多変数の微積分 — 偏微分・全微分・重積分・極値

この章で学ぶこと

2変数以上の関数の微分・積分を学びます。偏微分・全微分から重積分、極値判定まで、大学の多変数微積分の中核です。

• 偏微分と高階偏導関数
• 全微分と合成関数の連鎖律
• 重積分(累次積分・積分順序の変更)
• 多変数関数の極値(ヘッセ行列による判定)

ポイント: 偏微分は「他の変数を定数とみて1変数で微分」するだけです。多変数では「どの変数で微分するか」を意識すること。極値判定は1変数の2階微分判定の自然な拡張(ヘッセ行列)になります。

1. 偏微分

$z=f(x,y)$ について、$y$ を定数とみて $x$ で微分したものを $x$ に関する偏導関数といい、$\frac{\partial f}{\partial x}$ または $f_x$ と書きます。

$\frac{\partial f}{\partial x}={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$

例題: $f(x,y)=x^{2}y+\sin \left(xy\right)$ の偏導関数 $f_x, f_y$ を求めよ。

$x$ で微分($y$ は定数):

$f_x=2xy+y\cos \left(xy\right)$

$y$ で微分($x$ は定数):

$f_y=x^2+x\cos \left(xy\right)$

検算: 2階の混合偏微分を比べる。$f_{xy}=\frac{\partial }{\partial y}(2xy+y\cos (xy\left)\right)=2x+\cos \left(xy\right)-xy\sin \left(xy\right)$、$f_{yx}=\frac{\partial }{\partial x}(x^2+x\cos (xy\left)\right)=2x+\cos \left(xy\right)-xy\sin \left(xy\right)$。$f_{xy}=f_{yx}$(連続なら一致するというシュワルツの定理)と整合する。

2. 全微分と連鎖律

$z=f(x,y)$ が微分可能なとき、全微分は

$dz=\frac{\partial f}{\partial x}\hspace{0.17em}dx+\frac{\partial f}{\partial y}\hspace{0.17em}dy$

$x=x\left(t\right), y=y\left(t\right)$ で $z$ が $t$ の関数になるときの連鎖律は

$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

例題: $z=x^2+y^2$、$x=\cos t, y=\sin t$ のとき $\frac{dz}{dt}$ を求めよ。

$\frac{dz}{dt}=2x\cdot (-\sin t)+2y\cdot \cos t=-2\cos t\sin t+2\sin t\cos t=0$

検算: $z={\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$(定数)なので $\frac{dz}{dt}=0$。一致する。

3. 重積分

長方形領域 $D=[a,b]\times [c,d]$ 上の重積分は、フビニの定理により累次積分で計算できます。

${\iint }_{D}f(x,y)\hspace{0.17em}dx\hspace{0.17em}dy=\int ab(\int cdf(x,y\left)\hspace{0.17em}dy\right)dx$

例題: ${\iint }_{D}xy\hspace{0.17em}dx\hspace{0.17em}dy$ を $D=[0,1]\times [0,2]$ で求めよ。

$\int 01(\int 02xy\hspace{0.17em}dy)dx=\int 01x\left[\frac{y^2}{2}\right]02dx=\int 01x\cdot 2\hspace{0.17em}dx=\left[x^2\right]01=1$

検算: 積分順序を入れ替える。$\int 02(\int 01xy\hspace{0.17em}dx)dy=\int 02y\cdot \frac{1}{2}\hspace{0.17em}dy=\frac{1}{2}\left[\frac{y^2}{2}\right]02=\frac{1}{2}\cdot 2=1$。同じ値。正しい。

例題(変数分離できる場合): ${\iint }_D{x}^{2}y\hspace{0.17em}dx\hspace{0.17em}dy$ を $D=[0,1]\times [0,3]$ で求めよ。

被積分関数が $x$ の関数と $y$ の関数の積なので、積分も積に分かれる。

$(\int 01x^2\hspace{0.17em}dx)(\int 03y\hspace{0.17em}dy)=\frac{1}{3}\cdot \frac{9}{2}=\frac{3}{2}$

検算: $\int 01x^{2}dx=\frac{1}{3}$、$\int 03y\hspace{0.17em}dy=\frac{9}{2}$、積 $\frac{1}{3}\cdot \frac{9}{2}=\frac{3}{2}$。正しい。

大事: 三角形などの一般領域では積分の上限・下限に変数が入ります。たとえば $0\le x\le 1, 0\le y\le x$ の領域なら $\int 01\int 0xf\hspace{0.17em}dy\hspace{0.17em}dx$。積分順序を変えると上下限も変わるので、領域の図を描いて確認しましょう。

4. 多変数関数の極値

$f(x,y)$ の極値の候補は停留点($f_x=0$ かつ $f_y=0$)です。停留点での極値判定はヘッセ行列

の判別式 $D=f_{xx}{f}_{yy}-(f_{xy}{)}^2$ で行います。

条件	判定
$D>0$ かつ $f_{xx}>0$	極小
$D>0$ かつ	極大
	鞍点(極値でない)
$D=0$	判定不能

例題: $f(x,y)=x^2+y^2-4x-6y+13$ の極値を求めよ。

停留点: $f_x=2x-4=0$ より $x=2$、$f_y=2y-6=0$ より $y=3$。停留点は $(2,3)$。

2階偏微分: $f_{xx}=2, f_{yy}=2, f_{xy}=0$。判別式 $D=2\cdot 2-0^2=4>0$ かつ $f_{xx}=2>0$ なので極小。

$f(2,3)=4+9-8-18+13=0$

極小値は $0$。

検算: $f(x,y)=(x-2{)}^2+(y-3{)}^2+(13-4-9)=(x-2{)}^2+(y-3{)}^2$ と平方完成できる。これは $(2,3)$ で最小値 $0$ をとる。一致する。

どう問われるか

• 一次では「指定された関数の偏導関数」「重積分の値」を求める計算が頻出。
• 二次では「ヘッセ行列を用いた極値判定」「積分順序を変更して重積分を計算」「ラグランジュの未定乗数法による条件付き極値」など、多変数特有の応用が問われます。

まとめ

• 偏微分は「他の変数を定数とみて1変数微分」
• 全微分 $dz=f_{x}dx+f_{y}dy$、連鎖律で $t$ 微分
• 重積分は累次積分(フビニの定理)、積分順序の変更で検算
• 極値はヘッセ行列の判別式 $D=f_{xx}{f}_{yy}-fxy2$ で判定

次章では、複素数を変数とする関数を扱う複素解析(正則関数・コーシーの定理・留数)を学びます。