式しきと証明しょうめい — 二に項こう定理ていり・多項式たこうしきの除法じょほう・等式とうしき不等式ふとうしきの証明しょうめい

この章しょうで学まなぶこと

高校こうこう数学すうがく II の出発しゅっぱつ点てんとなる章しょうです。 数学すうがく I で学まなんだ 展開てんかい・因数いんすう分解ぶんかい・実数じっすう の力ちからを土台どだいに、 ここでは 「式しきを自在じざいにあつかう道具どうぐ」 と 「論理ろんり的てきに主張しゅちょうを示しめす作法さほう」 を身みにつけます。

• 二項定理にこうていり と パスカルの三角形パスカルのさんかっけい を使つかって $(a+b{)}^n$ を展開てんかいできる
• 多項式たこうしきの除法じょほう ($f\left(x\right)÷g\left(x\right)=q\left(x\right)+r\left(x\right)/g\left(x\right)$) と 剰余の定理じょうよのていり を理解りかいする
• 恒等式こうとうしき の意味いみと係数けいすう比較ひかく法ほうを使つかえる
• 等式とうしき・不等式ふとうしきの証明しょうめい の基本きほん (差さを取とる・同値どうち変形へんけい・場合ばあい分わけ) を身みにつける
• 相加平均と相乗平均そうかへいきんとそうじょうへいきんの関係かんけい を不等式ふとうしきの証明しょうめいに活用かつようする

ポイント: 数学すうがく I までは 「計算けいさんする」 が中心ちゅうしんでした。 数学すうがく II では 「示しめす」 が加くわわります。 「明あきらか」 と思おもっても、 等号とうごうのつなぎ方かた一ひとつで厳密げんみつさが変かわるのが証明しょうめいの世界せかいです。

1. 二に項こう定理ていり

二に項こう展開てんかいの公式こうしき

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$、 $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ のように、 $(a+b{)}^n$ の展開てんかいの各項かくこうの係数けいすうは 二項係数にこうけいすう $\left(\frac{n}{k}\right)$ (${}_n{C}_k$ とも書かく) であらわせます。

$(a+b{)}^n=\sum k=0n\left(\frac{n}{k}\right)a^{n-k}{b}^k=\left(\frac{n}{0}\right)a^n+\left(\frac{n}{1}\right)a^{n-1}b+\cdots +\left(\frac{n}{n}\right)b^n$

これを 二項定理にこうていり といいます。

パスカルの三角形さんかくけい

二に項こう係数けいすう$\left(\frac{n}{k}\right)$ は パスカルの三角形パスカルのさんかっけい で視覚しかく的てきに求もとめられます。 となりあう二に数すうの和わが下したの数かずになります。

$n$	係数けいすうの並ならび
$0$	$1$
$1$	$1\hspace{0.25em} 1$
$2$	$1\hspace{0.25em} 2\hspace{0.25em} 1$
$3$	$1\hspace{0.25em} 3\hspace{0.25em} 3\hspace{0.25em} 1$
$4$	$1\hspace{0.25em} 4\hspace{0.25em} 6\hspace{0.25em} 4\hspace{0.25em} 1$
$5$	$1\hspace{0.25em} 5\hspace{0.25em} 10\hspace{0.25em} 10\hspace{0.25em} 5\hspace{0.25em} 1$

例題れいだい

問題もんだい	解法かいほう
$(x+2{)}^4$ を展開てんかいせよ	$\left(\frac{4}{0}\right)x^4+\left(\frac{4}{1}\right)x^3\cdot 2+\left(\frac{4}{2}\right)x^2\cdot 4+\left(\frac{4}{3}\right)x\cdot 8+\left(\frac{4}{4}\right)\cdot 16=x^4+8x^3+24x^2+32x+16$
$(2x-y{)}^5$ の $x^2{y}^3$ の係数けいすう	$\left(\frac{5}{3}\right)\left(2x{)}^2\right(-y{)}^3=10\cdot 4\cdot (-1)x^2{y}^3=-40x^2{y}^3$。 係数けいすうは $-40$。

やってみよう: $(x+1{)}^6$ の $x^3$ の係数けいすうを求もとめよ。 (答えこたえ: $\left(\frac{6}{3}\right)=20$)

多項たこう定理ていり (発展はってん)

$(a+b+c{)}^n$ を展開てんかいしたとき、 $a^p{b}^q{c}^r$ ($p+q+r=n$) の係数けいすうは $\frac{n!}{p!\hspace{0.17em}q!\hspace{0.17em}r!}$ であらわせます。 これを 多項定理たこうていり といいます。

2. 整式せいしきの除法じょほうと分数ぶんすう式しき

整式せいしきの割わり算ざん

整式せいしき$A$ を整式せいしき$B$ ($B\ne 0$) で割われると、 商$Q$ と余あまり $R$ を用もちいて次つぎのようにかけます。 ただし 。

$A=B\cdot Q+R$

筆算ひっさんで一いち次じずつ次数じすうを下さげて計算けいさんします。

例題れいだい

$x^3-2x^2+5$ を $x-1$ で割われる:

段階だんかい	結果けっか
$x^3÷x=x^2$	商しょうの第だい 1 項$x^2$
$x^2(x-1)=x^3-x^2$ を引ひく	余あまり $-x^2+5$
$-x^2÷x=-x$	商しょうの第だい 2 項$-x$
$-x(x-1)=-x^2+x$ を引ひく	余あまり $-x+5$
$-x÷x=-1$	商しょうの第だい 3 項$-1$
$-1(x-1)=-x+1$ を引ひく	余あまり $4$

よって $x^3-2x^2+5=(x-1)(x^2-x-1)+4$。

分数ぶんすう式しき

分母ぶんぼ ・ 分子ぶんしが整式せいしきの形かたちを 分数式ぶんすうしき といい、 通分つうぶん・約分やくぶん・四則しそくが普通ふつうの分数ぶんすうと同おなじようにできます。

