式しきと証明しょうめい — 二に項こう定理ていり・多項式たこうしきの除法じょほう・等式とうしき不等式ふとうしきの証明しょうめい

この 章しょう で 学まなぶ こと

高校こうこう数学すうがく II の 出発しゅっぱつ点てん と なる 章しょう です。 数学すうがく I で 学まなんだ 展開てんかい・因数いんすう分解ぶんかい・実数じっすう の 力ちから を 土台どだい に、 ここ で は 「式しき を 自在じざい に あつかう 道具どうぐ」 と 「論理ろんり的てき に 主張しゅちょう を 示しめす 作法さほう」 を 身み に つけ ます。

• 二項定理にこうていり と パスカル の 三角形パスカル の さんかっけい を 使つかって $(a+b{)}^n$ を 展開てんかい できる
• 多項式たこうしき の 除法じょほう ($f\left(x\right)÷g\left(x\right)=q\left(x\right)+r\left(x\right)/g\left(x\right)$) と 剰余の定理じょうよのていり を 理解りかい する
• 恒等式こうとうしき の 意味いみ と 係数けいすう比較ひかく法ほう を 使つかえる
• 等式とうしき・不等式ふとうしき の 証明しょうめい の 基本きほん (差さ を 取とる・同値どうち変形へんけい・場合ばあい分わけ) を 身み に つける
• 相加平均と相乗平均そうかへいきんとそうじょうへいきん の 関係かんけい を 不等式ふとうしき の 証明しょうめい に 活用かつよう する

ポイント: 数学すうがく I まで は 「計算けいさん する」 が 中心ちゅうしん でした。 数学すうがく II で は 「示しめす」 が 加くわわり ます。 「明あきらか」 と 思おもって も、 等号とうごう の つなぎ 方ほう一ひとつ で 厳密げんみつ さ が 変かわる の が 証明しょうめい の 世界せかい です。

1. 二に項こう定理ていり

二に項こう展開てんかい の 公式こうしき

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$、 $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ の よう に、 $(a+b{)}^n$ の 展開てんかい の 各項かくこう の 係数けいすう は 二項係数にこうけいすう $\left(\frac{n}{k}\right)$ (${}_n{C}_k$ と も 書かく) で あらわせ ます。

$(a+b{)}^n=\sum k=0n\left(\frac{n}{k}\right)a^{n-k}{b}^k=\left(\frac{n}{0}\right)a^n+\left(\frac{n}{1}\right)a^{n-1}b+\cdots +\left(\frac{n}{n}\right)b^n$

これ を 二項定理にこうていり と いい ます。

パスカル の 三角形さんかっけい

二に項こう係数けいすう$\left(\frac{n}{k}\right)$ は パスカル の 三角形パスカル の さんかっけい で 視覚しかく的てき に 求もとめられ ます。 となり あう 二に数すう の 和わ が 下した の 数かず に なり ます。

$n$	係数けいすう の 並ならび
$0$	$1$
$1$	$1\hspace{0.25em} 1$
$2$	$1\hspace{0.25em} 2\hspace{0.25em} 1$
$3$	$1\hspace{0.25em} 3\hspace{0.25em} 3\hspace{0.25em} 1$
$4$	$1\hspace{0.25em} 4\hspace{0.25em} 6\hspace{0.25em} 4\hspace{0.25em} 1$
$5$	$1\hspace{0.25em} 5\hspace{0.25em} 10\hspace{0.25em} 10\hspace{0.25em} 5\hspace{0.25em} 1$

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$(x+2{)}^4$ を 展開てんかい せよ	$\left(\frac{4}{0}\right)x^4+\left(\frac{4}{1}\right)x^3\cdot 2+\left(\frac{4}{2}\right)x^2\cdot 4+\left(\frac{4}{3}\right)x\cdot 8+\left(\frac{4}{4}\right)\cdot 16=x^4+8x^3+24x^2+32x+16$
$(2x-y{)}^5$ の $x^2{y}^3$ の 係数けいすう	$\left(\frac{5}{3}\right)\left(2x{)}^2\right(-y{)}^3=10\cdot 4\cdot (-1)x^2{y}^3=-40x^2{y}^3$。 係数けいすう は $-40$。

