高校数学II 第2章高次方程式｜複素数・剰余の定理・因数定理

この章しょうで学まなぶこと

数学すうがく I までであつかった方程式ほうていしきは 二に次じまで でした。中なかには解かいをもたない (実数じっすうの範囲はんいで) ものもありました。この章しょうでは 数すうの世界せかいを拡ひろげ て、すべての二に次じ方程式ほうていしきが解かいをもつようにし、さらに 三さん次じ・四よん次じ方程式ほうていしき にも進すすみます。

虚数単位きょすうたんい $i$ ( $i^{2} = - 1$ ) と 複素数ふくそすう $a + b i$ の四則しそくを計算けいさんできる
共役複素数きょうやくふくそすう と 複素数の絶対値ふくそすうのぜったいち の性質せいしつを理解りかいする
剰余の定理じょうよのていり ・ 因数定理いんすうていり で整式せいしきの因数いんすうを見みつけられる
三さん次じ方程式ほうていしき ・ 四よん次じ方程式ほうていしき を因数いんすう分解ぶんかいで解とける
解と係数の関係かいとけいすうのかんけい (二に次じ・三さん次じ) を使つかえる

ポイント: $x^{2} = - 1$ の解かいを認みとめると、「任意にんいの $n$ 次じ方程式ほうていしきはちょうど $n$ 個の解かいをもつ」という美うつくしい定理ていり (代数学の基本定理だいすうがくのきほんていり) が成なり立たちます。

1. 複素数ふくそすう

虚数きょすう単位たんいと複素数ふくそすう

$i^{2} = - 1$ を満みたす数 $i$ を 虚数単位きょすうたんい といい、実数じっすう $a, b$ を用もちいて $a + b i$ と書かける数かずを 複素数ふくそすう といいます。 $a$ を 実部じつぶ、 $b$ を 虚部きょぶ といいます。

種類しゅるい	形かたち	例れい
実数じっすう	$a + 0 i = a$	$3$ 、 $- \sqrt{2}$
純じゅん虚数きょすう	$0 + b i = b i$ ( $b \neq 0$ )	$2 i$ 、 $- i$
虚数きょすう	$a + b i$ ( $b \neq 0$ )	$1 + 2 i$

四則しそく計算けいさん

二ふたつの複素数ふくそすう $z_{1} = a + b i$ 、 $z_{2} = c + d i$ について、

加法かほう: $z_{1} + z_{2} = (a + c) + (b + d) i$
減法げんぽう: $z_{1} - z_{2} = (a - c) + (b - d) i$
乗法じょうほう: $z_{1} z_{2} = (a c - b d) + (a d + b c) i$ ( $i^{2} = - 1$ を使つかう)
除法じょほう: $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{(a + b i) (c - d i)}{(c + d i) (c - d i)} = \frac{(a c + b d) + (b c - a d) i}{c^{2} + d^{2}}$ (分母ぶんぼを実数じっすう化か)

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$(2 + 3 i) + (1 - 4 i)$	$3 - i$
$(2 + 3 i) (1 - 2 i)$	$2 - 4 i + 3 i - 6 i^{2} = 2 - i + 6 = 8 - i$
$\frac{1 + i}{1 - i}$	$\frac{(1 + i)^{2}}{(1 - i) (1 + i)} = \frac{2 i}{2} = i$

共役きょうやく複素数ふくそすうと絶対ぜったい値ち

$z = a + b i$ に対たいし、 共役複素数きょうやくふくそすう を $z ˉ = a - b i$ と定さだめます。性質せいしつ:

$z + z ˉ = 2 a$ (実数じっすう)、 $z z ˉ = a^{2} + b^{2}$ (実数じっすうかつ 0 以上いじょう)
$z_{1} + z_{2} ‾ = z_{1} ˉ + z_{2} ˉ$ 、 $z_{1} z_{2} ‾ = z_{1} ˉ z_{2} ˉ$
複素数の絶対値ふくそすうのぜったいち: $∣ z ∣ = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 、 $∣ z ∣^{2} = z z ˉ$

2. 二に次じ方程式ほうていしきと解かいの判別はんべつ

解かいの公式こうしきと判別はんべつ式しき

$a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq 0$ ) の解かいは

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

判別式はんべつしき $D = b^{2} - 4 a c$ で解かいの種類しゅるいがわかります。

$D$	解かい
$D > 0$	異ことなる 2 実じつ解かい
$D = 0$	重じゅう解かい (2 重じゅう解かい)
$D < 0$	異ことなる 2 虚うろ解かい (互たがいに共役きょうやく)

解かいと係数けいすうの関係かんけい (二に次じ)

$a x^{2} + b x + c = 0$ の二に解かいを $α, β$ とすると、

$α + β = - \frac{b}{a}, α β = \frac{c}{a}$

例題れいだい

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$ の二に解かいを $α, β$ とする。 $α^{2} + β^{2}$ を求もとめよ。

$α + β = 5$ 、 $α β = 6$ 。 $α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β = 25 - 12 = 13$ 。

