高次こうじ方程式ほうていしき

この 章しょう で 学まなぶ こと

数学すうがく I まで で あつかった 方程式ほうていしき は 二に次じ まで で した。 中なか に は 解かい を もた ない (実数じっすう の 範囲はんい で) もの も あり ました。 この 章しょう で は 数すう の 世界せかい を 拡ひろげ て、 すべて の 二に次じ方程式ほうていしき が 解かい を もつ よう に し、 さらに 三さん次じ ・ 四よん次じ方程式ほうていしき に も 進すすみ ます。

• 虚数単位きょすうたんい $i$ ($i^2=-1$) と 複素数ふくそすう $a+bi$ の 四則しそく を 計算けいさん できる
• 共役複素数きょうやくふくそすう と 複素数 の 絶対値ふくそすう の ぜったいち の 性質せいしつ を 理解りかい する
• 剰余の定理じょうよのていり ・ 因数定理いんすうていり で 整式せいしき の 因数いんすう を 見みつけられる
• 三さん次じ方程式ほうていしき ・ 四よん次じ方程式ほうていしき を 因数いんすう分解ぶんかい で 解とける
• 解と係数の関係かいとけいすうのかんけい (二に次じ ・ 三さん次じ) を 使つかえる

ポイント: $x^2=-1$ の 解かい を 認みとめる と、 「任意にんい の $n$次じ方程式ほうていしき は ちょうど $n$個 の 解かい を もつ」 と いう 美うつくしい 定理ていり (代数学 の 基本定理だいすうがく の きほんていり) が 成なり立たち ます。

1. 複素数ふくそすう

虚数きょすう単位たんい と 複素数ふくそすう

$i^2=-1$ を 満みたす 数$i$ を 虚数単位きょすうたんい と いい、 実数じっすう$a,b$ を 用もちいて $a+bi$ と 書かける 数かず を 複素数ふくそすう と いい ます。 $a$ を 実み部ぶ、 $b$ を 虚うろ部ぶ と いい ます。

種類しゅるい	形かたち	例れい
実数じっすう	$a+0i=a$	$3$、 $-\sqrt{2}$
純じゅん虚数きょすう	$0+bi=bi$ ($b\ne 0$)	$2i$、 $-i$
虚数きょすう	$a+bi$ ($b\ne 0$)	$1+2i$

四則しそく計算けいさん

二に つ の 複素数ふくそすう$z_1=a+bi$、 $z_2=c+di$ について、

• 加法かほう: $z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$
• 減法げんぽう: $z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i$
• 乗法じょうほう: $z_1{z}_2=(ac-bd)+(ad+bc)i$ ($i^2=-1$ を 使つかう)
• 除法じょほう: $\frac{z_1}{z_2}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ (分母ぶんぼ を 実数じっすう化か)

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$(2+3i)+(1-4i)$	$3-i$
$(2+3i)(1-2i)$	$2-4i+3i-6i^2=2-i+6=8-i$
$\frac{1+i}{1-i}$	$\frac{(1+i{)}^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i}{2}=i$

共役きょうやく複素数ふくそすう と 絶対ぜったい値ち

$z=a+bi$ に 対たいし、 共役複素数きょうやくふくそすう を $zˉ=a-bi$ と 定さだめ ます。 性質せいしつ:

• $z+zˉ=2a$ (実数じっすう)、 $zzˉ=a^2+b^2$ (実数じっすう か つ 0 以上いじょう)
• $z_1+z_2‾=z_1ˉ+z_2ˉ$、 $z_1{z}_2‾=z_1ˉz_2ˉ$
• 複素数 の 絶対値ふくそすう の ぜったいち: $\mid z\mid =\sqrt{a^2+b^2}$、 $\mid z{\mid }^2=zzˉ$

2. 二に次じ方程式ほうていしき と 解かいの判別はんべつ

解かい の 公式こうしき と 判別はんべつ式しき

$a{x}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$) の 解かい は

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

判別式はんべつしき $D=b^2-4ac$ で 解かい の 種類しゅるい が わかり ます。

$D$	解かい
$D>0$	異こと な る 2 実じつ解かい
$D=0$	重じゅう解かい (2 重じゅう解かい)
	[異

解かい と 係数けいすう の 関係かんけい (二に次じ)

$a{x}^2+bx+c=0$ の 二に解かい を $\alpha ,\beta$ と する と、

$\alpha +\beta =-\frac{b}{a},\alpha \beta =\frac{c}{a}$

例題れいだい

$x^2-5x+6=0$ の 二に解かい を $\alpha ,\beta$ と する。 ${\alpha }^2+{\beta }^2$ を 求もとめよ。

$\alpha +\beta =5$、 $\alpha \beta =6$。 ${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =25-12=13$。

3. 剰余じょうよの定理ていり と 因数いんすう定理ていり

剰余じょうよの定理ていり

整式せいしき$f\left(x\right)$ を $x-a$ で 割わった 余あまり は $f\left(a\right)$ に 等ひとしい。 これ を 剰余の定理じょうよのていり と いい ます。

