式しきと証明しょうめい・高次こうじ方程式ほうていしき

この章しょうで学まなぶこと

数かずIIの最初さいしょの単元たんげんで、 のちの分野ぶんやの土台どだいになります。 式しきを自在じざいにあつかう力ちからを身みにつけましょう。

• 二項定理にこうていりで $(a+b{)}^n$ を展開てんかいする
• 恒等式こうとうしきの考かんがえ方かたと係数けいすうの決定けってい
• 整式せいしきの割わり算ざん、 剰余の定理じょうよのていりと因数定理いんすうていり
• 因数定理いんすうていりを使つかった高次こうじ方程式ほうていしきの解法かいほう

ポイント: 「恒等式こうとうしきはどんな値あたいでも成なり立たつ式しき」、 「方程式ほうていしきは特定とくていの値あたいで成なり立たつ式しき」というちがいをはっきりさせましょう。 高次こうじ方程式ほうていしきは 因数いんすう定理ていりで1つの解かいを見みつけて因数いんすう分解ぶんかいする のが基本きほんです。

1. 二に項こう定理ていり

$(a+b{)}^n$ を展開てんかいすると、 各項かくこうの係数けいすうは二項係数にこうけいすう ${}_n{C}_r$ になります。

$(a+b{)}^n=\sum r=0n{}_n{C}_r\hspace{0.17em}{a}^{n-r}{b}^r$

一般いっぱん項こうは ${}_n{C}_r\hspace{0.17em}{a}^{n-r}{b}^r$ です。 特定とくていの項こうの係数けいすうを求もとめるときに使つかいます。

例題れいだい1: $(x+2{)}^5$ の展開てんかい式しきにおける $x^3$ の係数けいすうを求もとめよ。

解答かいとう: 一般いっぱん項こうは ${}_5{C}_r\hspace{0.17em}{x}^{5-r}\cdot 2^r$。 $x^3$ となるのは $5-r=3$、 すなわち $r=2$ のとき。 係数けいすうは ${}_5{C}_2\cdot 2^2=10\times 4=40$。

(検算けんざん) ${}_5{C}_2=\frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=10$、 $2^2=4$、 積せきは $40$。 ✓

2. 恒等こうとう式しき

すべての $x$ で成なり立たつ等式とうしきを恒等式こうとうしきといいます。 両辺りょうへんの 同おなじ次数じすうの係数けいすうが等ひとしい(係数けいすう比較ひかく)ことを使つかって未知数みちすうを求もとめます。

例題れいだい2: $a{x}^2+bx+c=2x^2-x+5$ がすべての $x$ で成なり立たつとき、 $a, b, c$ を求もとめよ。

解答かいとう: 係数けいすう比較ひかくより $a=2, b=-1, c=5$。

3. 整式せいしきの割わり算ざんと剰余じょうよの定理ていり・因数いんすう定理ていり

整式せいしき$P\left(x\right)$ を $x-k$ で割わった余あまりは $P\left(k\right)$ に等ひとしい(剰余の定理じょうよのていり)。 とくに $P\left(k\right)=0$ ならば $P\left(x\right)$ は $x-k$ で割わり切きれる(因数定理いんすうていり)。

例題れいだい3: $P\left(x\right)=x^3-2x^2-5x+6$ を $x-1$ で割わった余あまりを求もとめよ。

解答かいとう: 剰余の定理じょうよのていりより、 余あまりは $P\left(1\right)=1-2-5+6=0$。 余あまりは $0$(=$x-1$ で割わり切きれる)。

4. 高次こうじ方程式ほうていしき

3次じ以上いじょうの方程式ほうていしきは、 因数定理いんすうていりで 1つの解$x=k$ を見みつけて $x-k$ で割わり、 次数じすうを下さげて解ときます。

例題れいだい4: $x^3-2x^2-5x+6=0$ を解とけ。

解答かいとう: $P\left(1\right)=0$ より $x-1$ を因数いんすうにもつ。 割われると $x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2)$。 よって $x=1, 3, -2$。

(検算けんざん) $x=3$: $27-18-15+6=0$ ✓、 $x=-2$: $-8-8+10+6=0$ ✓。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは「$(x+a{)}^n$ の特定とくていの項こうの係数けいすう」「整式せいしきの割わり算ざんの余あまり」が定番ていばんです。
• 二に次じでは高次こうじ方程式ほうていしきを解といたり、 恒等式こうとうしきの係数けいすう決定けっていや等式とうしき・不等式ふとうしきの証明しょうめいが問とわれます。
• 高次こうじ方程式ほうていしきは 整数せいすうの解かいを $P\left(k\right)=0$ でさがす(定数ていすう項こうの約数やくすうを試ためす)のが第だい一いち手てです。

