剰余の定理じょうよのていり

剰余じょうよの定理ていりとは、多項式たこうしき$P\left(x\right)$ を 1 次つぎ式しき$(x-a)$ で割わったときの余あまりは $P\left(a\right)$ に等ひとしいという定理ていりです。実際じっさいに割わり算ざんをしなくても余あまりがわかります。

割われる式しき	余あまり
$(x-a)$	$P\left(a\right)$
$(x+a)$	$P(-a)$
$(ax-b)$	$P\hspace{0.17em}\left(\frac{b}{a}\right)$

たとえば $P\left(x\right)=x^3-2x+1$ を $(x-2)$ で割わった余あまりは $P\left(2\right)=8-4+1=5$ です。$(x-\alpha )(x-\beta )$ で割わった余あまりは 1 次つぎ式しき$ax+b$ となり、$P\left(\alpha \right),P\left(\beta \right)$ を使つかった連立れんりつ方程式ほうていしきで決きまります。

試験しけんでは 「割わった余あまりを求もとめよ」「余あまりが〜となるよう定数ていすうを定さだめよ」が定番ていばん。$P\left(a\right)=0$ なら因数定理いんすうていりに直結ちょっけつし、$(x-a)$ が因数いんすうとわかる。