式しき と 証明しょうめい一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

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1. 二項定理にこうていり $(a+b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ で、 $(a+b)^4$ の展開てんかいの各項かくこうの係数けいすうとして正ただしい並ならびはどれですか？
   • ・$1, 3, 3, 1$
   • ・$1, 5, 10, 10, 5, 1$
   • ・$1, 2, 1$
   • ・$1, 4, 6, 4, 1$
2. $(2x - y)^5$ を展開てんかいしたとき、 $x^2 y^3$ の係数けいすうはいくつですか？
   • ・$40$
   • ・$80$
   • ・$-40$
   • ・$-80$
3. パスカルの三角形パスカルのさんかっけい の第$n$行 ($n$段だん目め、 $\binom{n}{0}$ から $\binom{n}{n}$ まで) の全すべての数かずを足たすと、 何なにになりますか？
   • ・$n$
   • ・$n!$
   • ・$2^n$
   • ・$n^2$
4. 整式せいしき$x^3 - 2x^2 + 5$ を $x - 1$ で割わったときの 商しょうと余あまり の組くみはどれですか？
   • ・商 $x^2 - x - 1$、 余 り $4$
   • ・商 $x^2 - 2x$、 余 り $5$
   • ・商 $x^2 + x + 1$、 余 り $6$
   • ・商 $x^2 - 3x + 3$、 余 り $2$
5. 「恒等式こうとうしき」 と 「方程式ほうていしき」 の違ちがいとして、 最もっとも正ただしい説明せつめいはどれですか？
   • ・恒等式 は 文字 を 含 ま な い 等 式、 方程式 は 文字 を 含 む 等 式
   • ・恒等式 は 不 等 号 を 含 む 式、 方程式 は 等 号 を 含 む 式
   • ・恒等式 と 方程式 は 同 じ 意 味
   • ・恒等式 は 文字 に ど ん な 値 を 入 れ て も 成 り 立 つ 等 式、 方程式 は 特 定 の 値 で だ け 成 り 立 つ 等 式
6. $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{a}{x-1} + \dfrac{b}{x+2}$ が $x$ についての 恒等式こうとうしき となるよう、 定数ていすう$a, b$ を求もとめなさい。
   • ・$a = 1, \; b = -1$
   • ・$a = \dfrac{1}{3}, \; b = -\dfrac{1}{3}$
   • ・$a = \dfrac{1}{2}, \; b = -\dfrac{1}{2}$
   • ・$a = 3, \; b = -3$
7. 整式せいしき$A$ を整式せいしき$B$ ($B \neq 0$) で割わった商しょうを $Q$、 余あまりを $R$ とするとき、 $R$ が満みたすべき条件じょうけんは次つぎのうちどれですか？
   • ・$\deg R = \deg B$
   • ・$\deg R > \deg B$
   • ・$\deg R < \deg B$
   • ・$R = 0$ で な け れ ば な ら な い
8. $a + b + c = 0$ の と き、 $a^3 + b^3 + c^3$ の 値あたい を $abc$ で表あらわすとどうなりますか？
   • ・$3abc$
   • ・$0$
   • ・$abc$
   • ・$-3abc$
9. 相加平均と相乗平均そうかへいきんとそうじょうへいきん の関係かんけい ($a > 0, b > 0$ で $\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$) で、 等号とうごうが成立せいりつする のはどのときですか？
   • ・$a = 0$ ま た は $b = 0$ の と き
   • ・$a + b = 1$ の と き
   • ・$a = b$ の と き
   • ・$ab = 1$ の と き
10. $x > 0$ のとき、 $x + \dfrac{4}{x}$ の 最小値さいしょうち はいくつで、 それは $x$ がどの値あたいのときですか？
    • ・最 小 値 $2$、 $x = 1$ の と き
    • ・最 小 値 $4$、 $x = 2$ の と き
    • ・最 小 値 $4$、 $x = 4$ の と き
    • ・最 小 値 が 存 在 し な い
11. $a^2 + b^2 \geq 2ab$ を示しめすとき、 最もっとも標準ひょうじゅん的てきな出発しゅっぱつ点てんはどれですか？
    • ・両 辺 を $2$ で 割 っ て 平 方 す る
    • ・$a = b$ の 場 合 だ け 確 か め る
    • ・$a, b$ が 共 に 正 で あ る こ と を 仮 定 す る
    • ・$a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 \geq 0$ を 計 算 す る
12. $(a+b+c)^n$ を展開てんかいしたとき、 $a^p b^q c^r$ ($p+q+r = n$) の係数けいすうを表あらわす 多項定理たこうていり の式しきはどれですか？
    • ・$\dfrac{n!}{p + q + r}$
    • ・$\dfrac{n!}{p! \, q! \, r!}$
    • ・$p! \cdot q! \cdot r!$
    • ・$\binom{n}{p} + \binom{n}{q} + \binom{n}{r}$
13. $(a + b)^7$ の展開てんかいで、 $a^3 b^4$ の項こうの 係数けいすう はいくつですか？
    • ・$21$
    • ・$42$
    • ・$70$
    • ・$35$
14. $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+1}$ を一ひとつの分数ぶんすうにまとめるとどうなりますか？
    • ・$\dfrac{1}{x(x+1)}$
    • ・$\dfrac{2}{x(x+1)}$
    • ・$\dfrac{2x-1}{x(x+1)}$
    • ・$\dfrac{2x+1}{x(x+1)}$
15. $a > 0, b > 0$ の と き、 $a + b = 4$ な ら $ab$ の 最大値さいだいち はいくつですか？
    • ・$2$
    • ・$8$
    • ・$4$
    • ・$16$
16. $ax^2 + bx + c \equiv 3x^2 - 5x + 2$ が $x$ についての 恒等式こうとうしき であるとき、 $a, b, c$ の値あたいはどう決きまりますか？
    • ・$a = -3, b = 5, c = -2$
    • ・$a, b, c$ は 自 由 に 選 べ る
    • ・$a = 3, b = -5, c = 2$ (係 数 比 較)
    • ・$x$ の 値 が わ か ら な い と 決 め ら れ な い
17. $a, b$ を正せいの実数じっすうとする。 $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}$ の 最小値さいしょうち はいくつですか？
    • ・$2$
    • ・$0$
    • ・$1$
    • ・$4$
18. 整式せいしき$f(x) = x^3 + ax + b$ が $(x - 1)$ と $(x + 2)$ の両方りょうほうで割わり切きれるとき、 $a, b$ はいくつですか？
    • ・$a = -7, \; b = 6$
    • ・$a = 3, \; b = -2$
    • ・$a = 1, \; b = -2$
    • ・$a = -3, \; b = 2$
19. 実数じっすう$a, b$ が $a^2 + b^2 = 1$ を満みたすとき、 $a + b$ の 最大値さいだいち はいくつですか？
    • ・$1$
    • ・$2$
    • ・$\sqrt{2}$
    • ・$2\sqrt{2}$
20. 二項定理にこうていり を使つかうと、 $1.01^{10}$ の近似きんじ値ちを簡単かんたんに計算けいさんできます。 $1.01^{10} = (1 + 0.01)^{10}$ の 最初さいしょの 2 項こう の和わ ($k = 0, 1$) はどの値あたいですか？
    • ・$1.01$
    • ・$1.5$
    • ・$2$
    • ・$1.1$