複素解析 — 正則関数・コーシーの定理・留数

この章で学ぶこと

複素数 $z=x+iy$ を変数とする関数の微積分を学びます。実数の解析とは違う、正則性とコーシーの定理という美しい構造が現れます。

• 複素関数と正則性(コーシー・リーマンの方程式)
• コーシーの積分定理と積分公式
• 極と留数
• 留数定理による複素積分・実積分の計算

ポイント: 「正則(複素微分可能)」は実関数の微分可能よりはるかに強い条件で、正則な関数は何回でも微分でき、テイラー展開できます。コーシーの定理「正則な領域での閉曲線積分は $0$」が複素解析の心臓部です。

1. 複素関数と正則性

複素関数 $f\left(z\right)=u(x,y)+iv(x,y)$ が領域で複素微分可能なとき正則といいます。正則であるための必要条件がコーシー・リーマンの方程式です。

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

例題: $f\left(z\right)=z^2$ がコーシー・リーマンの方程式を満たすことを確かめよ。

$z=x+iy$ とすると $z^2=(x^2-y^2)+i\left(2xy\right)$。よって $u=x^2-y^2, v=2xy$。

$u_x=2x,v_y=2x,u_y=-2y,v_x=2y$

$u_x=v_y (=2x)$ と $u_y=-v_x (=-2y)$ がともに成り立つ。よって $f\left(z\right)=z^2$ は正則。

検算: $f\left(z\right)=z^2$ は多項式なので全平面で正則。コーシー・リーマンの方程式の成立と整合する。

2. コーシーの積分定理と積分公式

コーシーの積分定理: $f$ が単連結領域で正則なら、その中の任意の閉曲線 $C$ に沿う積分は $0$。 ${\oint }_{C}f\left(z\right)\hspace{0.17em}dz=0$

コーシーの積分公式: $f$ が $C$ の内部と上で正則で、$a$ が $C$ の内部にあれば、 $f\left(a\right)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f\left(z\right)}{z-a}\hspace{0.17em}dz$

これらから、基本となる積分公式が得られます。$C$ を $a$ を内部に含む正の向きの閉曲線とすると、

${\oint }_C\frac{dz}{z-a}=2\pi i,{\oint }_C\frac{dz}{(z-a{)}^n}=0 (n\ge 2, 整数)$

例題: 単位円 $\mid z\mid =1$ を正の向きに回るとき、${\oint }_C\frac{dz}{z}$ を求めよ。

$\frac{1}{z}$ は $z=0$(円の内部)を除いて正則。コーシーの積分公式($f\equiv 1, a=0$)より

${\oint }_C\frac{dz}{z}=2\pi i\cdot 1=2\pi i$

検算: $z=e^{i\theta } (0\le \theta \le 2\pi )$ と置くと $dz=i{e}^{i\theta }d\theta$。${\oint }_C\frac{dz}{z}=\int 02\pi \frac{i{e}^{i\theta }}{e^{i\theta }}d\theta =\int 02\pi i\hspace{0.17em}d\theta =2\pi i$。一致する。

3. 極と留数

$f$ が $z=a$ で極(分母が $0$ になる特異点)をもつとき、ローラン展開の $\frac{1}{z-a}$ の係数を留数 ${\mathrm{Res}}_{z=a}f$ といいます。

• 1位の極($a$ で分母が1次の零点): ${\mathrm{Res}}_{z=a}f=\lim z\to a(z-a)f\left(z\right)$
• $m$ 位の極: ${\mathrm{Res}}_{z=a}f=\frac{1}{(m-1)!}\lim z\to a\frac{d^{m-1}}{d{z}^{m-1}}\left[\right(z-a{)}^{m}f\left(z\right)]$

例題: $f\left(z\right)=\frac{z}{(z-1)(z-2)}$ の各極での留数を求めよ。

$z=1$ と $z=2$ はともに1位の極。

${\mathrm{Res}}_{z=1}f={\lim }_{z\to 1}(z-1)\frac{z}{(z-1)(z-2)}=\frac{1}{1-2}=-1$ ${\mathrm{Res}}_{z=2}f={\lim }_{z\to 2}(z-2)\frac{z}{(z-1)(z-2)}=\frac{2}{2-1}=2$

検算: 部分分数分解すると $\frac{z}{(z-1)(z-2)}=\frac{-1}{z-1}+\frac{2}{z-2}$(係数が留数に対応)。実際 $\frac{-1}{z-1}+\frac{2}{z-2}=\frac{-(z-2)+2(z-1)}{(z-1)(z-2)}=\frac{z}{(z-1)(z-2)}$。一致する。

4. 留数定理

留数定理: $f$ が閉曲線 $C$ の内部に有限個の極 $a_1,\dots ,a_k$ をもち、それ以外で正則なら、 ${\oint }_{C}f\left(z\right)\hspace{0.17em}dz=2\pi i\sum j=1k{\mathrm{Res}}_{z=a_j}f$

例題: $C$ を $\mid z\mid =3$(正の向き)とするとき、${\oint }_C\frac{z}{(z-1)(z-2)}\hspace{0.17em}dz$ を求めよ。

極 $z=1,2$ はともに $\mid z\mid =3$ の内部にある。前問の留数を使うと

${\oint }_{C}f\hspace{0.17em}dz=2\pi i\hspace{0.17em}({\mathrm{Res}}_{z=1}f+{\mathrm{Res}}_{z=2}f)=2\pi i\hspace{0.17em}(-1+2)=2\pi i$

検算: 部分分数 $\frac{-1}{z-1}+\frac{2}{z-2}$ を項別に積分。両極とも内部なので $\oint =(-1)\left(2\pi i\right)+\left(2\right)\left(2\pi i\right)=2\pi i$。一致する。

大事: 留数定理は実積分の計算にも使えます。たとえば $\int -\infty \infty \frac{dx}{x^2+1}$ は、上半平面の半円と実軸からなる閉曲線に留数定理を適用し、極 $z=i$(${\mathrm{Res}}_{z=i}\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{2i}$)を拾って $2\pi i\cdot \frac{1}{2i}=\pi$ と求まります。これは $[\arctan x]-\infty \infty =\pi$ と一致します。

どう問われるか

• 一次では「コーシー・リーマンの確認」「指定された極での留数」「閉曲線積分の値」が頻出。
• 二次では「留数定理を用いて実積分(三角関数や有理関数を含む広義積分)を計算する」応用が定番です。

まとめ

• 正則 = 複素微分可能、コーシー・リーマンの方程式が必要条件
• コーシーの定理「正則領域の閉曲線積分は $0$」、${\oint }_C\frac{dz}{z-a}=2\pi i$
• 留数は1位の極で ${\lim }_{z\to a}(z-a)f\left(z\right)$
• 留数定理 ${\oint }_{C}f\hspace{0.17em}dz=2\pi i\sum \mathrm{Res}$、実積分にも応用

次章では、数の世界からベクトル・行列の世界へ移り、線形代数(行列・行列式・線形空間・基底)を学びます。