数検1級第7章｜行列・行列式・連立一次方程式・線形空間と基底

この章で学ぶこと

ベクトルと行列を扱う線形代数の基礎を学びます。行列式と連立一次方程式、線形空間の概念は、次章の固有値・対角化の土台になります。

行列の演算と逆行列
行列式の計算と性質
連立一次方程式(掃き出し法・クラメルの公式)
線形空間・一次独立・基底と次元
行列の階数(ランク)

ポイント: 線形代数の中心は「連立一次方程式を行列で扱う」ことです。行列式が $0$ かどうかで「解が一意か」が決まり、階数が解の自由度を測ります。計算は機械的に正確に。

1. 行列の演算と逆行列

$2 \times 2$ 行列 $A = (a b c d)$ の行列式は $\det A = a d - b c$ 。 $\det A \neq 0$ のとき逆行列が存在し、

$A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - b - c a)$

例題: $A = (2153)$ の逆行列を求めよ。

$\det A = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 1 \neq 0$ なので逆行列が存在する。

$A^{- 1} = \frac{1}{1} (3 - 1 - 5 2) = (3 - 1 - 5 2)$

検算: $A A^{- 1} = (2153) (3 - 1 - 5 2) = (6 - 5 - 2 + 2 15 - 15 - 5 + 6) = (1001)$ 。単位行列になる。正しい。

2. 行列式

$3 \times 3$ 行列式は余因子展開(第1行で展開)で計算できます。

$\det (a b c d e f g h i) = a (e i - f h) - b (d i - f g) + c (d h - e g)$

行列式の主な性質:

2つの行(列)を入れ替えると符号が変わる
ある行(列)を定数倍すると行列式も同じ倍率になる
ある行に他の行の定数倍を加えても行列式は変わらない
$\det (A B) = (\det A) (\det B)$ 、 $\det (A^{- 1}) = (\det A)^{- 1}$

例題: $\det (120031214)$ を求めよ。

第1行で余因子展開する。

$1 \cdot (3 \cdot 4 - 1 \cdot 1) - 2 \cdot (0 \cdot 4 - 1 \cdot 2) + 0 \cdot (0 \cdot 1 - 3 \cdot 2)$ $= 1 \cdot (12 - 1) - 2 \cdot (0 - 2) + 0 = 11 + 4 = 15$

検算: 第1列で展開して確認。 $1 \cdot (3 \cdot 4 - 1 \cdot 1) - 0 + 2 \cdot (2 \cdot 1 - 0 \cdot 3) = 1 \cdot 11 + 2 \cdot 2 = 11 + 4 = 15$ 。一致する。

3. 連立一次方程式

連立一次方程式 $A x = b$ は、 $A$ が正則( $\det A \neq 0$ )なら $x = A^{- 1} b$ で一意に解けます。 $2 \times 2$ ではクラメルの公式も便利です。

例題: 連立方程式 ${2 x + y = 5 x + 3 y = 5$ を解け。

係数行列 $A = (2113)$ 、 $\det A = 6 - 1 = 5$ 。クラメルの公式により

$x = \frac{1}{5} \det (5153) = \frac{15 - 5}{5} = 2, y = \frac{1}{5} \det (2515) = \frac{10 - 5}{5} = 1$

検算: $2 \cdot 2 + 1 = 5$ ( $\circ$ )、 $2 + 3 \cdot 1 = 5$ ( $\circ$ )。両式を満たす。よって $x = 2, y = 1$ 。

大事: $\det A = 0$ のときは、解が「ない」か「無数にある」かのどちらかです。このとき係数行列を掃き出し法(行基本変形)で簡約化し、階数を調べて解の様子を判定します。

4. 線形空間・一次独立・基底

ベクトルの集合がたし算とスカラー倍について閉じているものを線形空間(ベクトル空間) といいます。ベクトル $v_{1}, \dots, v_{k}$ が一次独立とは、

$c_{1} v_{1} + \dots + c_{k} v_{k} = 0 ⟹ c_{1} = \dots = c_{k} = 0$

が成り立つこと。空間全体を生成する一次独立なベクトルの組を基底、その個数を次元といいます。

例題: $v_{1} = (12), v_{2} = (34)$ は一次独立か。

$c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} = 0$ は係数行列 $(1324)$ の連立方程式。 $\det = 1 \cdot 4 - 3 \cdot 2 = - 2 \neq 0$ なので、自明な解 $c_{1} = c_{2} = 0$ のみ。よって一次独立で、 $R^{2}$ の基底をなす。

検算: $\det \neq 0$ ⇔ 列ベクトルが一次独立、という同値性と整合する。 $2$ 本の独立なベクトルが $R^{2}$ (次元 $2$ )を張る。正しい。

5. 行列の階数(ランク)

行列の階数(ランク) は、行基本変形で階段形にしたときの「 $0$ でない行の本数」で、独立な行(列)の最大本数に等しいです。

例題: $A = (123246)$ の階数を求めよ。

第2行から第1行の $2$ 倍を引く。

$(123246) \to (123000)$

$0$ でない行は1本なので $rank A = 1$ 。

検算: 第2行は第1行のちょうど $2$ 倍で独立でない。独立な行は1本だけ。階数 $1$ と整合する。

大事: 連立方程式 $A x = b$ ( $n$ 変数)の解は、 $rank A = rank R U B Y 0 E N D = n$ なら一意、 $= r < n$ なら $n - r$ 個の自由度をもつ無数解、 $rank A < rank R U B Y 1 E N D$ なら解なし。階数は解の構造を決める要です。

どう問われるか

一次では「行列式・逆行列・連立方程式の解」を求める計算が頻出。 $3 \times 3$ の行列式や $3$ 変数の連立も。
二次では「ベクトルの一次独立性・基底・次元の判定」「階数を用いた解の存在条件の議論」など、概念の理解を問う記述が出ます。

まとめ

$2 \times 2$ 逆行列は $\frac{1}{a d - b c} (d - b - c a)$
行列式は余因子展開、 $\det (A B) = \det A \det B$
連立方程式はクラメルの公式・掃き出し法、 $\det \neq 0$ で一意解
一次独立・基底・次元、階数が解の自由度を測る

次章では、行列の最も重要な性質である固有値・固有ベクトル・対角化・二次形式を学びます。

線形代数 — 行列・行列式・連立一次方程式・線形空間

この章で学ぶこと

1. 行列の演算と逆行列

2. 行列式

3. 連立一次方程式

4. 線形空間・一次独立・基底

5. 行列の階数(ランク)

どう問われるか

まとめ

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