3. 剰余じょうよの定理ていりと因数いんすう定理ていり

剰余じょうよの定理ていり

整式せいしき $f (x)$ を $x - a$ で割わった余あまりは $f (a)$ に等ひとしい。これを 剰余の定理じょうよのていり といいます。

例題れいだい

$f (x) = x^{3} - 2 x + 5$ を $x - 2$ で割わった余あまりは? $f (2) = 8 - 4 + 5 = 9$ 。

因数いんすう定理ていり

$f (a) = 0$ ⇔ $f (x)$ は $(x - a)$ を 因数いんすう にもつ。これを 因数定理いんすうていり といい、高次こうじ方程式ほうていしきの解法かいほうの鍵かぎです。

大事だいじ: 因数いんすうを探さがすときは、 定数ていすう項こうの約数やくすう を $a$ の候補こうほとして試ためします (整数せいすう解かいがある場合ばあい)。

4. 高次こうじ方程式ほうていしきの解法かいほう

三さん次じ方程式ほうていしき

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6 = 0$ を解とく。

手順てじゅん 1: 候補こうほ (定数ていすう項こう $- 6$ の約数やくすう) $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ を試ためす。 $f (1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ⇒ $(x - 1)$ が因数いんすう。

手順てじゅん 2: $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 5 x + 6)$ と割わり算ざんで求もとめる。

手順てじゅん 3: $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3) = 0$ ⇒ $x = 2, 3$ 。

答えこたえ: $x = 1, 2, 3$ 。

四よん次じ方程式ほうていしきと虚数きょすう解かい

$x^{4} - 1 = 0$ ⇒ $(x^{2} - 1) (x^{2} + 1) = 0$ ⇒ $(x - 1) (x + 1) (x - i) (x + i) = 0$ 。解かいは $x = \pm 1, \pm i$ の 4 個こ。

やってみよう: $x^{3} - 1 = 0$ を解とけ。 (答えこたえ: $x = 1$ 、 $x = \frac{- 1 \pm \sqrt{3} i}{2}$ )

解かいと係数けいすうの関係かんけい (三さん次じ)

$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ の三さん解かいを $α, β, γ$ とすると、

$α + β + γ = - \frac{b}{a}, α β + β γ + γ α = \frac{c}{a}, α β γ = - \frac{d}{a}$

5. 組立くみたて除法じょほうと二に次じ方程式ほうていしきの作成さくせい

組立くみたて除法じょほう

整式せいしきを $(x - a)$ で割われるときに使つかえる便利べんりな計算けいさん法ほうが 組立くみたて除法じょほう です。係数けいすうだけを並ならべ、順じゅんにかけて足たしていくだけで商しょうと余あまりが出でます。

例題れいだい

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ を $(x - 2)$ で割われる:

	$1$	$- 4$	$1$	$6$
$a = 2$		$2$	$- 4$	$- 6$
	$1$	$- 2$	$- 3$	$0$

商しょうは $x^{2} - 2 x - 3$ 、余あまりは $0$ 。つまり $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 = (x - 2) (x^{2} - 2 x - 3) = (x - 2) (x - 3) (x + 1)$ 。三さん次じ方程式ほうていしきの解かいは $x = 2, 3, - 1$ 。

二に解かいを指定していして二に次じ方程式ほうていしきを作つくる

$α, β$ を解かいとする二に次じ方程式ほうていしき (係数けいすうが整数せいすうとして) は、解かいと係数けいすうの関係かんけいを逆用ぎゃくようして、

$x^{2} - (α + β) x + α β = 0$

例題れいだい

$2 + \sqrt{3}$ と $2 - \sqrt{3}$ を解かいとする二に次じ方程式ほうていしきを求もとめよ。

和 $= 4$ 、積 $= (2)^{2} - (\sqrt{3})^{2} = 4 - 3 = 1$ 。よって $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 。

大事だいじ: 実数じっすう係数けいすうの方程式ほうていしきが虚数きょすう解かい $a + b i$ をもてば、必かならずその 共役きょうやく $a - b i$ も解かいです。二に解かいのセットを単位たんいとして考かんがえると楽らく。

まとめ

複素数ふくそすう $a + b i$ で数かずの世界せかいを拡ひろげ、任意にんいの二に次じ方程式ほうていしきが解かいをもつ
判別式はんべつしき $D = b^{2} - 4 a c$ で解かいの種類しゅるいを判定はんていする
剰余の定理じょうよのていり ・ 因数定理いんすうていり で整式せいしきの因数いんすうを見みつけ、高次こうじ方程式ほうていしきを解とく
候補こうほ因数いんすうは 定数ていすう項こうの約数やくすう から試ためす
解と係数の関係かいとけいすうのかんけい で解かいを求もとめずに対称たいしょう式しきが計算けいさんできる

次じの章しょう: 第だい 3 章しょうでは 座標平面ざひょうへいめん に戻もどり、直線ちょくせん・円えんの方程式ほうていしきをあつかいます。数学すうがく I の二に次じ関数かんすうと接続せつぞくし、図形ずけいを式しきで解とく力ちからを育そだてます。