数検1級

数値解析・初等整数論 — ニュートン法・合同式と二次対策

最終確認日: 2026年6月17日

この章で学ぶこと

仕上げとして、数値解析と初等整数論の基礎、そして二次(数理技能)で得点するための戦略を学びます。

ニュートン法による方程式の近似解
ユークリッドの互除法と最大公約数
合同式と中国剰余定理
二次(数理技能)対策の進め方

ポイント: 数値解析は「解析的に解けない問題を反復計算で近づける」技法、整数論は「割り算の余り」を主役にした分野です。どちらも二次の選択問題で得点源になりやすい実用的なテーマです。

1. ニュートン法

方程式 $f (x) = 0$ の解を、初期値 $x_{0}$ から出発して接線で近づける反復法がニュートン法です。

$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}$

例題: $f (x) = x^{2} - 2$ にニュートン法を適用し、 $x_{0} = 1.5$ から $\sqrt{2}$ の近似値を1ステップ求めよ。

$f^{'} (x) = 2 x$ 。 $x_{0} = 1.5$ で $f (1.5) = 2.25 - 2 = 0.25$ 、 $f^{'} (1.5) = 3$ 。

$x_{1} = 1.5 - \frac{0.25}{3} = 1.5 - 0.0833 \dots = 1.4166 \dots$

検算: 真の値 $\sqrt{2} = 1.41421 \dots$ 。1ステップで $1.5$ から $1.4167$ へ大きく近づいた( $x 12 = {1.4167}^{2} \approx 2.007$ で $2$ に近い)。ニュートン法は2次収束するので、さらに数ステップで高精度になる。正しい。

大事: ニュートン法の更新式は「現在の点での接線が $x$ 軸と交わる点」を次の近似値とするものです。 $f^{'} (x_{n}) = 0$ になる点の近くでは破綻するので注意が必要です。

2. ユークリッドの互除法

2つの整数の最大公約数 $\gcd$ は、「大きい数を小さい数で割った余りに置き換える」操作を繰り返すユークリッドの互除法で求まります。

例題: $\gcd (252, 105)$ を求めよ。

$252 = 105 \times 2 + 42$ $105 = 42 \times 2 + 21$ $42 = 21 \times 2 + 0$

余りが $0$ になる直前の除数 $21$ が最大公約数。よって $\gcd (252, 105) = 21$ 。

検算: $252 = 21 \times 12$ 、 $105 = 21 \times 5$ 。 $12$ と $5$ は互いに素なので、 $21$ が最大公約数で正しい。

ポイント: 互除法を逆にたどると、 $\gcd (a, b) = a x + b y$ となる整数 $x, y$ が求まります(ベズーの等式)。これは1次不定方程式 $a x + b y = c$ の解法や、合同式での逆数計算に使えます。

3. 合同式

整数 $a, b$ を $m$ で割った余りが等しいとき $a \equiv b (m o d m)$ と書き、合同といいます。合同式はたし算・ひき算・かけ算について通常の等式のように計算できます。

例題: $7^{100}$ を $5$ で割った余りを求めよ。

$7 \equiv 2 (m o d 5)$ なので $7^{100} \equiv 2^{100} (m o d 5)$ 。 $2$ のべきの余りは周期 $4$ で循環する( $2^{1} \equiv 2, 2^{2} \equiv 4, 2^{3} \equiv 3, 2^{4} \equiv 1$ )。 $100 = 4 \times 25$ なので

$2^{100} = (2^{4})^{25} \equiv 1^{25} = 1 (m o d 5)$

よって余りは $1$ 。

検算: $2^{4} = 16 \equiv 1 (m o d 5)$ を $25$ 乗しても $1$ 。フェルマーの小定理( $p$ が素数で $a$ が $p$ の倍数でないとき $a^{p - 1} \equiv 1 (m o d p)$ )からも、 $2^{4} \equiv 1 (m o d 5)$ なので $2^{100} = (2^{4})^{25} \equiv 1$ 。一致する。

大事: 中国剰余定理は、互いに素な $m_{1}, m_{2}, \dots$ について連立合同式 $x \equiv a_{1} (m o d m_{1}), x \equiv a_{2} (m o d m_{2}), \dots$ がただ1つの解を $(m o d m_{1} m_{2} \dots)$ でもつことを保証します。たとえば「 $3$ で割ると $2$ 余り、 $5$ で割ると $3$ 余る数」は $(m o d 15)$ で $x \equiv 8$ と一意に定まります( $8 = 3 \cdot 2 + 2, 8 = 5 \cdot 1 + 3$ )。

