この章で学ぶこと
微分の逆演算である積分を、大学レベルの技法とともに整理します。積分は「求積(面積・体積)」と「微分方程式の解」の両方で土台になります。
不定積分の基本公式
置換積分・部分積分
部分分数分解による有理関数の積分
定積分と微積分の基本定理
広義積分(無限区間・特異点)
ポイント: 積分には微分のような万能の公式がなく、「どの技法に持ち込むか」を見抜く力が要です。置換・部分積分・部分分数の3つが基本道具で、これで多くの初等関数が積分できます。
1. 不定積分の基本公式
F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x) = f(x) F ′ ( x ) = f ( x ) F F F f f f 原始関数 といい、∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + C ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C C C C
被積分関数 不定積分 x n ( n ≠ − 1 ) x^n\ (n \neq -1) x n ( n = − 1 ) x n + 1 n + 1 + C \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C n + 1 x n + 1 + C 1 x \dfrac{1}{x} x 1 log ∣ x ∣ + C \log\vert x\vert + C log ∣ x ∣ + C e x e^x e x e x + C e^x + C e x + C sin x \sin x sin x − cos x + C -\cos x + C − cos x + C cos x \cos x cos x sin x + C \sin x + C sin x + C 1 1 + x 2 \dfrac{1}{1+x^2} 1 + x 2 1 arctan x + C \arctan x + C arctan x + C
2. 置換積分と部分積分
置換積分: t = g ( x ) t = g(x) t = g ( x ) d t = g ′ ( x ) d x dt = g'(x)\,dx d t = g ′ ( x ) d x
∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = ∫ f ( t ) d t \int f(g(x)) g'(x)\, dx = \int f(t)\, dt ∫ f ( g ( x )) g ′ ( x ) d x = ∫ f ( t ) d t
部分積分: 積の微分公式を積分に直したもの。
∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) − ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x \int f(x) g'(x)\, dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x)\, dx ∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) − ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x
例題: ∫ x e x d x \displaystyle\int x e^x\, dx ∫ x e x d x
部分積分で f = x , g ′ = e x f = x,\ g' = e^x f = x , g ′ = e x f ′ = 1 , g = e x f' = 1,\ g = e^x f ′ = 1 , g = e x
∫ x e x d x = x e x − ∫ 1 ⋅ e x d x = x e x − e x + C = ( x − 1 ) e x + C \int x e^x\, dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x\, dx = x e^x - e^x + C = (x-1)e^x + C ∫ x e x d x = x e x − ∫ 1 ⋅ e x d x = x e x − e x + C = ( x − 1 ) e x + C
検算: d d x { ( x − 1 ) e x } = e x + ( x − 1 ) e x = x e x \dfrac{d}{dx}\{(x-1)e^x\} = e^x + (x-1)e^x = x e^x d x d {( x − 1 ) e x } = e x + ( x − 1 ) e x = x e x
例題: ∫ 2 x cos ( x 2 ) d x \displaystyle\int 2x \cos(x^2)\, dx ∫ 2 x cos ( x 2 ) d x
t = x 2 t = x^2 t = x 2 d t = 2 x d x dt = 2x\,dx d t = 2 x d x
∫ 2 x cos ( x 2 ) d x = ∫ cos t d t = sin t + C = sin ( x 2 ) + C \int 2x \cos(x^2)\, dx = \int \cos t\, dt = \sin t + C = \sin(x^2) + C ∫ 2 x cos ( x 2 ) d x = ∫ cos t d t = sin t + C = sin ( x 2 ) + C
検算: d d x sin ( x 2 ) = cos ( x 2 ) ⋅ 2 x \dfrac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x d x d sin ( x 2 ) = cos ( x 2 ) ⋅ 2 x
3. 部分分数分解
有理関数の積分は、分母を因数分解して部分分数 に分けると計算できます。
例題: ∫ 1 x 2 − 1 d x \displaystyle\int \frac{1}{x^2 - 1}\, dx ∫ x 2 − 1 1 d x