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)+x}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x(x+1)}$

3. 恒等こうとう式しき

恒等こうとう式しきとは

文字もじにどんな値あたいを入いれても等式とうしきが成なり立たつ場合ばあい、 これを 恒等式こうとうしき といいます。 一方いっぽうで特定とくていの値あたいでだけ成なり立たつのが 方程式ほうていしき です。

大事だいじ: $x^2-1=(x-1)(x+1)$ は 恒等こうとう式しき ($x$ が何なにでも成なり立たつ)。 $x^2-1=0$ は 方程式ほうていしき ($x=\pm 1$ だけで成なり立たつ)。

係数けいすう比較ひかく法ほうと数値すうち代入だいにゅう法ほう

$a{x}^2+bx+c\equiv a^{\prime }{x}^2+b^{\prime }x+c^{\prime }$ が恒等こうとう式しき ⇔ $a=a^{\prime },b=b^{\prime },c=c^{\prime }$ (両辺りょうへんを同どう次数じすうで比較ひかく)。

例題れいだい

$\frac{1}{(x-1)(x+2)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+2}$ を満みたす $a,b$ を求もとめよ。

両辺りょうへんに $(x-1)(x+2)$ をかけて、 $1=a(x+2)+b(x-1)$。 これは $x$ についての恒等こうとう式しき。

• $x=1$代入だいにゅう: $1=3a$ ⇒ $a=\frac{1}{3}$
• $x=-2$代入だいにゅう: $1=-3b$ ⇒ $b=-\frac{1}{3}$

数値すうち代入だいにゅう法ほうの注意ちゅうい: 代入だいにゅうで求もとめた $a,b$ は 「その値あたいで等式とうしきが成なり立たつ」 だけで、 「全すべての $x$ で等号とうごうが成なり立たつ (恒等こうとう式しき)」 とは必かならずしも言いえません。 厳密げんみつには 未知数みちすうの個数こすう + 1 個こ以上いじょう の値あたいを代入だいにゅうして必要ひつよう条件じょうけんを絞しぼり、 最後さいごに 係数けいすう比較ひかく法ほうで十分じゅうぶん性せいを確認かくにん する手順てじゅんが安全あんぜんです。

やってみよう: $\frac{2x+3}{x(x+1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}$ を求もとめよ。 (答えこたえ: $a=3,b=-1$)

4. 等式とうしきの証明しょうめい

基本きほんの流ながれ

「$A=B$ を示しめせ」 と言いわれたら、 次つぎのどれかを使つかいます。

1. 左辺さへんを変形へんけいして右辺うへんにする (一方いっぽう向こう)
2. 両辺りょうへんをそれぞれ変形へんけいして同おなじ式しきにそろえる
3. $A-B=0$ を示しめす (差さを取とる)

例題れいだい

$a+b+c=0$ のとき、 $a^3+b^3+c^3=3abc$ を示しめせ。

(証明しょうめい) $c=-(a+b)$ より、

$a^3+b^3+c^3=a^3+b^3-(a+b{)}^3$ $=a^3+b^3-(a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3)=-3ab(a+b)=-3ab\cdot (-c)=3abc$。 □

5. 不等式ふとうしきの証明しょうめい

差さを取とる基本きほん

$A\ge B$ を示しめすには、 $A-B\ge 0$ を示しめせばよい。 平方へいほう完成かんせいや $x^2\ge 0$ が強つよい武器ぶきになります。

例題れいだい

$a^2+b^2\ge 2ab$ を示しめせ。

(証明しょうめい) $a^2+b^2-2ab=(a-b{)}^2\ge 0$。 等号とうごう成立せいりつは $a=b$ のとき。 □

相加平均そうかへいきんと相乗そうじょう平均へいきん

$a>0,b>0$ のとき、

$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}(等号 は a=b の とき)$

これを 相加平均と相乗平均そうかへいきんとそうじょうへいきんの関係かんけい (AM-GM 不等式ふとうしき) といい、 最小値さいしょうちを求もとめるのに使つかえます。

例題れいだい

$x>0$ のとき、 $x+\frac{4}{x}$ の最小値さいしょうちを求もとめよ。

$x+\frac{4}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot \frac{4}{x}}=2\cdot 2=4$。 等号とうごうは $x=\frac{4}{x}$ すなわち $x=2$ のとき。 最小値さいしょうちは $4$。

やってみよう: $x>0$ のとき $4x+\frac{1}{x}$ の最小値さいしょうちを求もとめよ。 (答えこたえ: $4$、 $x=\frac{1}{2}$ で)

まとめ

• 二項定理にこうていり で $(a+b{)}^n$ の各項かくこうの係数けいすうがわかる ($\left(\frac{n}{k}\right)$)
• 整式せいしきの除法じょほうは $A=BQ+R$ () の形かたちになる
• 恒等式こうとうしき の未定みてい係数けいすうは 「係数けいすう比較ひかく」 か 「数値すうち代入だいにゅう」 で求もとめる
• 等式とうしき ・ 不等式ふとうしきの 証明しょうめい は 「差さを取とる」 「$x^2\ge 0$」 「相加平均と相乗平均そうかへいきんとそうじょうへいきん」 が三さん大だい武器ぶき
• 等号とうごうが成立せいりつする条件じょうけんを 必かならず添そえる こと

次じの章しょう: 第だい 2 章しょうでは 複素数ふくそすう と 高次方程式こうじほうていしき に入はいります。 二乗にじょうして $-1$ になる数$i$ を導入どうにゅうし、 三さん次じ ・ 四よん次じ方程式ほうていしきを因数いんすう定理ていりで解ときます。