積分法 — 積分技法・定積分・広義積分

この章で学ぶこと

微分の逆演算である積分を、大学レベルの技法とともに整理します。積分は「求積(面積・体積)」と「微分方程式の解」の両方で土台になります。

• 不定積分の基本公式
• 置換積分・部分積分
• 部分分数分解による有理関数の積分
• 定積分と微積分の基本定理
• 広義積分(無限区間・特異点)

ポイント: 積分には微分のような万能の公式がなく、「どの技法に持ち込むか」を見抜く力が要です。置換・部分積分・部分分数の3つが基本道具で、これで多くの初等関数が積分できます。

1. 不定積分の基本公式

$F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$ となる $F$ を $f$ の原始関数といい、$\int f\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=F\left(x\right)+C$($C$ は積分定数)と書きます。

被積分関数	不定積分
$x^n (n\ne -1)$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
$\frac{1}{x}$	$\log \mid x\mid +C$
$e^x$	$e^x+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\frac{1}{1+x^2}$	$\arctan x+C$

2. 置換積分と部分積分

置換積分: $t=g\left(x\right)$ とおくと $dt=g^{\prime }\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$ により変数を変換します。

$\int f\left(g\right(x\left)\right)g^{\prime }\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=\int f\left(t\right)\hspace{0.17em}dt$

部分積分: 積の微分公式を積分に直したもの。

$\int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$

例題: $\int x{e}^x\hspace{0.17em}dx$ を求めよ。

部分積分で $f=x, g^{\prime }=e^x$ とおくと $f^{\prime }=1, g=e^x$。

$\int x{e}^x\hspace{0.17em}dx=x{e}^x-\int 1\cdot e^x\hspace{0.17em}dx=x{e}^x-e^x+C=(x-1)e^x+C$

検算: $\frac{d}{dx}\left\{\right(x-1\left)e^x\right\}=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$。被積分関数に戻る。正しい。

例題: $\int 2x\cos \left(x^2\right)\hspace{0.17em}dx$ を求めよ。

$t=x^2$ とおくと $dt=2x\hspace{0.17em}dx$。

$\int 2x\cos \left(x^2\right)\hspace{0.17em}dx=\int \cos t\hspace{0.17em}dt=\sin t+C=\sin \left(x^2\right)+C$

検算: $\frac{d}{dx}\sin \left(x^2\right)=\cos \left(x^2\right)\cdot 2x$。戻る。正しい。

3. 部分分数分解

有理関数の積分は、分母を因数分解して部分分数に分けると計算できます。

例題: $\int \frac{1}{x^2-1}\hspace{0.17em}dx$ を求めよ。

$x^2-1=(x-1)(x+1)$ なので、$\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$ とおく。両辺に分母をかけ $1=A(x+1)+B(x-1)$。$x=1$ で $A=\frac{1}{2}$、$x=-1$ で $B=-\frac{1}{2}$。

$\int \frac{1}{x^2-1}\hspace{0.17em}dx=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x-1}-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1}=\frac{1}{2}\log \mid \frac{x-1}{x+1}\mid +C$

検算: $\frac{d}{dx}\left\{\frac{1}{2}\right(\log \mid x-1\mid -\log \mid x+1\mid \left)\right\}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{x^2-1}=\frac{1}{x^2-1}$。戻る。正しい。

4. 定積分と微積分の基本定理

微積分の基本定理: $f$ が $[a,b]$ で連続、$F$ をその原始関数とすると、 $\int abf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

例題: $\int 0\pi \sin x\hspace{0.17em}dx$ を求めよ。

$\int 0\pi \sin x\hspace{0.17em}dx=[-\cos x]0\pi =(-\cos \pi )-(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=2$

検算: $\sin x\ge 0$ が $[0,\pi ]$ で成り立ち、面積として正の値 $2$。半周期の正弦の面積が $2$ になるのは既知の結果と一致する。

5. 広義積分

積分区間が無限、または被積分関数が区間内で発散する場合は、極限で定義する広義積分を考えます。

$\int a\infty f\left(x\right)\hspace{0.17em}dx={\lim }_{R\to \infty }\int aRf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx$

例題: $\int 0\infty e^{-x}\hspace{0.17em}dx$ を求めよ。

$\int 0\infty e^{-x}\hspace{0.17em}dx={\lim }_{R\to \infty }[-e^{-x}]0R={\lim }_{R\to \infty }(-e^{-R}+1)=0+1=1$

検算: $R\to \infty$ で $e^{-R}\to 0$。よって積分値は $1$ に収束する。

例題: $\int 0\infty x{e}^{-x}\hspace{0.17em}dx$ を求めよ。

部分積分で $\int x{e}^{-x}\hspace{0.17em}dx=-x{e}^{-x}-e^{-x}+C=-(x+1)e^{-x}+C$。よって

$\int 0\infty x{e}^{-x}\hspace{0.17em}dx=[-(x+1\left)e^{-x}\right]0\infty =0-(-(0+1)\cdot 1)=1$

検算: これはガンマ関数 $\Gamma \left(2\right)=1!=1$ に等しい。一般に $\int 0\infty x^n{e}^{-x}dx=n!$ が成り立ち、$n=1$ で $1$。一致する。

大事: 広義積分は「まず有限区間で計算し、極限をとる」のが原則です。極限が有限の値に収束すれば収束、発散すれば発散といいます。たとえば $\int 1\infty \frac{dx}{x}$ は発散、$\int 1\infty \frac{dx}{x^2}=1$ は収束します。

どう問われるか

• 一次では「指定された関数の不定積分・定積分を求めよ」が頻出。置換・部分積分・部分分数の判断が鍵。
• 二次では「広義積分の収束判定と値の計算」「回転体の体積・曲線の長さ」など、積分の応用が問われます。

まとめ

• 積分の3大技法は置換積分・部分積分・部分分数分解
• 定積分は原始関数の差(微積分の基本定理)
• 広義積分は有限区間で計算してから極限をとる
• $\int 0\infty x^n{e}^{-x}dx=n!$(ガンマ関数)は頻出

次章では、積分を使って解く微分方程式(変数分離・1階線形・定数係数2階線形)を学びます。