数検1級

複素解析 — 正則関数・コーシーの定理・留数 β版

最終確認日: 2026年6月17日

この章で学ぶこと

複素数 $z = x + i y$ を変数とする関数の微積分を学びます。実数の解析とは違う、正則性とコーシーの定理という美しい構造が現れます。

複素関数と正則性(コーシー・リーマンの方程式)
コーシーの積分定理と積分公式
極と留数
留数定理による複素積分・実積分の計算

ポイント: 「正則(複素微分可能)」は実関数の微分可能よりはるかに強い条件で、正則な関数は何回でも微分でき、テイラー展開できます。コーシーの定理「正則な領域での閉曲線積分は $0$ 」が複素解析の心臓部です。

1. 複素関数と正則性

複素関数 $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ が領域で複素微分可能なとき正則といいます。正則であるための必要条件がコーシー・リーマンの方程式です。

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}$

例題: $f (z) = z^{2}$ がコーシー・リーマンの方程式を満たすことを確かめよ。

$z = x + i y$ とすると $z^{2} = (x^{2} - y^{2}) + i (2 x y)$ 。よって $u = x^{2} - y^{2}, v = 2 x y$ 。

$u_{x} = 2 x, v_{y} = 2 x, u_{y} = - 2 y, v_{x} = 2 y$

$u_{x} = v_{y} (= 2 x)$ と $u_{y} = - v_{x} (= - 2 y)$ がともに成り立つ。よって $f (z) = z^{2}$ は正則。

検算: $f (z) = z^{2}$ は多項式なので全平面で正則。コーシー・リーマンの方程式の成立と整合する。

2. コーシーの積分定理と積分公式

コーシーの積分定理: $f$ が単連結領域で正則なら、その中の任意の閉曲線 $C$ に沿う積分は $0$ 。 $\oint_{C} f (z) d z = 0$

コーシーの積分公式: $f$ が $C$ の内部と上で正則で、 $a$ が $C$ の内部にあれば、 $f (a) = \frac{1}{2 π i} \oint_{C} \frac{f (z)}{z - a} d z$

これらから、基本となる積分公式が得られます。 $C$ を $a$ を内部に含む正の向きの閉曲線とすると、

$\oint_{C} \frac{d z}{z - a} = 2 π i, \oint_{C} \frac{d z}{(z - a)^{n}} = 0 (n \geq 2, 整数)$

例題: 単位円 $∣ z ∣ = 1$ を正の向きに回るとき、 $\oint_{C} \frac{d z}{z}$ を求めよ。

$\frac{1}{z}$ は $z = 0$ (円の内部)を除いて正則。コーシーの積分公式( $f \equiv 1, a = 0$ )より

$\oint_{C} \frac{d z}{z} = 2 π i \cdot 1 = 2 π i$

検算: $z = e^{i θ} (0 \leq θ \leq 2 π)$ と置くと $d z = i e^{i θ} d θ$ 。 $\oint_{C} \frac{d z}{z} = \int 0 2 π \frac{i e^{i θ}}{e^{i θ}} d θ = \int 0 2 π i d θ = 2 π i$ 。一致する。

3. 極と留数

$f$ が $z = a$ で極(分母が $0$ になる特異点)をもつとき、ローラン展開の $\frac{1}{z - a}$ の係数を留数 ${Res}_{z = a} f$ といいます。

1位の極( $a$ で分母が1次の零点): ${Res}_{z = a} f = \lim z \to a (z - a) f (z)$
$m$ 位の極: ${Res}_{z = a} f = \frac{1}{(m - 1)!} \lim z \to a \frac{d^{m - 1}}{d z^{m - 1}} [(z - a)^{m} f (z)]$

例題: $f (z) = \frac{z}{(z - 1) (z - 2)}$ の各極での留数を求めよ。

$z = 1$ と $z = 2$ はともに1位の極。

${Res}_{z = 1} f = \lim_{z \to 1} (z - 1) \frac{z}{(z - 1) (z - 2)} = \frac{1}{1 - 2} = - 1$ ${Res}_{z = 2} f = \lim_{z \to 2} (z - 2) \frac{z}{(z - 1) (z - 2)} = \frac{2}{2 - 1} = 2$

検算: 部分分数分解すると $\frac{z}{(z - 1) (z - 2)} = \frac{- 1}{z - 1} + \frac{2}{z - 2}$ (係数が留数に対応)。実際 $\frac{- 1}{z - 1} + \frac{2}{z - 2} = \frac{- (z - 2) + 2 (z - 1)}{(z - 1) (z - 2)} = \frac{z}{(z - 1) (z - 2)}$ 。一致する。

