多変数の微積分(偏微分・重積分) 一問一答

この一問一答で出る問題

全11問。答えと解説は「スタート」を押すと1問ずつ表示されます。

1. 関数 f(x, y) = x^2 y + y^3 の偏導関数 ∂f/∂x はどれですか。
   • ・2xy
   • ・x^2 + 3y^2
   • ・2xy + 3y^2
   • ・x^2 + y^3
2. 関数 f(x, y) = x^2 y + y^3 の偏導関数 ∂f/∂y はどれですか。
   • ・2xy
   • ・x^2 + y^2
   • ・x^2 + 3y^2
   • ・2x + 3y^2
3. 関数 f(x, y) = x^2 + y^2 の点 (1, 2) における勾配ベクトル ∇f はどれですか。
   • ・成分は (1, 2)
   • ・成分は (2, 4)
   • ・成分は (2, 2)
   • ・成分は (4, 2)
4. 重積分 ∫∫_D dx dy(D は 0≦x≦1, 0≦y≦2 の長方形領域)の値はどれですか。
   • ・1
   • ・3
   • ・4
   • ・2
5. 累次積分 ∫[0→1] ∫[0→1] (x + y) dx dy の値はどれですか。
   • ・1
   • ・1/2
   • ・2
   • ・1/4
6. 極座標変換 x = r cos θ, y = r sin θ における重積分の面積要素 dx dy はどう書き換えられますか。
   • ・dr dθ
   • ・r^2 dr dθ
   • ・r dr dθ
   • ・(1/r) dr dθ
7. 関数 f(x, y) = x^2 + y^2 を、極座標を用いて単位円板 D(x^2 + y^2 ≦ 1)上で重積分 ∫∫_D f dx dy した値はどれですか。
   • ・π
   • ・π/2
   • ・2π
   • ・π/4
8. 2変数関数の極値判定で使われる「ヘッセ行列の行列式 H = f_xx f_yy - (f_xy)^2」を用いた条件として、正しいものはどれですか(停留点で)。
   • ・H > 0 かつ f_xx > 0 なら極大
   • ・H < 0 なら必ず極小
   • ・H = 0 なら必ず極大
   • ・H > 0 かつ f_xx > 0 なら極小
9. 関数 f(x, y) = x² - y² + 3 の停留点 (0, 0) は、どのように判定されますか。
   • ・極小
   • ・鞍点(極値ではない)
   • ・極大
   • ・この判定法では決まらない
10. 0 ≦ x ≦ 1、0 ≦ y ≦ x の三角形領域上の累次積分 ∫[0→1] ∫[0→x] f(x, y) dy dx について、積分順序を変えた形はどれですか。
    • ・∫[0→1] ∫[0→y] f(x, y) dx dy
    • ・∫[0→1] ∫[0→1] f(x, y) dx dy
    • ・∫[0→1] ∫[y→1] f(x, y) dx dy
    • ・∫[0→x] ∫[0→1] f(x, y) dx dy
11. 関数 f(x, y) = x³y² の混合偏導関数 f_xy はどれですか。
    • ・6xy²
    • ・3x²y²
    • ・2x³y
    • ・6x²y