数検1級

多変数の微積分 — 偏微分・全微分・重積分・極値

最終確認日: 2026年6月17日

この章で学ぶこと

2変数以上の関数の微分・積分を学びます。偏微分・全微分から重積分、極値判定まで、大学の多変数微積分の中核です。

偏微分と高階偏導関数
全微分と合成関数の連鎖律
重積分(累次積分・積分順序の変更)
多変数関数の極値(ヘッセ行列による判定)

ポイント: 偏微分は「他の変数を定数とみて1変数で微分」するだけです。多変数では「どの変数で微分するか」を意識すること。極値判定は1変数の2階微分判定の自然な拡張(ヘッセ行列)になります。

1. 偏微分

$z = f (x, y)$ について、 $y$ を定数とみて $x$ で微分したものを $x$ に関する偏導関数といい、 $\frac{\partial f}{\partial x}$ または $f_{x}$ と書きます。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h, y) - f (x, y)}{h}$

例題: $f (x, y) = x^{2} y + \sin (x y)$ の偏導関数 $f_{x}, f_{y}$ を求めよ。

$x$ で微分( $y$ は定数):

$f_{x} = 2 x y + y \cos (x y)$

$y$ で微分( $x$ は定数):

$f_{y} = x^{2} + x \cos (x y)$

検算: 2階の混合偏微分を比べる。 $f_{x y} = \frac{\partial}{\partial y} (2 x y + y \cos (x y)) = 2 x + \cos (x y) - x y \sin (x y)$ 、 $f_{y x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} + x \cos (x y)) = 2 x + \cos (x y) - x y \sin (x y)$ 。 $f_{x y} = f_{y x}$ (連続なら一致するというシュワルツの定理)と整合する。

2. 全微分と連鎖律

$z = f (x, y)$ が微分可能なとき、全微分は

$d z = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y$

$x = x (t), y = y (t)$ で $z$ が $t$ の関数になるときの連鎖律は

$\frac{d z}{d t} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}$

例題: $z = x^{2} + y^{2}$ 、 $x = \cos t, y = \sin t$ のとき $\frac{d z}{d t}$ を求めよ。

$\frac{d z}{d t} = 2 x \cdot (- \sin t) + 2 y \cdot \cos t = - 2 \cos t \sin t + 2 \sin t \cos t = 0$

検算: $z = \cos^{2} t + \sin^{2} t = 1$ (定数)なので $\frac{d z}{d t} = 0$ 。一致する。

3. 重積分

長方形領域 $D = [a, b] \times [c, d]$ 上の重積分は、フビニの定理により累次積分で計算できます。

$\iint_{D} f (x, y) d x d y = \int a b (\int c d f (x, y) d y) d x$

例題: $\iint_{D} x y d x d y$ を $D = [0, 1] \times [0, 2]$ で求めよ。

$\int 01 (\int 02 x y d y) d x = \int 01 x [\frac{y^{2}}{2}] 02 d x = \int 01 x \cdot 2 d x = [x^{2}] 01 = 1$

検算: 積分順序を入れ替える。 $\int 02 (\int 01 x y d x) d y = \int 02 y \cdot \frac{1}{2} d y = \frac{1}{2} [\frac{y^{2}}{2}] 02 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ 。同じ値。正しい。

例題(変数分離できる場合): $\iint_{D} x^{2} y d x d y$ を $D = [0, 1] \times [0, 3]$ で求めよ。

被積分関数が $x$ の関数と $y$ の関数の積なので、積分も積に分かれる。

$(\int 01 x^{2} d x) (\int 03 y d y) = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{2} = \frac{3}{2}$

検算: $\int 01 x^{2} d x = \frac{1}{3}$ 、 $\int 03 y d y = \frac{9}{2}$ 、積 $\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{2} = \frac{3}{2}$ 。正しい。

大事: 三角形などの一般領域では積分の上限・下限に変数が入ります。たとえば $0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x$ の領域なら $\int 01 \int 0 x f d y d x$ 。積分順序を変えると上下限も変わるので、領域の図を描いて確認しましょう。

