固有値・固有ベクトル・対角化・二次形式

この章で学ぶこと

線形代数の山場である固有値理論を学びます。対角化は行列のべき乗・微分方程式・二次形式など多くの応用の鍵になります。

• 固有値・固有ベクトルの定義と求め方
• 特性方程式
• 行列の対角化
• 対称行列の直交対角化
• 二次形式と正定値性

ポイント: 行列 $A$ を「固有値が並んだ対角行列」に直すのが対角化です。対角化できれば $A^n$ の計算や連立微分方程式が一気に簡単になります。対称行列は必ず直交行列で対角化できる、という美しい定理が中心です。

1. 固有値と固有ベクトル

行列 $A$ に対し、$Ax=\lambda x$($x\ne 0$)を満たす $\lambda$ を固有値、$x$ を固有ベクトルといいます。固有値は特性方程式

$\det (A-\lambda I)=0$

の解として求まります。

例題: の固有値と固有ベクトルを求めよ。

特性方程式: 。よって固有値は $\lambda =3, 2$。

$\lambda =3$: より $x_2=0$。固有ベクトルは $\left(10\right)$(の定数倍)。

$\lambda =2$: より $x_1+x_2=0$。固有ベクトルは $\left(1-1\right)$(の定数倍)。

検算: $A\left(10\right)=\left(30\right)=3\left(10\right)$($\circ$)、$A\left(1-1\right)=\left(2-2\right)=2\left(1-1\right)$($\circ$)。正しい。

大事: 固有値の和は対角成分の和(トレース)、固有値の積は行列式に等しい。上の例では和 $3+2=5=\mathrm{tr}A$、積 $3\cdot 2=6=\det A$。これは計算の検算に使えます。

2. 行列の対角化

$n\times n$ 行列 $A$ が $n$ 個の一次独立な固有ベクトルをもつとき、それらを列に並べた行列 $P$ を使って

と対角化できます($D$ の対角成分は固有値)。

例題: を対角化せよ。

前問より固有値 $3,2$、固有ベクトル $\left(10\right), \left(1-1\right)$。これを並べて とおく。

$\det P=-1\ne 0$ で 。このとき

検算: 。一方 。$AP=PD$ が成り立ち、$P^{-1}AP=D$ が確認できる。正しい。

ポイント: 対角化できると $A^n=P{D}^n{P}^{-1}$ で $A$ のべき乗が簡単に計算できます。$D^n$ は対角成分を $n$ 乗するだけだからです。

3. 対称行列の直交対角化

実対称行列($A^T=A$)は次の強い性質をもちます。

• 固有値はすべて実数
• 異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する
• 適当な直交行列 $P$($P^T=P^{-1}$)で対角化できる($P^{T}AP=D$)

例題: の固有値を求め、直交行列で対角化できることを確かめよ。

特性方程式 $\det (A-\lambda I)=(2-\lambda {)}^2-1={\lambda }^2-4\lambda +3=(\lambda -1\left)\right(\lambda -3)=0$。固有値は $\lambda =1,3$(実数)。

$\lambda =3$: より固有ベクトル $\left(11\right)$。$\lambda =1$: 固有ベクトル $\left(1-1\right)$。

検算: 2つの固有ベクトルの内積は $1\cdot 1+1\cdot (-1)=0$ で直交する。正規化して とすれば直交行列で、。対称行列の性質と整合する。

4. 二次形式

変数 $x_1,\dots ,x_n$ の2次の同次式 $q\left(x\right)=x^{T}Ax$($A$ は対称行列)を二次形式といいます。対称行列 $A$ を直交対角化すると、二次形式は平方の和(標準形)になります。

例題: 二次形式 $q=2x^2+2xy+2y^2$ を標準形に直せ。

対応する対称行列は (前問と同じ)。固有値 $3,1$ により、新しい変数 $u,v$ で

$q=3u^2+v^2$

検算: $A$ の固有値は $3,1$ で、標準形の係数はちょうど固有値になる。両固有値が正なので $q$ は正定値($x\ne 0$ で $q>0$)である。実際 $q=2x^2+2xy+2y^2=(x+y{)}^2+x^2+y^2>0$($x\ne 0$)と平方完成でき、整合する。

大事: 二次形式の正定値性は固有値の符号で判定します。すべての固有値が正なら正定値、すべて負なら負定値、正負混在なら不定符号。これは多変数関数の極値判定(前章のヘッセ行列)と直結します。

どう問われるか

• 一次では「固有値・固有ベクトルを求めよ」「行列を対角化せよ」が頻出。$3\times 3$ も出る。
• 二次では「対称行列の直交対角化」「二次形式の標準形と正定値判定」「$A^n$ の計算や連立微分方程式への応用」が問われます。

まとめ

• 固有値は $\det (A-\lambda I)=0$ の解、固有ベクトルは $(A-\lambda I)x=0$ の非自明解
• 和 = トレース、積 = 行列式(検算に有効)
• 対角化 $P^{-1}AP=D$、対称行列は直交行列で対角化可
• 二次形式は固有値で標準形・正定値性が決まる

次章では、不確かさを数理的に扱う確率統計(確率分布・期待値分散・回帰相関)を学びます。