微分法 — 微分・テイラー展開・平均値の定理

この章で学ぶこと

解析の土台となる1変数関数の微分を、大学レベルで整理します。高校で学んだ微分を、平均値の定理とテイラー展開という強力な道具で深めます。

• 導関数の定義と基本的な微分公式
• 合成関数・積・商の微分
• 平均値の定理(ロルの定理・ラグランジュの平均値の定理)
• テイラー展開・マクローリン展開
• ロピタルの定理による不定形の極限

ポイント: 微分の中核は「局所的な変化率」です。テイラー展開は関数を多項式で近似する技法、平均値の定理は「微分の情報から関数全体の性質を引き出す」橋渡しの定理です。

1. 導関数の定義と基本公式

関数 $f$ の点 $x$ における導関数は、極限

$f^{\prime }\left(x\right)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

が存在するとき、その値として定義されます。この極限が存在するとき $f$ は $x$ で微分可能であるといい、微分可能ならばそこで連続です(逆は成り立ちません)。

基本的な微分公式:

関数	導関数
$x^n$	$n{x}^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$\log x$	$\frac{1}{x} (x>0)$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x$

2. 合成関数・積・商の微分

• 積の微分: $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$
• 商の微分: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2} (g\ne 0)$
• 合成関数(連鎖律): $\frac{d}{dx}f\left(g\right(x\left)\right)=f^{\prime }\left(g\right(x\left)\right)\hspace{0.17em}{g}^{\prime }\left(x\right)$

例題: $y=x^2{e}^{3x}$ を微分せよ。

積の微分を使う。$f=x^2, g=e^{3x}$ とおくと $f^{\prime }=2x$、$g^{\prime }=3e^{3x}$(連鎖律)。

$y^{\prime }=2x\hspace{0.17em}{e}^{3x}+x^2\cdot 3e^{3x}=(2x+3x^2)e^{3x}=x(2+3x)e^{3x}$

検算: $x=0$ で $y^{\prime }=0$。一方 $y=x^2{e}^{3x}$ は $x=0$ で最小値 $0$ をとり接線が水平なので $y^{\prime }\left(0\right)=0$ と整合する。

3. 平均値の定理

ロルの定理: $f$ が閉区間 $[a,b]$ で連続、開区間 $(a,b)$ で微分可能で $f\left(a\right)=f\left(b\right)$ ならば、$f^{\prime }\left(c\right)=0$ を満たす $c\in (a,b)$ が存在する。

ラグランジュの平均値の定理: $f$ が $[a,b]$ で連続、$(a,b)$ で微分可能ならば、 $\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=f^{\prime }\left(c\right)$ を満たす $c\in (a,b)$ が存在する。

例題: $f\left(x\right)=x^2$ について、区間 $[1,3]$ で平均値の定理を満たす $c$ を求めよ。

$\frac{f\left(3\right)-f\left(1\right)}{3-1}=\frac{9-1}{2}=4=f^{\prime }\left(c\right)=2c$

よって $c=2$。これは $(1,3)$ の内部にあり、定理の主張と整合する。

検算: $f^{\prime }\left(2\right)=2\cdot 2=4$、平均変化率も $4$。一致する。

4. テイラー展開とマクローリン展開

$f$ が点 $a$ の近くで何回でも微分可能なとき、$a$ のまわりのテイラー展開は

$f\left(x\right)=\sum n=0\infty \frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}(x-a{)}^n$

特に $a=0$ の場合をマクローリン展開といいます。代表的な展開:

$e^x=\sum n=0\infty \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$ $\sin x=\sum n=0\infty \frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$ $\cos x=\sum n=0\infty \frac{(-1{)}^n}{\left(2n\right)!}{x}^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$

例題: $\log (1+x)$ のマクローリン展開を $x^3$ の項まで求めよ。

$f\left(x\right)=\log (1+x)$ とおく。導関数を順に計算する。

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{1+x},f^{\prime \prime }\left(x\right)=-\frac{1}{(1+x{)}^2},f^{\prime \prime \prime }\left(x\right)=\frac{2}{(1+x{)}^3}$

$x=0$ での値は $f\left(0\right)=0$、$f^{\prime }\left(0\right)=1$、$f^{\prime \prime }\left(0\right)=-1$、$f^{\prime \prime \prime }\left(0\right)=2$。よって

$\log (1+x)=0+1\cdot x+\frac{-1}{2!}{x}^2+\frac{2}{3!}{x}^3+\cdots =x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$

検算: 既知の展開 $\log (1+x)=\sum n=1\infty \frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n$ と各係数が一致($1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3}$)する。正しい。

大事: テイラー展開には剰余項(誤差)が付きます。$f\left(x\right)=\sum k=0n\frac{f^{\left(k\right)}\left(a\right)}{k!}(x-a{)}^k+R_n$ で、ラグランジュ型剰余は $R_n=\frac{f^{(n+1)}\left(\xi \right)}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}$($\xi$ は $a$ と $x$ の間)。近似の精度を議論するときに使います。

5. ロピタルの定理

$\frac{0}{0}$ や $\frac{\infty }{\infty }$ の不定形の極限は、分子分母を微分して比べられます。

ロピタルの定理: $x\to a$ で $f,g\to 0$(または $\pm \infty$)で、$g^{\prime }\left(x\right)\ne 0$ かつ $\lim \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$ が存在すれば、$\lim x\to a\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim x\to a\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$。

例題: $\lim x\to 0\frac{\sin x-x}{x^3}$ を求めよ。

$x\to 0$ で分子分母とも $0$。ロピタルを3回適用するか、テイラー展開を使う。展開で計算すると

$\sin x-x=(x-\frac{x^3}{6}+\cdots \hspace{0.17em})-x=-\frac{x^3}{6}+\cdots$ ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}={\lim }_{x\to 0}\frac{-\frac{x^3}{6}+\cdots }{x^3}=-\frac{1}{6}$

検算: ロピタルで確認。1回微分で $\frac{\cos x-1}{3x^2}$($0/0$)、2回で $\frac{-\sin x}{6x}$($0/0$)、3回で $\frac{-\cos x}{6}\to -\frac{1}{6}$。一致する。

どう問われるか

• 一次では「指定された関数の導関数を求めよ」「不定形の極限を求めよ」が頻出。積商・連鎖律を素早く正確に。
• 二次では「テイラー展開を用いて近似値や極限を求める」「平均値の定理を用いて不等式を証明する」など、定理の活用が問われます。

まとめ

• 導関数は変化率の極限。積商・連鎖律で複雑な関数も微分できる
• 平均値の定理は「平均変化率 = ある点の微分係数」を保証する
• テイラー展開は関数を多項式で近似($e^x,\sin x,\cos x,\log (1+x)$ は暗記)
• 不定形の極限はロピタルの定理かテイラー展開で

次章では、微分の逆である積分法(積分技法・定積分・広義積分)を学びます。