この 章 で 学ぶ こと
高校数学 II の 出発点 と なる 章 です。 数学 I で 学んだ 展開・因数分解・実数 の 力 を 土台 に、 ここ で は 「式 を 自在 に あつかう 道具」 と 「論理的 に 主張 を 示す 作法」 を 身 に つけ ます。
- 二項定理 と パスカル の 三角形 を 使って (a+b)n を 展開 できる
- 多項式 の 除法 (f(x)÷g(x)=q(x)+r(x)/g(x)) と 剰余の定理 を 理解 する
- 恒等式 の 意味 と 係数比較法 を 使える
- 等式・不等式 の 証明 の 基本 (差 を 取る・同値変形・場合分け) を 身 に つける
- 相加平均と相乗平均 の 関係 を 不等式 の 証明 に 活用 する
ポイント: 数学 I まで は 「計算 する」 が 中心 でした。 数学 II で は 「示す」 が 加わり ます。 「明らか」 と 思って も、 等号 の つなぎ 方一つ で 厳密 さ が 変わる の が 証明 の 世界 です。
1. 二項定理
二項展開 の 公式
(a+b)2=a2+2ab+b2、 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 の よう に、 (a+b)n の 展開 の 各項 の 係数 は 二項係数 (kn) (nCk と も 書く) で あらわせ ます。
(a+b)n=∑k=0n(kn)an−kbk=(0n)an+(1n)an−1b+⋯+(nn)bn
これ を 二項定理 と いい ます。
パスカル の 三角形
二項係数(kn) は パスカル の 三角形 で 視覚的 に 求められ ます。 となり あう 二数 の 和 が 下 の 数 に なり ます。
| n | 係数 の 並び |
|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 11 |
| 2 | 121 |
| 3 | 1331 |
| 4 | 14641 |
| 5 | 15101051 |
例題
| 問題 | 解法 |
|---|
| (x+2)4 を 展開 せよ | (04)x4+(14)x3⋅2+(24)x2⋅4+(34)x⋅8+(44)⋅16=x4+8x3+24x2+32x+16 |
| (2x−y)5 の x2y3 の 係数 | (35)(2x)2(−y)3=10⋅4⋅(−1)x2y3=−40x2y3。 係数 は −40。 |
やって みよう: (x+1)6 の x3 の 係数 を 求めよ。 (答え: (36)=20)
多項定理 (発展)
(a+b+c)n を 展開 した とき、 apbqcr (p+q+r=n) の 係数 は p!q!r!n! で あらわせ ます。 これ を 多項定理 と いい ます。
2. 整式 の 除法 と 分数式
整式 の 割り算
整式A を 整式B (B=0) で 割る と、 商Q と 余り R を 用いて 次 の よう に かけ ます。 ただし degR<degB。
A=B⋅Q+R
筆算 で 一次 ずつ 次数 を 下げて 計算 し ます。
例題
x3−2x2+5 を x−1 で 割る:
| 段階 | 結果 |
|---|---|
| x3÷x=x2 | 商 の 第 1 項x2 |
| x2(x−1)=x3−x2 を 引く | 余り −x2+5 |
| −x2÷x=−x | 商 の 第 2 項−x |
| −x(x−1)=−x2+x を 引く | 余り −x+5 |
| −x÷x=−1 | 商 の 第 3 項−1 |
| −1(x−1)=−x+1 を 引く | 余り 4 |
よって x3−2x2+5=(x−1)(x2−x−1)+4。
分数式
分母 ・ 分子 が 整式 の 形 を 分数式 と いい、 通分・約分・四則 が 普通 の 分数 と 同じ よう に できます。
x1+x+11=x(x+1)(x+1)+x=x(x+1)2x+1
3. 恒等式
恒等式 と は
文字 に どんな 値 を 入れて も 等式 が 成り立つ 場合、 これ を 恒等式 と いいます。 一方 で 特定 の 値 で だけ 成り立つ の が 方程式 です。
大事: x2−1=(x−1)(x+1) は 恒等式 (x が 何 で も 成り立つ)。 x2−1=0 は 方程式 (x=±1 だけ で 成り立つ)。
係数比較法 と 数値代入法
ax2+bx+c≡a′x2+b′x+c′ が 恒等式 ⇔ a=a′,b=b′,c=c′ (両辺 を 同次数 で 比較)。
例題
(x−1)(x+2)1=x−1a+x+2b を 満たす a,b を 求めよ。
両辺 に (x−1)(x+2) を かけて、 1=a(x+2)+b(x−1)。 これ は x について の 恒等式。
- x=1代入: 1=3a ⇒ a=31
- x=−2代入: 1=−3b ⇒ b=−31
数値代入法 の 注意: 代入 で 求 め た a,b は 「そ の 値 で 等式 が 成 り 立 つ」 だ け で、 「全 て の x で 等号 が 成 り 立 つ (恒等式)」 と は 必 ず し も 言 え ま せ ん。 厳密 に は 未知数 の 個数 + 1 個以上 の 値 を 代入 し て 必要条件 を 絞 り、 最後 に 係数比較法 で 十分性 を 確認 す る 手順 が 安全 で す。
やって みよう: x(x+1)2x+3=xa+x+1b を 求めよ。 (答え: a=3,b=−1)
4. 等式 の 証明
基本 の 流れ
「A=B を 示せ」 と 言われ たら、 次 の どれ か を 使い ます。
- 左辺 を 変形 して 右辺 に する (一方向)
- 両辺 を それぞれ 変形 して 同じ 式 に そろえる
- A−B=0 を 示す (差 を 取る)
例題
a+b+c=0 の とき、 a3+b3+c3=3abc を 示せ。
(証明) c=−(a+b) より、
a3+b3+c3=a3+b3−(a+b)3
=a3+b3−(a3+3a2b+3ab2+b3)=−3ab(a+b)=−3ab⋅(−c)=3abc。 □
5. 不等式 の 証明
差 を 取る 基本
A≥B を 示す に は、 A−B≥0 を 示せ ば よい。 平方完成 や x2≥0 が 強い 武器 に なり ます。
例題
a2+b2≥2ab を 示せ。
(証明) a2+b2−2ab=(a−b)2≥0。 等号成立 は a=b の とき。 □
相加平均 と 相乗平均
a>0,b>0 の とき、
2a+b≥ab(等号 は a=b の とき)
これ を 相加平均と相乗平均 の 関係 (AM-GM 不等式) と いい、 最小値 を 求める の に 使え ます。
例題
x>0 の とき、 x+x4 の 最小値 を 求めよ。
x+x4≥2x⋅x4=2⋅2=4。 等号 は x=x4 すなわち x=2 の とき。 最小値 は 4。
やって みよう: x>0 の とき 4x+x1 の 最小値 を 求めよ。 (答え: 4、 x=21 で)
まとめ
- 二項定理 で (a+b)n の 各項 の 係数 が わかる ((kn))
- 整式 の 除法 は A=BQ+R (degR<degB) の 形 に なる
- 恒等式 の 未定係数 は 「係数比較」 か 「数値代入」 で 求める
- 等式 ・ 不等式 の 証明 は 「差 を 取る」 「x2≥0」 「相加平均と相乗平均」 が 三大武器
- 等号 が 成立 する 条件 を 必ず 添える こと
次の 章: 第 2 章 で は 複素数 と 高次方程式 に 入り ます。 二乗 して −1 に なる 数i を 導入 し、 三次 ・ 四次方程式 を 因数定理 で 解き ます。