数検1級

確率統計 — 確率分布・期待値分散・回帰相関

最終確認日: 2026年6月17日

この章で学ぶこと

不確かさを数理的に扱う確率統計を学びます。期待値・分散と代表的な分布、データから関係を読みとる回帰・相関が中心です。

確率変数と確率分布(離散・連続)
期待値と分散
二項分布・正規分布
相関係数と回帰直線(最小二乗法)

ポイント: 期待値は「平均的にどうなるか」、分散は「ばらつきの大きさ」を表す最も基本的な量です。連続分布では「確率密度関数を積分して確率を出す」のがポイント。回帰・相関は2変数データの関係を測ります。

1. 確率変数と期待値・分散

確率変数 $X$ の期待値(平均) $E [X]$ と分散 $V [X]$ は、離散・連続でそれぞれ次のように定義します。

	離散	連続(密度 $f$ )
期待値	$E [X] = \sum_{i} x_{i} p_{i}$	$E [X] = \int - \infty \infty x f (x) d x$
分散	$V [X] = \sum_{i} (x_{i} - μ)^{2} p_{i}$	$V [X] = \int (x - μ)^{2} f (x) d x$

分散は $V [X] = E [X^{2}] - (E [X])^{2}$ でも計算できます。標準偏差は $σ = \sqrt{V [X]}$ 。

例題: さいころの目 $X$ ( $1 \sim 6$ が等確率 $\frac{1}{6}$ )の期待値と分散を求めよ。

$E [X] = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$ $E [X^{2}] = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}$ $V [X] = E [X^{2}] - (E [X])^{2} = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$

検算: $\frac{91}{6} = \frac{182}{12}$ 、 $\frac{49}{4} = \frac{147}{12}$ 、差 $\frac{35}{12} \approx 2.92$ 。分散は正で妥当な大きさ。正しい。

2. 連続分布の例

例題: 確率密度 $f (x) = 2 x (0 \leq x \leq 1)$ 、それ以外 $0$ の確率変数 $X$ の期待値を求めよ(全確率が $1$ になることも確認せよ)。

まず全確率: $\int 012 x d x = [x^{2}] 01 = 1$ ( $\circ$ 、密度として正当)。期待値は

$E [X] = \int 01 x \cdot 2 x d x = \int 012 x^{2} d x = [\frac{2 x^{3}}{3}] 01 = \frac{2}{3}$

検算: 密度が右上がり( $0 \leq x \leq 1$ で大きい $x$ ほど起こりやすい)なので、平均は区間の中点 $0.5$ より大きい $\frac{2}{3} \approx 0.67$ になるのは妥当。正しい。

3. 二項分布と正規分布

二項分布 $B (n, p)$ : 成功確率 $p$ の試行を $n$ 回行ったときの成功回数 $X$ の分布。

$P (X = k) = (\frac{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}, E [X] = n p, V [X] = n p (1 - p)$

例題: コインを $10$ 回投げたときの表の回数 $X$ ( $p = \frac{1}{2}$ )の期待値と分散を求めよ。

$E [X] = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5, V [X] = 10 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{10}{4} = 2.5$

検算: $10$ 回中だいたい半分の $5$ 回が表になるのは直感に合う。分散 $2.5$ 、標準偏差 $\sqrt{2.5} \approx 1.58$ 。正しい。

正規分布 $N (μ, σ^{2})$ : 平均 $μ$ ・分散 $σ^{2}$ の連続分布で、密度は

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \exp ⁣ (- \frac{(x - μ)^{2}}{2 σ^{2}})$

平均を中心とした左右対称の釣鐘形で、 $X$ を $Z = \frac{X - μ}{σ}$ と標準化すると標準正規分布 $N (0, 1)$ に従います。二項分布は $n$ が大きいとき正規分布で近似できます。

大事: 正規分布では「平均 $\pm$ 標準偏差」の範囲に約 $68 %$ 、「平均 $\pm 2 σ$ 」に約 $95 %$ が入ります( $68$ - $95$ - $99.7$ 則)。標準化して標準正規分布表を引くのが確率計算の基本手順です。

4. 相関係数と回帰直線

2変数データ $(x_{i}, y_{i})$ の関係の強さは相関係数

$r = \frac{\sum (x_{i} - x ˉ) (y_{i} - y ˉ)}{\sqrt{\sum (x_{i} - x ˉ)^{2}} \sqrt{\sum (y_{i} - y ˉ)^{2}}} = \frac{s_{x y}}{s_{x} s_{y}}$

で測ります( $- 1 \leq r \leq 1$ )。 $r$ が $1$ に近いほど右上がりの直線関係が強い。最小二乗法による回帰直線 $y = a x + b$ の傾きは

