんが問とわれます。
• 二に次じでは増減ぞうげん表ひょうをつくり、 極値きょくち・変曲点へんきょくてん・グラフの概形がいけいをまとめて答こたえる問題もんだいが中心ちゅうしんです。
• 公式こうしきの暗記あんきだけでなく、 連鎖れんさ律りつで 「内側うちがわの微分びぶん」 をかけ忘わすれないことが大切たいせつです。

まとめ

• 基本きほん公式こうしき$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$、 $(e^x{)}^{\prime }=e^x$、 $(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ を土台どだいに
• 積せき・商しょう・連鎖律れんさりつで複雑ふくざつな関数かんすうも微分びぶんできる
• $f^{\prime }$ で増減ぞうげん、 $f^{\prime \prime }$ で凹凸おうとつと変曲点へんきょくてんを調しらべる

次じ章しょうでは、 微分びぶんの逆ぎゃくである 積分せきぶん を学まなびます。

※ 「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」 は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にっぽん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。