やって みよう: $(x+1{)}^6$ の $x^3$ の 係数けいすう を 求もとめよ。 (答こたえ: $\left(\frac{6}{3}\right)=20$)

多項たこう定理ていり (発展はってん)

$(a+b+c{)}^n$ を 展開てんかい した とき、 $a^p{b}^q{c}^r$ ($p+q+r=n$) の 係数けいすう は $\frac{n!}{p!\hspace{0.17em}q!\hspace{0.17em}r!}$ で あらわせ ます。 これ を 多項定理たこうていり と いい ます。

2. 整式せいしき の 除法じょほう と 分数ぶんすう式しき

整式せいしき の 割わり算ざん

整式せいしき$A$ を 整式せいしき$B$ ($B\ne 0$) で 割われる と、 商$Q$ と 余あまり $R$ を 用もちいて 次つぎ の よう に かけ ます。 ただし 。

$A=B\cdot Q+R$

筆算ひっさん で 一いち次じ ずつ 次数じすう を 下さげて 計算けいさん し ます。

例題れいだい

$x^3-2x^2+5$ を $x-1$ で 割われる:

| 段階だんかい | 結果けっか | |---|---| | $x^3÷x=x^2$ | 商しょう の 第だい 1 項$x^2$ | | $x^2(x-1)=x^3-x^2$ を 引ひく | 余あまり $-x^2+5$ | | $-x^2÷x=-x$ | 商しょう の 第だい 2 項$-x$ | | $-x(x-1)=-x^2+x$ を 引ひく | 余あまり $-x+5$ | | $-x÷x=-1$ | 商しょう の 第だい 3 項$-1$ | | $-1(x-1)=-x+1$ を 引ひく | 余あまり $4$ |

よって $x^3-2x^2+5=(x-1)(x^2-x-1)+4$。

分数ぶんすう式しき

分母ぶんぼ ・ 分子ぶんし が 整式せいしき の 形かたち を 分数式ぶんすうしき と いい、 通分つうぶん・約分やくぶん・四則しそく が 普通ふつう の 分数ぶんすう と 同おなじ よう に できます。

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)+x}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x(x+1)}$

3. 恒等こうとう式しき

恒等こうとう式しき と は

文字もじ に どんな 値ね を 入いれて も 等式とうしき が 成なり立たつ 場合ばあい、 これ を 恒等式こうとうしき と いいます。 一方いっぽう で 特定とくてい の 値ね で だけ 成なり立たつ の が 方程式ほうていしき です。

大事だいじ: $x^2-1=(x-1)(x+1)$ は 恒等こうとう式しき ($x$ が 何なに で も 成なり立たつ)。 $x^2-1=0$ は 方程式ほうていしき ($x=\pm 1$ だけ で 成なり立たつ)。

係数けいすう比較ひかく法ほう と 数値すうち代入だいにゅう法ほう

$a{x}^2+bx+c\equiv a^{\prime }{x}^2+b^{\prime }x+c^{\prime }$ が 恒等こうとう式しき ⇔ $a=a^{\prime },b=b^{\prime },c=c^{\prime }$ (両辺りょうへん を 同どう次数じすう で 比較ひかく)。

例題れいだい

$\frac{1}{(x-1)(x+2)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+2}$ を 満みたす $a,b$ を 求もとめよ。

両辺りょうへん に $(x-1)(x+2)$ を かけて、 $1=a(x+2)+b(x-1)$。 これ は $x$ について の 恒等こうとう式しき。

• $x=1$代入だいにゅう: $1=3a$ ⇒ $a=\frac{1}{3}$
• $x=-2$代入だいにゅう: $1=-3b$ ⇒ $b=-\frac{1}{3}$

