微分びぶん法ほうIII — 各種かくしゅ関数かんすうの微分びぶん・増減ぞうげん・凹凸おうとつ・変へん曲きょく点てん

この章しょうで学まなぶこと

数すうIII の微分びぶんでは、 多項式たこうしき以外いがいの関数かんすうも微分びぶんできるようになります。 そして第だい2次じ導どう関数かんすうまで使つかい、 グラフの形かたち(凹凸おうとつ)まで調しらべます。

• 三角関数さんかくかんすう・指数関数しすうかんすう・対数関数の微分たいすうかんすうのびぶん公式こうしき
• 積せきの微分びぶん・商しょうの微分びぶん・合成関数の微分ごうせいかんすうのびぶん(連鎖律れんさりつ)
• 第だい1次じ導どう関数かんすうによる増減ぞうげん、 第だい2次じ導どう関数かんすうによる凹凸おうとつと変曲点へんきょくてん

ポイント: 微分びぶんの基本きほん公式こうしき$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$、 $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$、 $(e^x{)}^{\prime }=e^x$、 $(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ は確実かくじつに覚おぼえます。 ここを土台どだいに積せき・商しょう・合成ごうせいの公式こうしきを重かさねます。

1. 基本きほんの微分びぶん公式こうしき

関数かんすう	導どう関数かんすう
$x^n$	$n{x}^{n-1}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\frac{1}{{\cos }^{2}x}$
$e^x$	$e^x$
$\log x$	$\frac{1}{x}$

2. 積せき・商しょう・合成ごうせいの微分びぶん

積せきの微分びぶん

$\left\{f\right(x\left)g\right(x){\}}^{\prime }=f^{\prime }(x\left)g\right(x)+f(x\left)g^{\prime }\right(x).$

例題れいだい: $y=x^2{e}^x$ を微分びぶんせよ。

$y^{\prime }=(x^2{)}^{\prime }{e}^x+x^2(e^x{)}^{\prime }=2x{e}^x+x^2{e}^x=(x^2+2x)e^x.$

検算けんざん: $f=x^2, g=e^x$ とおくと $f^{\prime }=2x, g^{\prime }=e^x$。 公式こうしきどおり $2x{e}^x+x^2{e}^x$。 正ただしい。

商しょうの微分びぶん

${\left\{\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right\}}^{\prime }=\frac{f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)}{\left\{g\right(x){\}}^2}.$

例題れいだい: $y=\frac{x}{x^2+1}$ を微分びぶんせよ。

$y^{\prime }=\frac{1\cdot (x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1{)}^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}.$

検算けんざん: 分子ぶんしは $(x^2+1)-2x^2=1-x^2$。 符号ふごう・次数じすうとも合あう。 正ただしい。

合成ごうせい関数かんすうの微分びぶん(連鎖れんさ律りつ)

$\left\{f\right(g\left(x\right)){\}}^{\prime }=f^{\prime }(g\left(x\right))\cdot g^{\prime }(x).$

例題れいだい: $y=(3x^2+1{)}^4$ を微分びぶんせよ。

外側そとがわを $u^4$($u=3x^2+1$)とみると $\frac{dy}{du}=4u^3$、 $\frac{du}{dx}=6x$。 よって $y^{\prime }=4(3x^2+1{)}^3\cdot 6x=24x(3x^2+1{)}^3.$

検算けんざん: $x=1$ で $u=4$、 $y^{\prime }=4\cdot 64\cdot 6=1536$。 公式こうしきから $24\cdot 1\cdot 64=1536$(一致いっち)。 正ただしい。

例題れいだい: $y=\log (x^2+1)$ を微分びぶんせよ。

$y^{\prime }=\frac{1}{x^2+1}\cdot (x^2+1{)}^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}.$

3. 増減ぞうげん・凹凸おうとつ・変へん曲きょく点てん

• $f^{\prime }\left(x\right)>0$ の区間くかんで 増加ぞうか、 の区間くかんで 減少げんしょう
• $f^{\prime \prime }\left(x\right)>0$ の区間くかんで 下かに凸とつ、 の区間くかんで 上じょうに凸とつ
• $f^{\prime \prime }\left(x\right)$ の符号ふごうが変かわる点てんが 変曲点へんきょくてん

例題れいだい: $f\left(x\right)=x^3-3x$ の増減ぞうげんと極値きょくち、 変曲点へんきょくてんを調しらべよ。

$f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$。 $f^{\prime }\left(x\right)=0$ は $x=\pm 1$。

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	増まし	極大きょくだい$2$	減げん	極小きょくしょう$-2$	増まし

$f(-1)=-1+3=2$(極大きょくだい)、 $f\left(1\right)=1-3=-2$(極小きょくしょう)。 また $f^{\prime \prime }\left(x\right)=6x$ より $f^{\prime \prime }\left(x\right)=0$ は $x=0$ で、 ここで符号ふごうが負ふから正せいに変かわるので $(0, 0)$ が変曲点へんきょくてんです。

検算けんざん: $f\left(0\right)=0$。 (上じょうに凸とつ=極大きょくだい側がわ)、 $f^{\prime \prime }\left(1\right)=6>0$(下かに凸とつ=極小きょくしょう側がわ)。 つじつまが合あう。 正ただしい。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは $x^2{e}^x$ や $\frac{x}{x^2+1}$ のような積せき・商しょう・合成ごうせいを組み合わせくみあわせた微分びぶんが問とわれます。
• 二に次じでは増減ぞうげん表ひょうをつくり、 極値きょくち・変曲点へんきょくてん・グラフの概形がいけいをまとめて答こたえる問題もんだいが中心ちゅうしんです。
• 公式こうしきの暗記あんきだけでなく、 連鎖れんさ律りつで 「内側うちがわの微分びぶん」 をかけ忘わすれないことが大切たいせつです。

