二項係数にこうけいすう

二に項こう係数けいすうとは、$n$個から $k$個を選えらぶ組合くみあわせの数$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ のことです。二項定理にこうていり $(a+b{)}^n$ の展開てんかいで各項かくこうの係数けいすうとなります。

性質せいしつ	式しき	意味いみ
対称たいしょう性せい	$C(n,k)=C(n,n-k)$	端はじから数かぞえても同おなじ
総和そうわ	$C(n,0)+C(n,1)+\cdots +C(n,n)=2^n$	1 段だんの合計ごうけいが $2^n$
パスカル則のり	$C(n,k)+C(n,k+1)=C(n+1,k+1)$	上うえの隣となり合あう 2 数かずの和わ

たとえば $C(5,2)=\frac{5!}{2!\hspace{0.17em}3!}=10$ です。対称たいしょう性せいから $C(5,2)=C(5,3)$ となり、計算けいさんする側がわを選えらんで楽らくができます。

ポイント $C(n,k)$ は「組合くみあわせ」そのものなので、確率かくりつ・場合ばあいの数かずとも共通きょうつうの道具どうぐ。パスカル則のりはパスカルの三角形パスカルのさんかっけいの作つくり方かたそのものであり、証明しょうめい問題もんだいでもよく使つかわれる。