数検1級

固有値・固有ベクトル・対角化・二次形式

最終確認日: 2026年6月17日

この章で学ぶこと

線形代数の山場である固有値理論を学びます。対角化は行列のべき乗・微分方程式・二次形式など多くの応用の鍵になります。

固有値・固有ベクトルの定義と求め方
特性方程式
行列の対角化
対称行列の直交対角化
二次形式と正定値性

ポイント: 行列 $A$ を「固有値が並んだ対角行列」に直すのが対角化です。対角化できれば $A^{n}$ の計算や連立微分方程式が一気に簡単になります。対称行列は必ず直交行列で対角化できる、という美しい定理が中心です。

1. 固有値と固有ベクトル

行列 $A$ に対し、 $A x = λ x$ ( $x \neq 0$ )を満たす $λ$ を固有値、 $x$ を固有ベクトルといいます。固有値は特性方程式

$\det (A - λ I) = 0$

の解として求まります。

例題: $A = (3102)$ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

特性方程式: $\det (A - λ I) = \det (3 - λ 10 2 - λ) = (3 - λ) (2 - λ) = 0$ 。よって固有値は $λ = 3, 2$ 。

$λ = 3$ : $(A - 3 I) x = (010 - 1) x = 0$ より $x_{2} = 0$ 。固有ベクトルは $(10)$ (の定数倍)。

$λ = 2$ : $(A - 2 I) x = (1100) x = 0$ より $x_{1} + x_{2} = 0$ 。固有ベクトルは $(1 - 1)$ (の定数倍)。

検算: $A (10) = (30) = 3 (10)$ ( $\circ$ )、 $A (1 - 1) = (2 - 2) = 2 (1 - 1)$ ( $\circ$ )。正しい。

大事: 固有値の和は対角成分の和(トレース)、固有値の積は行列式に等しい。上の例では和 $3 + 2 = 5 = tr A$ 、積 $3 \cdot 2 = 6 = \det A$ 。これは計算の検算に使えます。

2. 行列の対角化

$n \times n$ 行列 $A$ が $n$ 個の一次独立な固有ベクトルをもつとき、それらを列に並べた行列 $P$ を使って

$P^{- 1} A P = D = (λ_{1} ⋱ λ_{n})$

と対角化できます( $D$ の対角成分は固有値)。

例題: $A = (3102)$ を対角化せよ。

前問より固有値 $3, 2$ 、固有ベクトル $(10), (1 - 1)$ 。これを並べて $P = (110 - 1)$ とおく。

$\det P = - 1 \neq 0$ で $P^{- 1} = \frac{1}{- 1} (- 1 - 1 01) = (110 - 1)$ 。このとき

$P^{- 1} A P = (3002)$

検算: $A P = (3102) (110 - 1) = (320 - 2)$ 。一方 $P D = (110 - 1) (3002) = (320 - 2)$ 。 $A P = P D$ が成り立ち、 $P^{- 1} A P = D$ が確認できる。正しい。

ポイント: 対角化できると $A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$ で $A$ のべき乗が簡単に計算できます。 $D^{n}$ は対角成分を $n$ 乗するだけだからです。

3. 対称行列の直交対角化

実対称行列( $A^{T} = A$ )は次の強い性質をもちます。

固有値はすべて実数
異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する
適当な直交行列 $P$ ( $P^{T} = P^{- 1}$ )で対角化できる( $P^{T} A P = D$ )

例題: $A = (2112)$ の固有値を求め、直交行列で対角化できることを確かめよ。

特性方程式 $\det (A - λ I) = (2 - λ)^{2} - 1 = λ^{2} - 4 λ + 3 = (λ - 1) (λ - 3) = 0$ 。固有値は $λ = 1, 3$ (実数)。

$λ = 3$ : $(- 1 11 - 1) x = 0$ より固有ベクトル $(11)$ 。 $λ = 1$ : 固有ベクトル $(1 - 1)$ 。

検算: 2つの固有ベクトルの内積は $1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) = 0$ で直交する。正規化して $P = \frac{1}{\sqrt{2}} (111 - 1)$ とすれば直交行列で、 $P^{T} A P = (3001)$ 。対称行列の性質と整合する。

4. 二次形式

変数 $x_{1}, \dots, x_{n}$ の2次の同次式 $q (x) = x^{T} A x$ ( $A$ は対称行列)を二次形式といいます。対称行列 $A$ を直交対角化すると、二次形式は平方の和(標準形)になります。