数値すうち代入だいにゅう法ほう の 注意ちゅうい: 代入だいにゅう で 求もとめ め た $a,b$ は 「そ の 値ね で 等式とうしき が 成なる り 立たつ つ」 だ け で、 「全ぜん て の $x$ で 等号とうごう が 成なる り 立たつ つ (恒等こうとう式しき)」 と は 必 ず し も 言げん え ま せ ん。 厳密げんみつ に は 未知数みちすう の 個数こすう + 1 個こ以上いじょう の 値ね を 代入だいにゅう し て 必要ひつよう条件じょうけん を 絞しぼ り、 最後さいご に 係数けいすう比較ひかく法ほう で 十分じゅうぶん性せい を 確認かくにん す る 手順てじゅん が 安全あんぜん で す。

やって みよう: $\frac{2x+3}{x(x+1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}$ を 求もとめよ。 (答こたえ: $a=3,b=-1$)

4. 等式とうしき の 証明しょうめい

基本きほん の 流ながれ

「$A=B$ を 示しめせ」 と 言いわれ たら、 次つぎ の どれ か を 使つかい ます。

1. 左辺さへん を 変形へんけい して 右辺うへん に する (一方いっぽう向こう)
2. 両辺りょうへん を それぞれ 変形へんけい して 同おなじ 式しき に そろえる
3. $A-B=0$ を 示しめす (差さ を 取とる)

例題れいだい

$a+b+c=0$ の とき、 $a^3+b^3+c^3=3abc$ を 示しめせ。

(証明しょうめい) $c=-(a+b)$ より、

$a^3+b^3+c^3=a^3+b^3-(a+b{)}^3$ $=a^3+b^3-(a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3)=-3ab(a+b)=-3ab\cdot (-c)=3abc$。 □

5. 不等式ふとうしき の 証明しょうめい

差さ を 取とる 基本きほん

$A\ge B$ を 示しめす に は、 $A-B\ge 0$ を 示しめせ ば よい。 平方へいほう完成かんせい や $x^2\ge 0$ が 強つよい 武器ぶき に なり ます。

例題れいだい

$a^2+b^2\ge 2ab$ を 示しめせ。

(証明しょうめい) $a^2+b^2-2ab=(a-b{)}^2\ge 0$。 等号とうごう成立せいりつ は $a=b$ の とき。 □

相加平均そうかへいきん と 相乗そうじょう平均へいきん

$a>0,b>0$ の とき、

$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}(等号 は a=b の とき)$

これ を 相加平均と相乗平均そうかへいきんとそうじょうへいきん の 関係かんけい (AM-GM 不等式ふとうしき) と いい、 最小さいしょう値ち を 求もとめる の に 使つかえ ます。

例題れいだい

$x>0$ の とき、 $x+\frac{4}{x}$ の 最小さいしょう値ち を 求もとめよ。

$x+\frac{4}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot \frac{4}{x}}=2\cdot 2=4$。 等号とうごう は $x=\frac{4}{x}$ すなわち $x=2$ の とき。 最小さいしょう値ち は $4$。

やって みよう: $x>0$ の とき $4x+\frac{1}{x}$ の 最小さいしょう値ち を 求もとめよ。 (答こたえ: $4$、 $x=\frac{1}{2}$ で)

まとめ

• 二項定理にこうていり で $(a+b{)}^n$ の 各項かくこう の 係数けいすう が わかる ($\left(\frac{n}{k}\right)$)
• 整式せいしき の 除法じょほう は $A=BQ+R$ () の 形かたち に なる
• 恒等式こうとうしき の 未定みてい係数けいすう は 「係数けいすう比較ひかく」 か 「数値すうち代入だいにゅう」 で 求もとめる
• 等式とうしき ・ 不等式ふとうしき の 証明しょうめい は 「差さ を 取とる」 「$x^2\ge 0$」 「相加平均と相乗平均そうかへいきんとそうじょうへいきん」 が 三さん大だい武器ぶき
• 等号とうごう が 成立せいりつ する 条件じょうけん を 必かならず 添そえる こと

次じの 章しょう: 第だい 2 章しょう で は 複素数ふくそすう と 高次方程式こうじほうていしき に 入いり ます。 二乗にじょう して $-1$ に なる 数$i$ を 導入どうにゅう し、 三さん次じ ・ 四よん次じ方程式ほうていしき を 因数いんすう定理ていり で 解とき ます。