例題れいだい

$f\left(x\right)=x^3-2x+5$ を $x-2$ で 割わった 余あまり は? $f\left(2\right)=8-4+5=9$。

因数いんすう定理ていり

$f\left(a\right)=0$ ⇔ $f\left(x\right)$ は $(x-a)$ を 因数いんすう に もつ。 これ を 因数定理いんすうていり と いい、 高次こうじ方程式ほうていしき の 解法かいほう の 鍵かぎ です。

大事だいじ: 因数いんすう を 探さがす とき は、 定数ていすう項こう の 約数やくすう を $a$ の 候補こうほ と して 試ためし ます (整数せいすう解かい が ある 場合ばあい)。

4. 高次こうじ方程式ほうていしき の 解法かいほう

三さん次じ方程式ほうていしき

$f\left(x\right)=x^3-6x^2+11x-6=0$ を 解とく。

手順てじゅん 1: 候補こうほ (定数ていすう項こう$-6$ の 約数やくすう) $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$ を 試ためす。 $f\left(1\right)=1-6+11-6=0$ ⇒ $(x-1)$ が 因数いんすう。

手順てじゅん 2: $f\left(x\right)=(x-1)(x^2-5x+6)$ と 割わり算ざん で 求もとめる。

手順てじゅん 3: $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)=0$ ⇒ $x=2,3$。

答こたえ: $x=1,2,3$。

四よん次じ方程式ほうていしき と 虚数きょすう解かい

$x^4-1=0$ ⇒ $(x^2-1)(x^2+1)=0$ ⇒ $(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)=0$。 解かい は $x=\pm 1,\pm i$ の 4 個こ。

やって みよう: $x^3-1=0$ を 解とけ。 (答こたえ: $x=1$、 $x=\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$)

解かい と 係数けいすう の 関係かんけい (三さん次じ)

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ の 三さん解かい を $\alpha ,\beta ,\gamma$ と する と、

$\alpha +\beta +\gamma =-\frac{b}{a},\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\frac{c}{a},\alpha \beta \gamma =-\frac{d}{a}$

5. 組立くみたて除法じょほう と 二に次じ方程式ほうていしき の 作成さくせい

組立くみたて除法じょほう

整式せいしき を $(x-a)$ で 割われる とき に 使つかえ る 便利べんり な 計算けいさん法ほう が 組立くみたて除法じょほう で す。 係数けいすう だ け を 並ならべ、 順じゅん に か け て 足あし し て い く だ け で 商しょう と 余あまり が 出で ま す。

例題れいだい

$x^3-4x^2+x+6$ を $(x-2)$ で 割われる:

	$1$	$-4$	$1$	$6$
$a=2$		$2$	$-4$	$-6$
	$1$	$-2$	$-3$	$0$

商しょう は $x^2-2x-3$、 余あまり は $0$。 つ ま り $x^3-4x^2+x+6=(x-2)(x^2-2x-3)=(x-2)(x-3)(x+1)$。 三さん次じ方程式ほうていしき の 解かい は $x=2,3,-1$。

二に解かい を 指定してい し て 二に次じ方程式ほうていしき を 作つくる

$\alpha ,\beta$ を 解かい と す る 二に次じ方程式ほうていしき (係数けいすう が 整数せいすう と し て) は、 解かい と 係数けいすう の 関係かんけい を 逆用ぎゃくよう し て、

$x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =0$

例題れいだい

$2+\sqrt{3}$ と $2-\sqrt{3}$ を 解かい と す る 二に次じ方程式ほうていしき を 求もとめよ。

和$=4$、 積$=(2{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2=4-3=1$。 よ っ て $x^2-4x+1=0$。

大事だいじ: 実数じっすう係数けいすう の 方程式ほうていしき が 虚数きょすう解かい$a+bi$ を も て ば、 必かならず そ の 共役きょうやく $a-bi$ も 解かい で す。 二に解かい の セット を 単位たんい と し て 考かんがえ る と 楽らく。

まとめ

• 複素数ふくそすう $a+bi$ で 数かず の 世界せかい を 拡ひろげ、 任意にんい の 二に次じ方程式ほうていしき が 解かい を もつ
• 判別式はんべつしき $D=b^2-4ac$ で 解かい の 種類しゅるい を 判定はんてい する
• 剰余の定理じょうよのていり ・ 因数定理いんすうていり で 整式せいしき の 因数いんすう を 見みつけ、 高次こうじ方程式ほうていしき を 解とく
• 候補こうほ因数いんすう は 定数ていすう項こう の 約数やくすう から 試ためす
• 解と係数の関係かいとけいすうのかんけい で 解かい を 求もとめず に 対称たいしょう式しき が 計算けいさん できる

次じの 章しょう: 第だい 3 章しょう で は 座標平面ざひょうへいめん に 戻もどり、 直線ちょくせん ・ 円えん の 方程式ほうていしき を あつかい ます。 数学すうがく I の 二に次じ関数かんすう と 接続せつぞく し、 図形づけい を 式しき で 解とく 力ちから を 育そだて ます。