二項定理（にこうていり）とは｜意味・読み方・使い方

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二に項こう定理ていりとは、 $(a + b)^{n}$ を展開てんかいしたときの各項かくこうの係数けいすうを二項係数にこうけいすう $C (n, k)$ で表あらわす公式こうしきです。 $(a + b)^{n} = \sum k = 0 n C (n, k) a^{n - k} b^{k}$ と書かけます。

$n$	$(a + b)^{n}$ の展開てんかい	係数けいすうの並ならび
2	$a^{2} + 2 a b + b^{2}$	1, 2, 1
3	$a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$	1, 3, 3, 1
4	$a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$	1, 4, 6, 4, 1

係数けいすうはパスカルの三角形パスカルのさんかっけいの各かく段だんとまったく同おなじ数かずが並ならびます。たとえば $(a + b)^{4}$ で $a^{2} b^{2}$ の項こうの係数けいすうは $C (4, 2) = 6$ です。一般いっぱん項こうは $C (n, k) a^{n - k} b^{k}$ なので、特定とくていの項こうだけを取とり出だして係数けいすうを求もとめることもできます。

試験しけんでは 「 $(2 x - 3)^{5}$ の $x^{2}$ の係数けいすうを求もとめよ」のように、特定とくていの項こうの係数けいすうを一般いっぱん項こう $C (n, k) a^{n - k} b^{k}$ から求もとめる問題もんだいが定番ていばん。 $a, b$ に何なにを当あてはめるかを丁寧ていねいに見極みきわめよう。確率かくりつ分野ぶんやの二項定理にこうていりの応用おうようとも結むすびつく。

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$n$	$(a + b)^{n}$ の展開てんかい	係数けいすうの並ならび
2	$a^{2} + 2 a b + b^{2}$	1, 2, 1
3	$a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$	1, 3, 3, 1
4	$a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$	1, 4, 6, 4, 1

試験しけんでは 「 $(2 x - 3)^{5}$ の $x^{2}$ の係数けいすうを求もとめよ」のように、特定とくていの項こうの係数けいすうを一般いっぱん項こう $C (n, k) a^{n - k} b^{k}$ から求もとめる問題もんだいが定番ていばん。 $a, b$ に何なにを当あてはめるかを丁寧ていねいに見極みきわめよう。確率かくりつ分野ぶんやの二項定理にこうていりの応用おうようとも結むすびつく。

二項定理にこうていり

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