複素解析 一問一答

この一問一答で出る問題

全11問。答えと解説は「スタート」を押すと1問ずつ表示されます。

1. オイラーの公式 e^(iθ) = cos θ + i sin θ より、e^(iπ) の値はどれですか。
   • ・-1
   • ・1
   • ・i
   • ・0
2. 複素数 z = 1 + i の絶対値 |z| はどれですか。
   • ・1
   • ・2
   • ・√2
   • ・√3
3. 複素関数 f(z) = u(x, y) + i v(x, y) が正則であるための必要条件(コーシー・リーマンの方程式)はどれですか。
   • ・∂u/∂x = -∂v/∂y かつ ∂u/∂y = ∂v/∂x
   • ・∂u/∂x = ∂v/∂y かつ ∂u/∂y = -∂v/∂x
   • ・∂u/∂x = ∂v/∂x かつ ∂u/∂y = ∂v/∂y
   • ・∂u/∂x = ∂u/∂y かつ ∂v/∂x = ∂v/∂y
4. コーシーの積分定理が述べる内容として、最もふさわしいものはどれですか。
   • ・正則関数の積分は常に発散する
   • ・正則関数の積分は始点と終点の差に等しい
   • ・正則関数は微分できない
   • ・正則関数の閉曲線に沿う積分は 0 になる(単連結領域内で)
5. 関数 f(z) = 1/z の、原点を正の向きに1周する単位円 |z| = 1 に沿う積分 ∮ (1/z) dz の値はどれですか。
   • ・2πi
   • ・0
   • ・πi
   • ・1
6. 関数 f(z) = 1/(z^2 + 1) の z = i における留数はどれですか。
   • ・1/2
   • ・i
   • ・1/(2i)
   • ・-1/(2i)
7. 複素数 z = 1 + i を極形式 r(cos θ + i sin θ) で表すとき、偏角 θ(主値、0 ≦ θ < 2π)はどれですか。
   • ・π/6
   • ・π/4
   • ・π/3
   • ・π/2
8. 1の3乗根(z^3 = 1 の解)の個数として、正しいものはどれですか。
   • ・1個(実数の 1 のみ)
   • ・2個
   • ・無限個
   • ・3個
9. 関数 f(z) = (z - 1)/(z - 1)³ の z = 1 における極の位数はどれですか。
   • ・2
   • ・3
   • ・1
   • ・0
10. 原点を中心とする半径 1 の円を正の向きに1周する閉曲線 C に沿う積分 ∮ 1/(z(z-2)) dz の値はどれですか。
    • ・0
    • ・-πi
    • ・πi
    • ・2πi
11. 関数 f(z) = sin(1/z) の z = 0 は、どの種類の特異点ですか。
    • ・1位の極
    • ・除去可能特異点
    • ・真性特異点
    • ・2位の極