例題: 二次形式 $q = 2 x^{2} + 2 x y + 2 y^{2}$ を標準形に直せ。

対応する対称行列は $A = (2112)$ (前問と同じ)。固有値 $3, 1$ により、新しい変数 $u, v$ で

$q = 3 u^{2} + v^{2}$

検算: $A$ の固有値は $3, 1$ で、標準形の係数はちょうど固有値になる。両固有値が正なので $q$ は正定値( $x \neq 0$ で $q > 0$ )である。実際 $q = 2 x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = (x + y)^{2} + x^{2} + y^{2} > 0$ ( $x \neq 0$ )と平方完成でき、整合する。

大事: 二次形式の正定値性は固有値の符号で判定します。すべての固有値が正なら正定値、すべて負なら負定値、正負混在なら不定符号。これは多変数関数の極値判定(前章のヘッセ行列)と直結します。

どう問われるか

一次では「固有値・固有ベクトルを求めよ」「行列を対角化せよ」が頻出。 $3 \times 3$ も出る。
二次では「対称行列の直交対角化」「二次形式の標準形と正定値判定」「 $A^{n}$ の計算や連立微分方程式への応用」が問われます。

よくまちがえるところ

固有値の分野は計算量が多く、規則の細部を落とすと結論が変わります。

まちがい	例	直し方
重複する固有値なら必ず対角化できると思う	第1行が (1, 1)、第2行が (0, 1) の行列を対角化しようとする	独立な固有ベクトルが次数と同じ本数あるときだけ対角化できる。この行列は1本しかない
対称行列で固有ベクトルを正規化し忘れる	(1, 1) と (1, -1) をそのまま並べて直交行列と呼ぶ	長さを 1 にそろえる。ここでは 1/√2 を掛ける
二次形式の行列に交差項の係数をそのまま置く	2xy の係数 2 を非対角成分に 2 として置く	対称行列なので半分ずつ。非対角成分は 1 と 1
正定値を行列式だけで判定する	行列式が正だから正定値とする	2次では左上成分が正かつ行列式が正。両方負でも行列式は正になる

いちばん誤解が多いのは対角化できる条件です。固有値が相異なれば必ず対角化できますが、逆は成り立ちません。重複する固有値があるとき、その固有値に属する固有空間の次元(独立な固有ベクトルの本数)が重複度と一致すれば対角化でき、足りなければできません。第1行が (1, 1)、第2行が (0, 1) の行列は固有値 1 が重複度 2 ですが、固有ベクトルは (1, 0) の定数倍しかなく1本だけなので対角化できません。重複度と固有空間の次元を比べるのが判定の手順です。

対角化の手順

順番	すること	検算
1	特性方程式 det(A - λI) = 0 を作る	展開の符号を確かめる
2	固有値をすべて求める	和が対角成分の和、積が行列式に一致するか
3	各固有値で (A - λI)x = 0 を解く	得た x に A を掛けて λ 倍になるか
4	独立な固有ベクトルの本数を数える	次数と同じ本数あるか。足りなければ対角化不可
5	固有ベクトルを列に並べて P を作る	det P が 0 でないか
6	D は固有値を並べた対角行列	P の列の順序と D の対角成分の順序をそろえる
7	AP = PD を確かめる	逆行列を求めずに検算できる

第2段階の検算は特に有効です。固有値の和はトレース(対角成分の和)、積は行列式に等しいので、2つの数を計算するだけで固有値の取りちがえがほぼ発見できます。第1行が (3, 1)、第2行が (0, 2) の行列なら、固有値 3 と 2 の和 5 はトレース 5 に、積 6 は行列式 6 に一致します。

実対称行列については、次の性質が保証されています。固有値はすべて実数、異なる固有値に属する固有ベクトルはたがいに直交、そして直交行列で対角化できます。二次形式を標準形に直すときは、この直交対角化を使い、標準形の係数がそのまま固有値になります。

大事: 二次形式の正定値性は固有値の符号で決まります。すべて正なら正定値、すべて負なら負定値、正負が混ざれば不定符号です。これは多変数関数の極値判定と同じ構造で、ヘッセ行列が正定値なら極小、負定値なら極大、不定符号なら鞍点に対応します。2つの章を別々に覚えず、同じ話として結びつけてください。