x 2 − 1 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) x^2 - 1 = (x-1)(x+1) x 2 − 1 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) 1 ( x − 1 ) ( x + 1 ) = A x − 1 + B x + 1 \dfrac{1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+1} ( x − 1 ) ( x + 1 ) 1 = x − 1 A + x + 1 B 1 = A ( x + 1 ) + B ( x − 1 ) 1 = A(x+1) + B(x-1) 1 = A ( x + 1 ) + B ( x − 1 ) x = 1 x=1 x = 1 A = 1 2 A = \tfrac12 A = 2 1 x = − 1 x=-1 x = − 1 B = − 1 2 B = -\tfrac12 B = − 2 1
∫ 1 x 2 − 1 d x = 1 2 ∫ d x x − 1 − 1 2 ∫ d x x + 1 = 1 2 log ∣ x − 1 x + 1 ∣ + C \int \frac{1}{x^2-1}\, dx = \frac{1}{2}\int\frac{dx}{x-1} - \frac{1}{2}\int\frac{dx}{x+1} = \frac{1}{2}\log\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C ∫ x 2 − 1 1 d x = 2 1 ∫ x − 1 d x − 2 1 ∫ x + 1 d x = 2 1 log x + 1 x − 1 + C
検算: d d x { 1 2 ( log ∣ x − 1 ∣ − log ∣ x + 1 ∣ ) } = 1 2 ( 1 x − 1 − 1 x + 1 ) = 1 2 ⋅ 2 x 2 − 1 = 1 x 2 − 1 \dfrac{d}{dx}\left\{\tfrac12(\log|x-1| - \log|x+1|)\right\} = \tfrac12\left(\dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{x+1}\right) = \tfrac12\cdot\dfrac{2}{x^2-1} = \dfrac{1}{x^2-1} d x d { 2 1 ( log ∣ x − 1∣ − log ∣ x + 1∣ ) } = 2 1 ( x − 1 1 − x + 1 1 ) = 2 1 ⋅ x 2 − 1 2 = x 2 − 1 1
4. 定積分と微積分の基本定理
微積分の基本定理: f f f [ a , b ] [a,b] [ a , b ] F F F ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a) ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a )
例題: ∫ 0 π sin x d x \displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\, dx ∫ 0 π sin x d x
∫ 0 π sin x d x = [ − cos x ] 0 π = ( − cos π ) − ( − cos 0 ) = − ( − 1 ) − ( − 1 ) = 2 \int_0^{\pi} \sin x\, dx = \Big[-\cos x\Big]_0^{\pi} = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 2 ∫ 0 π sin x d x = [ − cos x ] 0 π = ( − cos π ) − ( − cos 0 ) = − ( − 1 ) − ( − 1 ) = 2
検算: sin x ≥ 0 \sin x \geq 0 sin x ≥ 0 [ 0 , π ] [0,\pi] [ 0 , π ] 2 2 2 2 2 2
5. 広義積分
積分区間が無限、または被積分関数が区間内で発散する場合は、極限で定義する広義積分 を考えます。
∫ a ∞ f ( x ) d x = lim R → ∞ ∫ a R f ( x ) d x \int_a^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{R \to \infty} \int_a^{R} f(x)\, dx ∫ a ∞ f ( x ) d x = lim R → ∞ ∫ a R f ( x ) d x
例題: ∫ 0 ∞ e − x d x \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-x}\, dx ∫ 0 ∞ e − x d x
∫ 0 ∞ e − x d x = lim R → ∞ [ − e − x ] 0 R = lim R → ∞ ( − e − R + 1 ) = 0 + 1 = 1 \int_0^{\infty} e^{-x}\, dx = \lim_{R \to \infty} \Big[-e^{-x}\Big]_0^{R} = \lim_{R \to \infty}\left(-e^{-R} + 1\right) = 0 + 1 = 1 ∫ 0 ∞ e − x d x = lim R → ∞ [ − e − x ] 0 R = lim R → ∞ ( − e − R + 1 ) = 0 + 1 = 1
検算: R → ∞ R \to \infty R → ∞ e − R → 0 e^{-R} \to 0 e − R → 0 1 1 1
例題: ∫ 0 ∞ x e − x d x \displaystyle\int_0^{\infty} x e^{-x}\, dx ∫ 0 ∞ x e − x d x