よくまちがえるところ

微分びぶん法ほうIII では、 公式こうしきそのものより 公式こうしきの組み合わせくみあわせ と 第だい2次じ導どう関数かんすうの読よみ方かた でまちがえます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
連鎖律れんさりつで内側うちがわの微分びぶんをかけ忘わすれる	(3x² + 1)^4 の導どう関数かんすうを 4(3x² + 1)³ で止とめる	内側うちがわの導どう関数かんすう 6x をかけて 24x(3x² + 1)³
商しょうの微分びぶんで分子ぶんしの符号ふごうを逆ぎゃくにする	分子ぶんしを f'g + fg' と書かく	分子ぶんしは f'g - fg'。 引ひく順序じゅんじょも固定こてい
f'' の符号ふごうを増減ぞうげんと読よむ	f'' が正せいだから増加ぞうかと答こたえる	f'' は凹凸おうとつ。 正せいなら下したに凸とつ
f'' = 0 を即変曲点へんきょくてんとする	f(x) = x⁴ で x = 0 を変へん曲きょく点てんとする	f'' の符号ふごうが変かわることまで確たしかめる

いちばん多おおいのは 連鎖れんさ律りつのかけ忘わすれ です。 対策たいさくは、 微分びぶんするときに 「外側そとがわを微分びぶん」 「内側うちがわを微分びぶん」 と声こえに出だして 2 段階だんかいで書かくこと。 たとえば log(x² + 1) なら、 外側そとがわの log の微分びぶんで 1/(x² + 1)、 内側うちがわの x² + 1 の微分びぶんで 2x、 かけて 2x/(x² + 1) です。 検算けんざんは x に具体ぐたい的てきな値あたいを入いれて、 定義ていぎに近ちかい差さの商しょう (f(x + 0.001) - f(x))/0.001 と比くらべると確実かくじつです。

最後さいごの行くだりも見みのがせません。 f(x) = x⁴ では f''(x) = 12x² で、 x = 0 のとき 0 になりますが、 前後ぜんごどちらでも f'' は正せいのままです。 凹凸おうとつが変かわらないので変へん曲きょく点てんではありません。 f'' = 0 は候補こうほにすぎない と覚おぼえてください。

増減ぞうげん表ひょうをつくる手順てじゅん

グラフの概形がいけいは、 次つぎの順じゅんに埋うめれば必かならず作つくれます。

順番じゅんばん	すること	確たしかめること
1	定義ていぎ域いきを書かき出だす	分母ぶんぼが 0、 根号こんごうの中なかが負ふになる x を外はずす
2	f' を求もとめて f' = 0 を解とく	因数いんすう分解ぶんかいして符号ふごうの変かわり目めを出だす
3	f'' を求もとめて f'' = 0 を解とく	凹凸おうとつの変かわり目めの候補こうほ
4	数かず直線ちょくせんに区切くぎりを並ならべ、 各かく区間くかんで f' と f'' の符号ふごうを書かく	区間くかんの代表だいひょう値ちを代入だいにゅうして符号ふごうを決きめる
5	極値きょくちと変へん曲きょく点てんの座標ざひょうを計算けいさんする	f'' の符号ふごうが実際じっさいに変かわったかを見みる
6	端点たんてんや漸近線ぜんきんせんを調しらべる	定義ていぎ域いきの端はじでの極限きょくげんをとる

f(x) = x³ - 3x なら、 f'(x) = 3(x - 1)(x + 1) より x = ±1 が極きょく値ちの候補こうほ、 f''(x) = 6x より x = 0 が変へん曲きょく点てんの候補こうほです。 x = 0 の前後ぜんごで f'' は負ふから正ただに変かわるので、 (0, 0) は変へん曲きょく点てんだと確定かくていします。

ポイント: 極大きょくだい・極小きょくしょうの判定はんていは、 f' の符号ふごうの変化へんかで行おこなうのが基本きほんです。 第だい2次じ導どう関数かんすうを使つかう判定はんてい(f' = 0 で f'' が負ふなら極大きょくだい、 正せいなら極小きょくしょう)も使つかえますが、 f'' = 0 になる点てんでは判定はんていできません。 迷まよったら増減ぞうげん表ひょうに戻もどりましょう。

自分じぶんでチェック

• 合成ごうせい関数かんすうの微分びぶんで内側うちがわの導どう関数かんすうをかけられる
• 商しょうの微分びぶんの分子ぶんしを f'g - fg' と正ただしく書かける
• f' は増減ぞうげん、 f'' は凹凸おうとつを表あらわすと言いい分わけられる
• f'' = 0 だけでは変へん曲きょく点てんと決きまらない理由りゆうを説明せつめいできる
• 増減ぞうげん表ひょうを定義ていぎ域いき・f'・f'' の順じゅんに埋うめられる

まとめ

• 基本きほん公式こうしき$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$、 $(e^x{)}^{\prime }=e^x$、 $(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ を土台どだいに
• 積せき・商しょう・連鎖律れんさりつで複雑ふくざつな関数かんすうも微分びぶんできる
• $f^{\prime }$ で増減ぞうげん、 $f^{\prime \prime }$ で凹凸おうとつと変曲点へんきょくてんを調しらべる

次じ章しょうでは、 微分びぶんの逆ぎゃくである 積分せきぶん を学まなびます。

※ 「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」 は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。