数値解析・初等整数論 — ニュートン法・合同式と二次対策

この章で学ぶこと

仕上げとして、数値解析と初等整数論の基礎、そして二次(数理技能)で得点するための戦略を学びます。

• ニュートン法による方程式の近似解
• ユークリッドの互除法と最大公約数
• 合同式と中国剰余定理
• 二次(数理技能)対策の進め方

ポイント: 数値解析は「解析的に解けない問題を反復計算で近づける」技法、整数論は「割り算の余り」を主役にした分野です。どちらも二次の選択問題で得点源になりやすい実用的なテーマです。

1. ニュートン法

方程式 $f\left(x\right)=0$ の解を、初期値 $x_0$ から出発して接線で近づける反復法がニュートン法です。

$x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime }\left(x_n\right)}$

例題: $f\left(x\right)=x^2-2$ にニュートン法を適用し、$x_0=1.5$ から $\sqrt{2}$ の近似値を1ステップ求めよ。

$f^{\prime }\left(x\right)=2x$。$x_0=1.5$ で $f\left(1.5\right)=2.25-2=0.25$、$f^{\prime }\left(1.5\right)=3$。

$x_1=1.5-\frac{0.25}{3}=1.5-0.0833\dots =1.4166\dots$

検算: 真の値 $\sqrt{2}=1.41421\dots$。1ステップで $1.5$ から $1.4167$ へ大きく近づいた($x12={1.4167}^2\approx 2.007$ で $2$ に近い)。ニュートン法は2次収束するので、さらに数ステップで高精度になる。正しい。

大事: ニュートン法の更新式は「現在の点での接線が $x$ 軸と交わる点」を次の近似値とするものです。$f^{\prime }\left(x_n\right)=0$ になる点の近くでは破綻するので注意が必要です。

2. ユークリッドの互除法

2つの整数の最大公約数 $\gcd$ は、「大きい数を小さい数で割った余りに置き換える」操作を繰り返すユークリッドの互除法で求まります。

例題: $\gcd (252,105)$ を求めよ。

$252=105\times 2+42$ $105=42\times 2+21$ $42=21\times 2+0$

余りが $0$ になる直前の除数 $21$ が最大公約数。よって $\gcd (252,105)=21$。

検算: $252=21\times 12$、$105=21\times 5$。$12$ と $5$ は互いに素なので、$21$ が最大公約数で正しい。

ポイント: 互除法を逆にたどると、$\gcd (a,b)=ax+by$ となる整数 $x,y$ が求まります(ベズーの等式)。これは1次不定方程式 $ax+by=c$ の解法や、合同式での逆数計算に使えます。

3. 合同式

整数 $a,b$ を $m$ で割った余りが等しいとき $a\equiv b\left(modm\right)$ と書き、合同といいます。合同式はたし算・ひき算・かけ算について通常の等式のように計算できます。

例題: $7^{100}$ を $5$ で割った余りを求めよ。

$7\equiv 2\left(mod5\right)$ なので $7^{100}\equiv 2^{100}\left(mod5\right)$。$2$ のべきの余りは周期 $4$ で循環する($2^1\equiv 2, 2^2\equiv 4, 2^3\equiv 3, 2^4\equiv 1$)。$100=4\times 25$ なので

$2^{100}=(2^4{)}^{25}\equiv 1^{25}=1(mod5)$

よって余りは $1$。

検算: $2^4=16\equiv 1\left(mod5\right)$ を $25$ 乗しても $1$。フェルマーの小定理($p$ が素数で $a$ が $p$ の倍数でないとき $a^{p-1}\equiv 1\left(modp\right)$)からも、$2^4\equiv 1\left(mod5\right)$ なので $2^{100}=(2^4{)}^{25}\equiv 1$。一致する。

大事: 中国剰余定理は、互いに素な $m_1,m_2,\dots$ について連立合同式 $x\equiv a_1\left(mod{m}_1\right), x\equiv a_2\left(mod{m}_2\right),\dots$ がただ1つの解を $(mod{m}_1{m}_2\cdots \hspace{0.17em})$ でもつことを保証します。たとえば「$3$ で割ると $2$ 余り、$5$ で割ると $3$ 余る数」は $\left(mod15\right)$ で $x\equiv 8$ と一意に定まります($8=3\cdot 2+2, 8=5\cdot 1+3$)。

4. 二次(数理技能)対策の進め方

1級の二次は「必須2問 + 選択5問から2問」の記述式です。得点するためのコツを整理します。

• 得意分野で選択問題を選ぶ: 解析(微積分・微分方程式)、線形代数(固有値・対角化)、確率統計のうち、自信のある分野を選ぶ。
• 定理の仮定を確認してから使う: 「連続だから最大値をとる」「微分可能だから平均値の定理が使える」など、根拠を明示すると記述の評価が高い。
• 計算は必ず検算する: 固有値なら「和=トレース・積=行列式」、積分なら「微分して戻す」など、独立な方法で確かめる。
• 途中式をていねいに書く: 二次は部分点が大きい。最終答だけでなく、立式・変形の流れを論理的に書く。

大事: 1級は範囲が広いので、全分野を浅く より 数分野を確実に が戦略です。本教材なら「解析(第2〜5章)+ 線形代数(第7〜8章)」を主軸に固め、確率統計・複素解析・整数論から得意なものを選択問題用に1〜2分野準備するとよいでしょう。

どう問われるか

• 一次では「ニュートン法の1〜2ステップ」「最大公約数」「合同式によるべき乗の余り」などの計算が出ます。
• 二次では「漸化式・近似計算」「不定方程式・合同式の応用」「これまでの全分野の総合問題」が記述式で問われます。

まとめ

• ニュートン法 $x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime }\left(x_n\right)}$ は接線で近づける反復法
• ユークリッドの互除法で $\gcd$、逆にたどってベズーの等式
• 合同式はべき乗の余りの周期性・フェルマーの小定理・中国剰余定理
• 二次は得意分野を選び、仮定の確認・検算・途中式を大切に

これで数検1級の教材はひと通り終わりです。解析と線形代数を主軸に、各章の例題を検算しながら繰り返し解き、一問一答や問題集で計算力を確かめましょう。

※「数検」「実用数学技能検定」は公益財団法人日本数学検定協会の登録商標です。本教材は非公式の学習教材であり、合格を保証するものではありません。