相加平均と相乗平均そうかへいきんとそうじょうへいきん

相加平均そうかへいきんと相乗そうじょう平均へいきんの関係かんけいとは、正せいの数$a,b$ に対たいし $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ が成なり立たつことです。等号とうごうは $a=b$ のときのみ。両辺りょうへんを 2 倍ばいした $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ の形かたちでもよく使つかいます。

個数こすう	不等式ふとうしき	等号とうごう
2 個こ	$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$	$a=b$
3 個こ	$\frac{a+b+c}{3}\ge abc3$	$a=b=c$

たとえば $x>0$ のとき $x+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}=2$ となり、最小さいしょう値ち 2（$x=1$ のとき）がすぐにわかります。

試験しけんでは 「$x>0$ で〜の最小さいしょう値ちを求もとめよ」が定番ていばん。使つかうには両方りょうほうが正せいであることと、積$ab$ が定数ていすうになっていることが条件じょうけん。等号とうごう成立せいりつの $a=b$ が範囲はんい内ないかも必かならず確認かくにんする。