多項定理たこうていり

多項たこう定理ていりとは、$(a_1+a_2+\cdots +a_m{)}^n$ を展開てんかいしたときの各項かくこうの係数けいすうを与あたえる公式こうしきです。項$a1pa2q\dots amr$（ただし $p+q+\cdots +r=n$）の係数けいすうは $\frac{n!}{p!\hspace{0.17em}q!\dots r!}$ で求もとまります。

比較ひかく	式しき	各項かくこうの係数けいすう
二項定理にこうていり（$m=2$）	$(a+b{)}^n$	$\frac{n!}{p!\hspace{0.17em}q!}$
多項たこう定理ていり（$m=3$）	$(a+b+c{)}^n$	$\frac{n!}{p!\hspace{0.17em}q!\hspace{0.17em}r!}$

たとえば $(x+y+z{)}^4$ の $x\hspace{0.17em}y\hspace{0.17em}{z}^2$ の係数けいすうは、$p=1,q=1,r=2$ として $\frac{4!}{1!\hspace{0.17em}1!\hspace{0.17em}2!}=12$ です。二に項こう定理ていり（$m=2$ の場合ばあい）を自然しぜんに拡張かくちょうしたものといえます。

試験しけんでは どの文字もじを何なん乗じょうするか（指数しすうの組くみ）を正ただしく決きめ、$p+q+r=n$ を確認かくにんしてから $\frac{n!}{p!\hspace{0.17em}q!\hspace{0.17em}r!}$ に代入だいにゅうする流ながれが問とわれる。指数しすうの合計ごうけいが $n$ にならない組くみは存在そんざいしないので要よう注意ちゅうい。