よくまちがえるところ

式しきと証明しょうめいでは 添字そえじの取とりちがえ と 代入だいにゅうする値あたいの符号ふごう が失点しってんの中心ちゅうしんです。

まちがい	例れい	直なおし方かた
二項定理にこうていりの一般いっぱん項こうで r を取とりちがえる	(x+2)⁵ の x³ の係数けいすうを 5C3×2³=80 とする	5-r=3 より r=2、 5C2×2²=40
恒等式こうとうしきを方程式ほうていしきとして解ほどこうとする	ax²+bx+c=2x²-x+5 を x について解とく	すべての x で成なり立たつので係数けいすう比較ひかく
剰余の定理じょうよのていりで代入だいにゅうする値あたいの符号ふごう	P(x) を x+2 で割わった余あまりを P(2) とする	x-(-2) と見みて P(-2)
高次こうじ方程式ほうていしきで解かいを1つ見みつけて止とめる	x³-2x²-5x+6=0 の答えこたえを x=1 だけとする	割わって2次じ式しきにし x=3、 -2 も求もとめる

いちばん多おおいのは 剰余じょうよの定理ていりで代入だいにゅうする値あたいの符号ふごう です。 定理ていりは 「x-k で割わった余あまりは P(k)」 という形かたちなので、 割われる式しきを必かならず x-k の形かたちに直なおしてから k を読よみます。 x+2 は x-(-2) なので k=-2 です。 x+2 を見みた瞬間しゅんかんに 2 を代入だいにゅうしてしまうミスは非常ひじょうに多おおいので、 かならず 「マイナスの形かたちに書かきかえる」 という一手いってをはさみましょう。

高次こうじ方程式ほうていしきを解とく手順てじゅん

順番じゅんばん	やること	例れい(x³-2x²-5x+6=0)
1	定数ていすう項こうの約数やくすうを書かき出だす	6 の約数やくすうは ±1、 ±2、 ±3、 ±6
2	小ちいさいものから P(k) に代入だいにゅうする	P(1)=1-2-5+6=0
3	P(k)=0 となる k から因数いんすう x-k を作つくる	x-1 が因数いんすう
4	割わり算ざん(組立くみたて除法じょほうでもよい)で次数じすうを下さげる	商しょうは x²-x-6
5	残のこりの2次じ式しきを因数いんすう分解ぶんかいする	(x-3)(x+2)
6	すべての解かいを代入だいにゅうして検算けんざんする	x=3 で 0、 x=-2 で 0

大事だいじ: 3次じ方程式ほうていしきの解かいは最大さいだい3個こです。 因数いんすう分解ぶんかいしきったあと、 解かいの個数こすうと次数じすうが合あっているかを確たしかめると書かきもれに気きづけます。

自分じぶんでチェック

• 二項定理にこうていりの一般いっぱん項こうから特定とくていの項こうの係数けいすうを求もとめられる
• 恒等こうとう式しきは係数けいすう比較ひかくで未知数みちすうを決きめると言いえる
• x+2 で割わった余あまりが P(-2) だと言いえる
• 高次こうじ方程式ほうていしきで定数ていすう項こうの約数やくすうから解かいをさがせると言いえる
• 求もとめた解かいをもとの式しきに代入だいにゅうして検算けんざんできる

まとめ

• 二項定理にこうていり: 一般いっぱん項こう${}_n{C}_r\hspace{0.17em}{a}^{n-r}{b}^r$ で特定とくていの項こうの係数けいすうを求もとめる
• 恒等式こうとうしき: 同おなじ次数じすうの係数けいすうを比較ひかくして未知数みちすうを決きめる
• 剰余の定理じょうよのていり: $x-k$ で割わった余あまりは $P\left(k\right)$
• 高次こうじ方程式ほうていしき: 因数定理いんすうていりで1解かいを見みつけ因数いんすう分解ぶんかい

次じ章しょうでは、 分数式ぶんすうしきの計算けいさんと複素数ふくそすう、 方程式ほうていしきの解かいの性質せいしつを学まなびます。

※「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。 この教材きょうざいは非公式ひこうしきの学習がくしゅう教材きょうざいです。