4. 二次(数理技能)対策の進め方

1級の二次は「必須2問 + 選択5問から2問」の記述式です。得点するためのコツを整理します。

得意分野で選択問題を選ぶ: 解析(微積分・微分方程式)、線形代数(固有値・対角化)、確率統計のうち、自信のある分野を選ぶ。
定理の仮定を確認してから使う: 「連続だから最大値をとる」「微分可能だから平均値の定理が使える」など、根拠を明示すると記述の評価が高い。
計算は必ず検算する: 固有値なら「和=トレース・積=行列式」、積分なら「微分して戻す」など、独立な方法で確かめる。
途中式をていねいに書く: 二次は部分点が大きい。最終答だけでなく、立式・変形の流れを論理的に書く。

大事: 1級は範囲が広いので、全分野を浅く より 数分野を確実に が戦略です。本教材なら「解析(第2〜5章)+ 線形代数(第7〜8章)」を主軸に固め、確率統計・複素解析・整数論から得意なものを選択問題用に1〜2分野準備するとよいでしょう。

どう問われるか

一次では「ニュートン法の1〜2ステップ」「最大公約数」「合同式によるべき乗の余り」などの計算が出ます。
二次では「漸化式・近似計算」「不定方程式・合同式の応用」「これまでの全分野の総合問題」が記述式で問われます。

よくまちがえるところ

数値解析と整数論は、誤差の種類と合同式で許される操作の理解が勝負どころです。

まちがい	例	直し方
打ち切り誤差と丸め誤差を混同する	桁数を増やせば打ち切り誤差も消えると考える	打ち切りは有限項・有限回で止めたことによる誤差、丸めは有限桁でしか表せないことによる誤差。原因が別
ニュートン法で導関数が 0 になる点を避けない	f(x) = x³ - x に初期値 1/√3 を使う	そこで導関数が 0 になり計算が破綻する。初期値を変える
近い数どうしの引き算(桁落ち)を放置する	大きい x で √(x+1) - √x をそのまま計算する	有理化して 1/(√(x+1) + √x) に直してから計算する
合同式で自由に割り算する	2x ≡ 2 (mod 4) から x ≡ 1 と結論する	法と互いに素な数でしか割れない。この解は x ≡ 1 と x ≡ 3 の2つ

いちばん多いのは誤差の混同です。打ち切り誤差は、無限級数を有限項で切ったり、反復計算を有限回で止めたりすることから生じます。項数や反復回数を増やせば小さくできます。丸め誤差は、計算機が有限桁でしか数を表せないことから生じ、こちらは桁数(精度)を上げないと小さくなりません。打ち切り誤差は計算の設計で、丸め誤差は計算機の表現能力で決まる、と原因のちがいで整理してください。

合同式の割り算も要注意です。a ≡ b (mod m) の両辺を c で割れるのは、c と m が互いに素なときに限ります。上の例では c = 2 と m = 4 の最大公約数が 2 なので割れません。互いに素でない場合は、法のほうも割って 2x ≡ 2 (mod 4) を x ≡ 1 (mod 2) と読みかえます。

誤差の種類を使い分ける

誤差の名前	生じる原因	例	減らし方
打ち切り誤差	無限の操作を有限で止める	テイラー展開を3項で切る	項数・反復回数を増やす
丸め誤差	有限桁でしか表せない	1/3 を 0.3333 と表す	精度(桁数)を上げる
桁落ち	近い数どうしを引く	大きい x での √(x+1) - √x	式を変形して引き算を避ける
情報落ち	大きさの違う数を足す	非常に大きい数に非常に小さい数を足す	小さい数から順に足す

ニュートン法の性質も整理しておきます。この方法は、現在の点での接線が x 軸と交わる点を次の近似値とするもので、更新式は x(次) = x(今) - f(x(今))/f'(x(今)) です。解の近くでは2次収束するため、正しい桁数がおよそ倍々に増えていきます。

段階	x の値	2乗した値
初期値	1.5	2.25
1回目	1.41666...	約 2.0069
2回目	1.414215...	約 2.0000006

f(x) = x² - 2 の場合、2回の反復で √2 = 1.4142135... にきわめて近づきます。ただし導関数が 0 に近い点では更新の分母が小さくなって発散するので、初期値の選び方が重要です。

大事: 合同式でべき乗の余りを求めるときは、周期を見つけるのが早道です。法 5 における 2 のべきは 2、4、3、1 と周期 4 で循環するので、指数を 4 で割った余りだけを見ればよいことになります。フェルマーの小定理(p が素数で a が p の倍数でないとき a の (p-1) 乗が 1 と合同)を使うと、この周期の上限がすぐ分かります。