複素数ふくそすう平面へいめん — 極ごく形式けいしき・ド・モアブルの定理ていり β版

この章しょうで学まなぶこと

複素数ふくそすう$z=a+bi$ を、 座標ざひょう平面へいめん上じょうの点$(a, b)$ と対応たいおうさせたものが複素数平面ふくそすうへいめん(ガウス平面へいめん)です。 図形ずけいと計算けいさんが結むすびつく分野ぶんやです。

• 複素数ふくそすうの絶対値ぜったいち $\mid z\mid$ と偏角へんかく $\arg z$
• 極形式きょくけいしき $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$
• 積せき・商しょうの図形ずけい的てき意味いみ(回転かいてんと拡大かくだい)
• ド・モアブルの定理どもあぶるのていりとべき乗じょう・$n$乗根じょうこん

ポイント: 複素数ふくそすうの 積せきは回転かいてんと拡大かくだい を表あらわします。 $z$ に $\cos \theta +i\sin \theta$ をかけると、 原点げんてんを中心ちゅうしんに $\theta$ だけ回転かいてんします。

1. 絶対ぜったい値ちと偏へん角かく

$z=a+bi$ について、 $\mid z\mid =\sqrt{a^2+b^2},\arg z=\theta (\tan \theta =\frac{b}{a}).$

例題れいだい: $z=1+\sqrt{3}\hspace{0.17em}i$ の絶対値ぜったいちと偏角へんかくを求もとめよ。

$\mid z\mid =\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.$ $\cos \theta =\frac{1}{2}, \sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ より $\theta =\frac{\pi }{3}$。

検算けんざん: $r\cos \theta =2\cdot \frac{1}{2}=1$、 $r\sin \theta =2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。 $z=1+\sqrt{3}\hspace{0.17em}i$ に一致いっち。 正ただしい。

2. 極ごく形式けいしき

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta ),r=\mid z\mid , \theta =\arg z.$

2つの複素数ふくそすう$z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$、 $z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$ について、 $z_1{z}_2=r_1{r}_2(\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2\left)\right).$ すなわち 絶対ぜったい値ちは積せき、 偏へん角かくは和わ になります。 商しょうでは絶対ぜったい値ちは商しょう、 偏へん角かくは差さです。

例題れいだい: $z=1+\sqrt{3}\hspace{0.17em}i$ に $i$ をかけると、 点てんはどこへ移うつるか。

$i=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$ なので、 $iz$ は $z$ を原点げんてん中心ちゅうしんに $\frac{\pi }{2}$回転かいてんした点てんです。 $iz=i(1+\sqrt{3}\hspace{0.17em}i)=i+\sqrt{3}\hspace{0.17em}{i}^2=-\sqrt{3}+i.$ 点$(1, \sqrt{3})$ が $(-\sqrt{3}, 1)$ へ移うつります。

検算けんざん: $\mid iz\mid =\sqrt{3+1}=2=\mid z\mid$(大おおきさは不変ふへん)。 偏へん角かくは $\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{6}$。 点$(-\sqrt{3}, 1)$ の偏へん角かくは確たしかに $\frac{5\pi }{6}$。 正ただしい。

3. ド・モアブルの定理ていり

$\left\{r\right(\cos \theta +i\sin \theta ){\}}^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta \left)\right(n は整数).$

例題れいだい: $(1+\sqrt{3}\hspace{0.17em}i{)}^4$ を計算けいさんせよ。

$1+\sqrt{3}\hspace{0.17em}i=2(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3})$ なので、 ド・モアブルの定理どもあぶるのていりより $(1+\sqrt{3}\hspace{0.17em}i{)}^4=2^4(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3})=16(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)=-8-8\sqrt{3}\hspace{0.17em}i.$

検算けんざん: $(1+\sqrt{3}i{)}^2=1+2\sqrt{3}i+3i^2=1+2\sqrt{3}i-3=-2+2\sqrt{3}i$。 これを2乗じょうすると $(-2{)}^2+2\cdot (-2\left)\right(2\sqrt{3}i)+(2\sqrt{3}i{)}^2=4-8\sqrt{3}i+12i^2=4-8\sqrt{3}i-12=-8-8\sqrt{3}i$。 一致いっち。 正ただしい。

大事だいじ: $n$乗根じょうこんを求もとめるときは、 $z^n=w$ の右辺うへん$w$ を極ごく形式けいしきにし、 偏へん角かくに $2k\pi$($k=0, 1, \dots , n-1$)を加くわえてから $n$ で割わります。 $n$個の解かいが単位たんい円えん(を $r^{1/n}$倍した円えん)上じょうに等間隔とうかんかくに並ならびます。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは極形式きょくけいしきへの変換へんかん、 ド・モアブルの定理どもあぶるのていりによるべき乗じょう計算けいさんが問とわれます。
• 二に次じでは複素数ふくそすうの積せき・商しょうを 回転かいてんと拡大かくだい として図形ずけい的てきに扱あつかう問題もんだいや、 方程式ほうていしき$z^n=1$ の解かい(1 の $n$乗根じょうこん)が出でます。
• 偏へん角かくの和わ・差さの扱あつかいと、 $i^2=-1$ の計算けいさんミスに注意ちゅういします。

