微分方程式 — 変数分離・1階線形・定数係数2階線形

この章で学ぶこと

未知関数とその導関数を含む方程式が微分方程式です。1級で問われる代表的な3つの型を、解法とともに学びます。

• 変数分離形の微分方程式
• 1階線形微分方程式(積分因子)
• 定数係数2階線形微分方程式(特性方程式)
• 初期条件による任意定数の決定

ポイント: 微分方程式を解くとは「その方程式を満たす関数を求める」こと。型を見分けて対応する解法に持ち込み、最後に必ず元の方程式へ代入して検算するのが鉄則です。

1. 変数分離形

$\frac{dy}{dx}=f\left(x\right)g\left(y\right)$ の形は、$y$ と $x$ を左右に分けて両辺を積分します。

$\frac{dy}{g\left(y\right)}=f\left(x\right)\hspace{0.17em}dx\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} \int \frac{dy}{g\left(y\right)}=\int f\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$

例題: $\frac{dy}{dx}=2xy$、$y\left(0\right)=1$ を解け。

$y\ne 0$ として変数分離する。

$\frac{dy}{y}=2x\hspace{0.17em}dx\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} \log \mid y\mid =x^2+C_1\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} y=C{e}^{x^2}$

初期条件 $y\left(0\right)=1$ より $C{e}^0=C=1$。よって $y=e^{x^2}$。

検算: $y=e^{x^2}$ を微分すると $y^{\prime }=2x{e}^{x^2}=2xy$。元の方程式を満たす。また $y\left(0\right)=e^0=1$。初期条件も満たす。正しい。

2. 1階線形微分方程式

$\frac{dy}{dx}+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)$ の形は、積分因子 $\mu \left(x\right)=e^{\int P\left(x\right)\hspace{0.17em}dx}$ を両辺にかけると左辺が $(\mu y{)}^{\prime }$ にまとまります。

$\frac{d}{dx}\left(\mu \right(x\left)y\right)=\mu \left(x\right)Q\left(x\right)\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} y=\frac{1}{\mu \left(x\right)}(\int \mu (x\left)Q\right(x)\hspace{0.17em}dx+C)$

例題: $\frac{dy}{dx}+y=e^x$ を解け。

$P\left(x\right)=1$ なので積分因子は $\mu =e^{\int 1\hspace{0.17em}dx}=e^x$。両辺に $e^x$ をかける。

$e^x{y}^{\prime }+e^{x}y=e^x\cdot e^x=e^{2x}\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} (e^{x}y{)}^{\prime }=e^{2x}$

両辺を積分して

$e^{x}y=\frac{1}{2}{e}^{2x}+C\hspace{0.25em} ⟹\hspace{0.25em} y=\frac{1}{2}{e}^x+C{e}^{-x}$

検算: $y=\frac{1}{2}{e}^x+C{e}^{-x}$ より $y^{\prime }=\frac{1}{2}{e}^x-C{e}^{-x}$。$y^{\prime }+y=(\frac{1}{2}{e}^x-C{e}^{-x})+(\frac{1}{2}{e}^x+C{e}^{-x})=e^x$。元の方程式を満たす。正しい。

3. 定数係数2階線形微分方程式(同次)

$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$ の形は、$y=e^{\lambda x}$ を代入して得られる特性方程式

${\lambda }^2+a\lambda +b=0$

の根によって一般解が決まります。

特性方程式の根	一般解
相異なる実数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$	$y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$
重根 $\lambda$	$y=(C_1+C_{2}x)e^{\lambda x}$
共役複素数 $p\pm qi$	$y=e^{px}(C_1\cos qx+C_2\sin qx)$

例題: $y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=0$ を解け。

特性方程式は ${\lambda }^2-3\lambda +2=0$、すなわち $(\lambda -1)(\lambda -2)=0$ で $\lambda =1,2$(相異なる実数)。よって

$y=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}$

検算: $y=e^x$ について $y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=e^x-3e^x+2e^x=0$。$y=e^{2x}$ について $4e^{2x}-6e^{2x}+2e^{2x}=0$。どちらも満たす。正しい。

例題(複素根): $y^{\prime \prime }+4y=0$ を解け。

特性方程式 ${\lambda }^2+4=0$ より $\lambda =\pm 2i$($p=0, q=2$)。よって

$y=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x$

検算: $y=\cos 2x$ について $y^{\prime \prime }=-4\cos 2x$、$y^{\prime \prime }+4y=-4\cos 2x+4\cos 2x=0$。満たす。正しい。

大事: 2階線形微分方程式の一般解は任意定数を2つ($C_1,C_2$)含みます。$n$ 階線形なら任意定数は $n$ 個。初期条件(または境界条件)が $n$ 個与えられて初めて解が一意に定まります。

4. 初期値問題の例

例題: $y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=0$、$y\left(0\right)=0, y^{\prime }\left(0\right)=1$ を解け。

一般解 $y=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}$、$y^{\prime }=C_1{e}^x+2C_2{e}^{2x}$。初期条件を代入する。

$\{y\left(0\right)=C_1+C_2=0y^{\prime }\left(0\right)=C_1+2C_2=1$

辺々引くと $C_2=1$、よって $C_1=-1$。

$y=-e^x+e^{2x}$

検算: $y\left(0\right)=-1+1=0$、$y^{\prime }=-e^x+2e^{2x}$ で $y^{\prime }\left(0\right)=-1+2=1$。両方の初期条件を満たす。正しい。

どう問われるか

• 一次では「与えられた微分方程式の一般解を求めよ」が頻出。型(変数分離・1階線形・2階線形)の見分けが鍵。
• 二次では「初期条件・境界条件つきで特解を求める」「物理現象(減衰振動・人口モデルなど)を微分方程式で記述して解く」応用が問われます。

まとめ

• 変数分離形は $\frac{dy}{g\left(y\right)}=f\left(x\right)dx$ にして両辺積分
• 1階線形は積分因子 $\mu =e^{\int Pdx}$ をかけて $(\mu y{)}^{\prime }=\mu Q$
• 定数係数2階線形は特性方程式の根で場合分け
• 任意定数の個数 = 階数、初期条件で確定

次章では、変数が複数ある関数を扱う多変数(偏微分・全微分・重積分・極値)を学びます。