4. 多変数関数の極値

$f (x, y)$ の極値の候補は停留点( $f_{x} = 0$ かつ $f_{y} = 0$ )です。停留点での極値判定はヘッセ行列

$H = (f_{x x} f_{x y} f_{y x} f_{y y})$

の判別式 $D = f_{x x} f_{y y} - (f_{x y})^{2}$ で行います。

条件	判定
$D > 0$ かつ $f_{x x} > 0$	極小
$D > 0$ かつ $f_{x x} < 0$	極大
$D < 0$	鞍点(極値でない)
$D = 0$	判定不能

例題: $f (x, y) = x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 13$ の極値を求めよ。

停留点: $f_{x} = 2 x - 4 = 0$ より $x = 2$ 、 $f_{y} = 2 y - 6 = 0$ より $y = 3$ 。停留点は $(2, 3)$ 。

2階偏微分: $f_{x x} = 2, f_{y y} = 2, f_{x y} = 0$ 。判別式 $D = 2 \cdot 2 - 0^{2} = 4 > 0$ かつ $f_{x x} = 2 > 0$ なので極小。

$f (2, 3) = 4 + 9 - 8 - 18 + 13 = 0$

極小値は $0$ 。

検算: $f (x, y) = (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (13 - 4 - 9) = (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2}$ と平方完成できる。これは $(2, 3)$ で最小値 $0$ をとる。一致する。

どう問われるか

一次では「指定された関数の偏導関数」「重積分の値」を求める計算が頻出。
二次では「ヘッセ行列を用いた極値判定」「積分順序を変更して重積分を計算」「ラグランジュの未定乗数法による条件付き極値」など、多変数特有の応用が問われます。

よくまちがえるところ

多変数では、1変数の感覚をそのまま持ち込むことが誤りのもとになります。

まちがい	例	直し方
偏微分と全微分を混同する	dz を (∂f/∂x) dx だけで書く	dz = (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy。両方の寄与を足す
偏微分のとき他の変数まで動かす	f = x²y の f_x を 2xy + x² とする	y は定数扱い。f_x = 2xy、f_y = x²
ヘッセ行列の判定条件を半分だけ使う	判別式 D が正だから極小と決める	D が正かつ f_xx が正で極小、f_xx が負で極大
判別式が負のときを判定不能とする	D が負の停留点を極値に数える	D が負なら鞍点(極値でない)。判定不能は D = 0 のとき

いちばん多いのは極値判定の条件を半分しか見ないことです。判別式 D = f_xx f_yy - (f_xy)² は「そこが極値かどうか」しか教えてくれず、極大か極小かは f_xx(または f_yy)の符号で決まります。D が正のとき f_xx と f_yy は同符号になるので、どちらを見ても同じ結論になります。順序としては、まず停留点(f_x = 0 かつ f_y = 0)を求め、次に D の符号で「極値か鞍点か」、最後に f_xx の符号で「極大か極小か」と3段階で決める、と決めておくと取りちがえません。

積分順序の変更も要注意です。0 ≦ x ≦ 1、0 ≦ y ≦ x の三角形領域を y から先に積むと ∫(0 から 1) ∫(0 から x) の形ですが、順序を変えると ∫(0 から 1) ∫(y から 1) dx dy になります。上下限をそのまま入れかえるのは誤りで、必ず領域の図を描き直してください。

極値判定の手順

順番	すること	確かめること
1	f_x と f_y を計算する	他の変数を定数として扱えているか
2	f_x = 0 かつ f_y = 0 を解く	停留点をすべて求める(複数あることが多い)
3	f_xx、f_yy、f_xy を計算する	f_xy = f_yx になっているか(連続なら一致する)
4	各停留点で D = f_xx f_yy - (f_xy)² を求める	符号を見る
5	D が正なら f_xx の符号で極大・極小を決める	D が負なら鞍点、D = 0 なら別の方法が要る
6	極値の値 f(a, b) を計算する	平方完成や具体値の代入で確かめる

判定の対応をまとめます。

判別式 D	f_xx	判定
正	正	極小
正	負	極大
負	問わない	鞍点(極値でない)
0	問わない	この判定法では決まらない

大事: 混合偏微分 f_xy と f_yx は、2階偏導関数が連続であれば一致します(シュワルツの定理)。これは強力な検算になります。f = x²y + sin(xy) なら f_xy も f_yx も 2x + cos(xy) - xy sin(xy) となり、一致することで両方の計算が同時に確かめられます。