線形代数 — 行列・行列式・連立一次方程式・線形空間

この章で学ぶこと

ベクトルと行列を扱う線形代数の基礎を学びます。行列式と連立一次方程式、線形空間の概念は、次章の固有値・対角化の土台になります。

• 行列の演算と逆行列
• 行列式の計算と性質
• 連立一次方程式(掃き出し法・クラメルの公式)
• 線形空間・一次独立・基底と次元
• 行列の階数(ランク)

ポイント: 線形代数の中心は「連立一次方程式を行列で扱う」ことです。行列式が $0$ かどうかで「解が一意か」が決まり、階数が解の自由度を測ります。計算は機械的に正確に。

1. 行列の演算と逆行列

$2\times 2$ 行列 の行列式は $\det A=ad-bc$。$\det A\ne 0$ のとき逆行列が存在し、

例題: の逆行列を求めよ。

$\det A=2\cdot 3-1\cdot 5=1\ne 0$ なので逆行列が存在する。

検算: 。単位行列になる。正しい。

2. 行列式

$3\times 3$ 行列式は余因子展開(第1行で展開)で計算できます。

行列式の主な性質:

• 2つの行(列)を入れ替えると符号が変わる
• ある行(列)を定数倍すると行列式も同じ倍率になる
• ある行に他の行の定数倍を加えても行列式は変わらない
• $\det \left(AB\right)=(\det A)(\det B)$、$\det \left(A^{-1}\right)=(\det A{)}^{-1}$

例題: を求めよ。

第1行で余因子展開する。

$1\cdot (3\cdot 4-1\cdot 1)-2\cdot (0\cdot 4-1\cdot 2)+0\cdot (0\cdot 1-3\cdot 2)$ $=1\cdot (12-1)-2\cdot (0-2)+0=11+4=15$

検算: 第1列で展開して確認。$1\cdot (3\cdot 4-1\cdot 1)-0+2\cdot (2\cdot 1-0\cdot 3)=1\cdot 11+2\cdot 2=11+4=15$。一致する。

3. 連立一次方程式

連立一次方程式 $Ax=b$ は、$A$ が正則($\det A\ne 0$)なら $x=A^{-1}b$ で一意に解けます。$2\times 2$ ではクラメルの公式も便利です。

例題: 連立方程式 $\{2x+y=5x+3y=5$ を解け。

係数行列 、$\det A=6-1=5$。クラメルの公式により

検算: $2\cdot 2+1=5$($\circ$)、$2+3\cdot 1=5$($\circ$)。両式を満たす。よって $x=2, y=1$。

大事: $\det A=0$ のときは、解が「ない」か「無数にある」かのどちらかです。このとき係数行列を掃き出し法(行基本変形)で簡約化し、階数を調べて解の様子を判定します。

4. 線形空間・一次独立・基底

ベクトルの集合がたし算とスカラー倍について閉じているものを線形空間(ベクトル空間) といいます。ベクトル $v_1,\dots ,v_k$ が一次独立とは、

$c_1{v}_1+\cdots +c_k{v}_k=0\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} c_1=\cdots =c_k=0$

が成り立つこと。空間全体を生成する一次独立なベクトルの組を基底、その個数を次元といいます。

例題: $v_1=\left(12\right), v_2=\left(34\right)$ は一次独立か。

$c_1{v}_1+c_2{v}_2=0$ は係数行列 の連立方程式。$\det =1\cdot 4-3\cdot 2=-2\ne 0$ なので、自明な解 $c_1=c_2=0$ のみ。よって一次独立で、$R^2$ の基底をなす。

検算: $\det \ne 0$ ⇔ 列ベクトルが一次独立、という同値性と整合する。$2$ 本の独立なベクトルが $R^2$(次元 $2$)を張る。正しい。

5. 行列の階数(ランク)

行列の階数(ランク) は、行基本変形で階段形にしたときの「$0$ でない行の本数」で、独立な行(列)の最大本数に等しいです。

例題: の階数を求めよ。

第2行から第1行の $2$ 倍を引く。

$0$ でない行は1本なので $\mathrm{rank}A=1$。

検算: 第2行は第1行のちょうど $2$ 倍で独立でない。独立な行は1本だけ。階数 $1$ と整合する。

大事: 連立方程式 $Ax=b$($n$ 変数)の解は、$\mathrm{rank}A=\mathrm{rank}RUBY0END=n$A\,\,\mathbf{b} = n なら一意、 なら $n-r$ 個の自由度をもつ無数解、A\,\,\mathbf{b} なら解なし。階数は解の構造を決める要です。

どう問われるか

• 一次では「行列式・逆行列・連立方程式の解」を求める計算が頻出。$3\times 3$ の行列式や $3$ 変数の連立も。
• 二次では「ベクトルの一次独立性・基底・次元の判定」「階数を用いた解の存在条件の議論」など、概念の理解を問う記述が出ます。

まとめ

• $2\times 2$ 逆行列は
• 行列式は余因子展開、$\det \left(AB\right)=\det A\det B$
• 連立方程式はクラメルの公式・掃き出し法、$\det \ne 0$ で一意解
• 一次独立・基底・次元、階数が解の自由度を測る

次章では、行列の最も重要な性質である固有値・固有ベクトル・対角化・二次形式を学びます。