よくまちがえるところ

複素数平面ふくそすうへいめんでは、 極ごく形式けいしきに直なおさずに力ちからずくで計算けいさんしようとして手間取てまどるか、 偏へん角かくの扱あつかいを取とりちがえるかのどちらかです。

まちがい	例れい	直なおし方かた
積せきの偏へん角かくを足たさずにかける	z1 z2 の偏へん角かくを θ1 × θ2 とする	絶対値ぜったいちは積せき、 偏角へんかくは和わ
i の 2乗じょうの符号ふごうを落おとす	(1 + √3 i)² を 1 + 2√3 i + 3 とする	i² = -1 なので 1 + 2√3 i - 3 = -2 + 2√3 i
極ごく形式けいしきに直なおさずにべき乗じょうする	(1 + √3 i)⁴ を成分せいぶんだけ 4倍ばいする	まず r = 2、 θ = π/3 を出だしてド・モアブルの定理どもあぶるのていり
n乗根じょうこんの解かいを 1 つしか出ださない	z³ = 1 の解かいを z = 1 だけとする	偏へん角かくに 2kπ を加くわえ、 k = 0, 1, ..., n-1 で n 個こ

いちばん多おおいのは n乗根じょうこんの解かいの個数こすう です。 z^n = w を解とくとき、 w の偏へん角かくは θ だけでなく θ + 2π、 θ + 4π、 ... とも書かけます。 これを n で割われると、 (θ + 2kπ)/n が k = 0 から n-1 まで n 通とおり出でてきます。 k = n にすると最初さいしょの解かいに戻もどるので、 ちょうど n 個こです。 解かいはすべて同おなじ大おおきさなので、 半径はんけいが r の n乗根じょうこんである円えんのうえに 等間隔とうかんかくに並ならびます。 図ずをかいて 「n 個こが円周えんしゅうを n 等分とうぶんしている」 と確たしかめるのが最良さいりょうの検算けんざんです。

極ごく形式けいしきにする手順てじゅん

順番じゅんばん	すること	例れい(z = 1 + √3 i)
1	絶対ぜったい値ち r を求もとめる	r = √(1² + (√3)²) = √4 = 2
2	実部じつぶと虚部きょぶを r で割われる	cosθ = 1/2、 sinθ = √3/2
3	象限しょうげんを見みて θ を決きめる	第だい1象限しょうげんなので θ = π/3
4	極ごく形式けいしきに書かく	z = 2(cos(π/3) + i sin(π/3))
5	展開てんかいして元もとに戻もどるか検算けんざんする	2 × 1/2 = 1、 2 × √3/2 = √3。 一致いっち

積せき・商しょう・べき乗じょうが、 極ごく形式けいしきにすると次つぎのように整理せいりされます。

演算えんざん	絶対ぜったい値ち	偏へん角かく
z1 z2	r1 r2(積せき)	θ1 + θ2(和わ)
z1 を z2 で割われる	r1 を r2 で割われる(商しょう)	θ1 - θ2(差さ)
z の n乗じょう	r の n乗じょう	nθ

ポイント: 複素数ふくそすうをかけることは 「回転かいてんと拡大かくだい」 です。 とくに i をかけると絶対ぜったい値ちは変かわらず、 偏へん角かくだけが π/2 増ふえます。 つまり点てんが原点げんてんまわりに 90 度ど回まわります。 計算けいさん結果けっかが出でたら、 図ずのうえで回転かいてんの向むきと大おおきさが合あっているかを見みると、 符号ふごうミスにすぐ気きづけます。

自分じぶんでチェック

• 積せきでは絶対ぜったい値ちをかけ、 偏へん角かくを足たすと言いえる
• i² = -1 を落おとさずに展開てんかいできる
• 与あたえられた複素数ふくそすうを r と θ の極きょく形式けいしきに直なおせる
• ド・モアブルの定理ていりでべき乗じょうを計算けいさんできる
• z^n = w の解かいが n 個こあり円周えんしゅうを n 等分とうぶんすると説明せつめいできる

まとめ

• $\mid z\mid =\sqrt{a^2+b^2}$、 極形式きょくけいしき $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$
• 積せきは絶対ぜったい値ちの積せき・偏へん角かくの和わ(= 回転かいてんと拡大かくだい)
• ド・モアブルの定理どもあぶるのていり $\left\{r\right(\cos \theta +i\sin \theta ){\}}^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )$

次章しょうでは、 数かず検けん固有こゆうの発展はってん範囲はんいである 行列ぎょうれつと一いち次じ変換へんかん を学まなびます。

※ 「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」 は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。