4. 留数定理

留数定理: $f$ が閉曲線 $C$ の内部に有限個の極 $a_{1}, \dots, a_{k}$ をもち、それ以外で正則なら、 $\oint_{C} f (z) d z = 2 π i \sum j = 1 k {Res}_{z = a_{j}} f$

例題: $C$ を $∣ z ∣ = 3$ (正の向き)とするとき、 $\oint_{C} \frac{z}{(z - 1) (z - 2)} d z$ を求めよ。

極 $z = 1, 2$ はともに $∣ z ∣ = 3$ の内部にある。前問の留数を使うと

$\oint_{C} f d z = 2 π i ({Res}_{z = 1} f + {Res}_{z = 2} f) = 2 π i (- 1 + 2) = 2 π i$

検算: 部分分数 $\frac{- 1}{z - 1} + \frac{2}{z - 2}$ を項別に積分。両極とも内部なので $\oint = (- 1) (2 π i) + (2) (2 π i) = 2 π i$ 。一致する。

大事: 留数定理は実積分の計算にも使えます。たとえば $\int - \infty \infty \frac{d x}{x^{2} + 1}$ は、上半平面の半円と実軸からなる閉曲線に留数定理を適用し、極 $z = i$ ( ${Res}_{z = i} \frac{1}{z^{2} + 1} = \frac{1}{2 i}$ )を拾って $2 π i \cdot \frac{1}{2 i} = π$ と求まります。これは $[\arctan x] - \infty \infty = π$ と一致します。

どう問われるか

一次では「コーシー・リーマンの確認」「指定された極での留数」「閉曲線積分の値」が頻出。
二次では「留数定理を用いて実積分(三角関数や有理関数を含む広義積分)を計算する」応用が定番です。

よくまちがえるところ

複素解析は、正則性の条件と特異点の分類を雑に扱うと、値そのものが変わってしまいます。

まちがい	例	直し方
コーシー・リーマンの式だけで正則と断定する	ある1点で満たすから正則と結論する	領域全体で満たし、かつ偏導関数が連続であることが要る
極の位数を取りちがえる	1/(z-1)² を1位の極として (z-1)f(z) の極限をとる	2位の極。(z-1)² f(z) を1回微分してから極限をとる
閉曲線の外側の極まで拾う	単位円上の積分で z = 2 の留数まで足す	内部にある極の留数だけを足す
特異点の種類を区別しない	sin(1/z) の z = 0 を極として扱う	真性特異点。ローラン展開の負べきが無限個あり、位数が定まらない

いちばん多いのは位数の取りちがえです。1位の極の公式 lim (z - a) f(z) は、位数が1のときにしか使えません。2位以上に適用すると極限が発散して答えが出ないか、途中で 0 になって留数を落とします。位数は分母の零点の重複度で決まるので、分母を因数分解して指数を見るのが確実です。分子が同じ点で 0 になる場合は約分してから数え直します。たとえば (z - 1)/(z - 1)³ は約分すると 1/(z - 1)² で、位数は3ではなく2です。

特異点の種類と留数の求め方

特異点の種類	見分け方	留数の求め方
除去可能特異点	ローラン展開に負べきが現れない	留数は 0(例: (sin z)/z の z = 0)
1位の極	分母の零点が1重	lim(z → a) (z - a) f(z)
m位の極	分母の零点が m 重	(z - a)^m f(z) を (m-1) 回微分し、(m-1)! で割って z → a
真性特異点	負べきが無限個	ローラン展開して 1/(z - a) の係数を読む

分数の形 f = p(z)/q(z) で、q が a で1位の零点をもち p(a) が 0 でないときは、留数 = p(a)/q'(a) という便利な公式が使えます。因数分解しにくい分母でも、微分1回で留数が出ます。たとえば 1/(z² + 1) の z = i における留数は 1/(2i) です。

留数定理を使う手順も整理しておきます。

順番	すること
1	被積分関数の特異点をすべて求める
2	どれが閉曲線の内部にあるかを図で確かめる
3	内部の各特異点の位数を判定する
4	位数に応じた式で留数を計算する
5	内部の留数を足し、2πi を掛ける

大事: 実積分への応用では、上半平面の半円と実軸からなる閉曲線をとり、半円上の積分が 0 に近づくことを確かめてから実軸上の積分を取り出します。この「半円部分が消える」ことの確認を省くと論証が成立しません。1/(x² + 1) の全実軸上の積分が π になるのは、上半平面の極 z = i の留数 1/(2i) を拾って 2πi × 1/(2i) = π とした結果で、arctan の値からも同じ π が得られます。