部分積分で ∫ x e − x d x = − x e − x − e − x + C = − ( x + 1 ) e − x + C \displaystyle\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C ∫ x e − x d x = − x e − x − e − x + C = − ( x + 1 ) e − x + C
∫ 0 ∞ x e − x d x = [ − ( x + 1 ) e − x ] 0 ∞ = 0 − ( − ( 0 + 1 ) ⋅ 1 ) = 1 \int_0^{\infty} x e^{-x}\, dx = \Big[-(x+1)e^{-x}\Big]_0^{\infty} = 0 - (-(0+1)\cdot 1) = 1 ∫ 0 ∞ x e − x d x = [ − ( x + 1 ) e − x ] 0 ∞ = 0 − ( − ( 0 + 1 ) ⋅ 1 ) = 1
検算: これはガンマ関数 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 \Gamma(2) = 1! = 1 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 ∫ 0 ∞ x n e − x d x = n ! \displaystyle\int_0^\infty x^{n} e^{-x}dx = n! ∫ 0 ∞ x n e − x d x = n ! n = 1 n=1 n = 1 1 1 1
大事: 広義積分は「まず有限区間で計算し、極限をとる」のが原則です。極限が有限の値に収束すれば収束 、発散すれば発散 といいます。たとえば ∫ 1 ∞ d x x \displaystyle\int_1^\infty \dfrac{dx}{x} ∫ 1 ∞ x d x ∫ 1 ∞ d x x 2 = 1 \displaystyle\int_1^\infty \dfrac{dx}{x^2} = 1 ∫ 1 ∞ x 2 d x = 1
どう問われるか
一次では「指定された関数の不定積分・定積分を求めよ」が頻出。置換・部分積分・部分分数の判断が鍵。
二次では「広義積分の収束判定と値の計算」「回転体の体積・曲線の長さ」など、積分の応用が問われます。
よくまちがえるところ
積分法は技法の選択と、変換にともなう付随情報の書き換え でつまずきます。
まちがい 例 直し方 置換積分で積分区間を変え忘れる ∫(0 から 1) 2x cos(x²) dx で t = x² と置いたのに区間を 0 から 1 のままにする x = 0 で t = 0、x = 1 で t = 1。今回はたまたま同じだが、t = x² + 1 なら 1 から 2 になる 部分積分で f と g' の選び方を誤る ∫log x dx で log x を g' 側に置く log x や arctan x は f 側、1 を g' 側に置く 1/x の積分で絶対値を落とす ∫dx/x = log x + C と書く log の中は絶対値。x が負の区間でも通用する形にする 広義積分で極限をとらず端点を代入する ∫(1 から ∞) dx/x を log∞ - log1 として有限扱いする 有限区間 1 から R で計算して R → ∞。この積分は発散する
いちばん多いのは置換したのに区間を直さない ことです。置換積分は変数の世界を移す操作なので、被積分関数・微分要素・積分区間の3つをそろって書き換える必要があります。書き換えを1つでも落とすと、計算は最後まで進むのに値だけが違う、という発見しにくい誤りになります。防ぐには、置いた直後に「dt = ... dx」と「x = a のとき t = ...、x = b のとき t = ...」を必ず並べて書くこと。あるいは不定積分として計算しきり、t を x に戻してからもとの区間で代入する方法に統一してもかまいません。
積分の型を見分ける
被積分関数の形から技法を選びます。この対応表を身体に入れると、手が止まりません。
被積分関数の形 使う技法 例 f(g(x)) g'(x) の形 置換積分(t = g(x)) 2x cos(x²) 多項式 × 指数関数・三角関数 部分積分(多項式を f 側に) x e^x log x、arctan x など単独 部分積分(g' = 1 とみる) log x 分母が因数分解できる有理関数 部分分数分解 1/(x² - 1) 分母が 1 + x² の形 arctan の公式 1/(1 + x²) √(a² - x²) を含む 三角置換 x = a sinθ √(1 - x²) 分子が分母の導関数 log に直す (2x)/(x² + 1)
部分積分で多項式を f 側に置くのは、微分すると次数が下がって最後に消えるからです。逆に log x は微分すると 1/x になって扱いやすくなるので、こちらも f 側です。微分して簡単になるほうを f 側 、という一言でまとめられます。
大事: 広義積分は「収束するか」の判定が先で、値の計算はそのあとです。無限区間では、被積分関数が 1/x^p の形なら p が 1 より大きいとき収束し、1 以下のとき発散します(区間は 1 から ∞)。原点近くの特異点では逆に、p が 1 より小さいとき収束します(区間は 0 から 1)。この2つの基準を覚えておくと、比較判定で多くの問題が処理できます。
自分でチェック
置換積分で被積分関数・微分要素・積分区間の3つを書き換えられる
部分積分で微分して簡単になるほうを f 側に置ける
1/x の不定積分に絶対値を付けられる
被積分関数の形から技法を選べる
1/x^p 型の広義積分の収束条件を区間ごとに言える
まとめ
積分の3大技法は置換積分・部分積分・部分分数分解
定積分は原始関数の差(微積分の基本定理)
広義積分は有限区間で計算してから極限をとる
∫ 0 ∞ x n e − x d x = n ! \int_0^\infty x^n e^{-x}dx = n! ∫ 0 ∞ x n e − x d x = n !
次章では、積分を使って解く微分方程式 (変数分離・1階線形・定数係数2階線形)を学びます。