$a = \frac{s_{x y}}{s} = \frac{\sum (x_{i} - x ˉ) (y_{i} - y ˉ)}{\sum (x_{i} - x ˉ)^{2}}, b = y ˉ - a x ˉ$

例題: データ $(1, 2), (2, 2), (3, 4), (4, 4)$ の回帰直線を最小二乗法で求めよ。

平均は $x ˉ = \frac{1 + 2 + 3 + 4}{4} = 2.5$ 、 $y ˉ = \frac{2 + 2 + 4 + 4}{4} = 3$ 。偏差の積和と平方和を計算する。

$\sum (x_{i} - x ˉ) (y_{i} - y ˉ) = (- 1.5) (- 1) + (- 0.5) (- 1) + (0.5) (1) + (1.5) (1) = 1.5 + 0.5 + 0.5 + 1.5 = 4$ $\sum (x_{i} - x ˉ)^{2} = (- 1.5)^{2} + (- 0.5)^{2} + (0.5)^{2} + (1.5)^{2} = 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 = 5$

傾き $a = \frac{4}{5} = 0.8$ 、切片 $b = 3 - 0.8 \cdot 2.5 = 3 - 2 = 1$ 。よって回帰直線は

$y = 0.8 x + 1$

検算: 予測値は $x = 1, 2, 3, 4$ で $1.8, 2.6, 3.4, 4.2$ 。実測 $2, 2, 4, 4$ との残差は $0.2, - 0.6, 0.6, - 0.2$ で和が $0$ (最小二乗の性質)。また直線は点 $(x ˉ, y ˉ) = (2.5, 3)$ を通る( $0.8 \cdot 2.5 + 1 = 3$ )。正しい。

どう問われるか

一次では「期待値・分散の計算」「二項分布・正規分布の確率」が頻出。標準化と確率表の利用が鍵。
二次では「連続分布の期待値・分散を積分で求める」「相関係数・回帰直線を計算する」「仮説検定・推定の基礎」が問われます。

よくまちがえるところ

確率統計は、言葉の定義の混同がそのまま計算の誤りになる分野です。

まちがい	例	直し方
独立と排反を混同する	同時に起こらないから独立だとする	排反は同時に起こらないこと、独立は同時に起こる確率が各確率の積になること。別の概念
分散の加法を無条件に使う	V[X + Y] = V[X] + V[Y] をいつでも使う	独立(または無相関)のときに限る。一般には共分散の2倍が加わる
定数項を分散に足す	V[2X + 3] を 4V[X] + 3 とする	V[aX + b] = a² V[X]。定数 b は分散を変えない
相関を因果と読む	相関係数が 0.9 だから x が y の原因だとする	相関は直線的な関係の強さで、因果を意味しない

もっとも根が深いのは独立と排反の混同です。2つの事象が排反(同時に起こらない)であれば、同時に起こる確率は 0 です。一方、独立であれば同時に起こる確率は各確率の積になります。どちらの確率も正であるとき、この2つは両立しません。積が正なのに 0 になることはないからです。つまり排反な2事象は(確率が正なら)独立ではないのです。「関係がない」という日常語で両者を一括りにしないでください。

もう1つ、相関係数が 0 に近いことは「関係がない」ことを意味しません。相関係数が測るのは直線的な関係の強さだけです。放物線のうえに並んだデータのように、明確な関係があっても相関係数がほぼ 0 になる場合があります。散布図を描いて形を見るのが基本です。

たしかめ方

計算結果は次の観点で検算します。どれも短時間で確認できます。

見るところ	成り立つべきこと	破れていたら
確率の合計	離散なら合計が 1、連続なら密度の全積分が 1	場合の数え落とし、または規格化定数の誤り
分散の符号	分散は必ず 0 以上	E[X²] と (E[X])² の順序が逆
期待値の位置	期待値は取りうる値の範囲の中に入る	重みづけの取りちがえ
相関係数の範囲	-1 以上 1 以下	分母の標準偏差の計算ミス
回帰直線	x と y それぞれの平均を座標とする点を通る	切片の計算ミス
二項分布	分散 np(1-p) は期待値 np より小さい	1 - p を掛け忘れている

密度関数の例で確かめます。f(x) = 2x(0 ≦ x ≦ 1)なら全積分は 1 で密度として正当、期待値は 2/3 です。密度が右上がりなので平均が区間の中点 0.5 より大きくなるのは妥当で、値の位置からも整合が取れます。

回帰直線の例では、データ (1,2)、(2,2)、(3,4)、(4,4) から y = 0.8x + 1 が得られました。x の平均 2.5、y の平均 3 を代入すると 0.8 × 2.5 + 1 = 3 となり、確かに平均の点を通ります。残差の合計が 0 になることも、最小二乗法の性質からくる検算になります。