図形ずけいの性質せいしつ — 円えん・三角形さんかくけいの五心ごしん・方ぽうべきの定理ていり

この章しょうで学まなぶこと

数かずAの図形ずけい分野ぶんやです。 三角形さんかくけいと円えんの性質せいしつを使つかって、 長ながさや角かくを求もとめます。

• 三角形さんかくけいの五心ごしん (重心じゅうしん・内心ないしん・外心がいしん・垂心すいしん・傍心ぼうしん)
• 角の二等分線かくのにとうぶんせんの性質せいしつ
• 円周角の定理えんしゅうかくのていり・接弦定理せつげんていり
• 方べきの定理ほうべきのていり

ポイント: 三角形さんかくけいの五心ごしんはそれぞれ 「何なにの交点こうてんか」 が決きめ手てです。 重心じゅうしん=中ちゅう線せんの交点こうてん、 内心ないしん=内角ないかくの二に等分とうぶん線せんの交点こうてん、 外心がいしん=各かく辺へんの垂直すいちょく二に等分とうぶん線せんの交点こうてん。

1. 三角形さんかくけいの五心ごしん

心こころ	交点こうてん	性質せいしつ
重心じゅうしん	3本ほんの中線ちゅうせん	各かく中ちゅう線せんを頂点ちょうてん側がわから $2:1$ に内分ないぶん
内心ないしん	3つの内角ないかくの二に等分とうぶん線せん	内接ないせつ円えんの中心ちゅうしん (各かく辺へんから等距離とうきょり)
外心がいしん	各かく辺へんの垂直すいちょく二に等分とうぶん線せん	外接がいせつ円えんの中心ちゅうしん (各かく頂点ちょうてんから等距離とうきょり)
垂心すいしん	各かく頂点ちょうてんからの垂線すいせん	—

例題れいだい1: 三角形さんかくけい$ABC$ の重心じゅうしんを $G$、 辺へん$BC$ の中点ちゅうてんを $M$ とする。 $AM=9$ のとき $AG$ の長ながさを求もとめなさい。

解答かいとう: 重心じゅうしんは中ちゅう線せん$AM$ を頂点ちょうてん$A$側から $2:1$ に内分ないぶんするので $AG:GM=2:1$。 $AG=AM\times \frac{2}{3}=9\times \frac{2}{3}=6$。 検算けんざん: $GM=9-6=3$、 $AG:GM=6:3=2:1$ で一致いっち。

2. 角かくの二に等分とうぶん線せんの性質せいしつ

三角形さんかくけい$ABC$ で、 角$A$ の二に等分とうぶん線せんが辺へん$BC$ と交まじわる点てんを $D$ とすると、

$BD:DC=AB:AC$

例題れいだい2: 三角形さんかくけい$ABC$ で $AB=6$、 $AC=4$、 $BC=5$。 角$A$ の二に等分とうぶん線せんと $BC$ の交点こうてんを $D$ とするとき、 $BD$ の長ながさを求もとめなさい。

解答かいとう: $BD:DC=AB:AC=6:4=3:2$。 $BC=5$ を $3:2$ に分わけるので $BD=5\times \frac{3}{5}=3$。 検算けんざん: $DC=5-3=2$、 $BD:DC=3:2$ で一致いっち。

3. 円周えんしゅう角かくの定理ていり

同おなじ弧こに対たいする円周角えんしゅうかくは等ひとしく、 その弧こに対たいする中心角ちゅうしんかくの半分はんぶんです。 直径ちょっけいに対たいする円周えんしゅう角かくは $90°$ です。

例題れいだい3: 円周えんしゅう上じょうの弧$AB$ に対たいする中心ちゅうしん角かくが $100°$ のとき、 同おなじ弧こに対たいする円周えんしゅう角かくの大おおきさを求もとめなさい。

解答かいとう: 円周えんしゅう角かくは中心ちゅうしん角かくの半分はんぶんなので $100°÷2=50°$。

4. 方ほうべきの定理ていり

円えんの弦げん$AB$ と $CD$ (またはその延長えんちょう) の交点こうてんを $P$ とすると、

$PA\cdot PB=PC\cdot PD$

点$P$ から円えんに引ひいた接線せっせんの接点せってんを $T$、 割線かっせんが円えんと交まじわる点てんを $A,B$ とすると、

$P{T}^2=PA\cdot PB$

例題れいだい4: 円えん外がいの点$P$ から接線せっせん$PT$ を引ひき、 割線かっせんが円えんと $A$、 $B$ で交まじわる ($PA=4$、 $AB=5$)。 接線せっせんの長ながさ $PT$ を求もとめなさい。

解答かいとう: $PB=PA+AB=4+5=9$。 方ほうべきの定理ていりより $P{T}^2=PA\cdot PB=4\times 9=36$。 よって $PT=6$。 検算けんざん: $6^2=36=4\times 9$ で一致いっち。

どう問とわれるか

• 五心ごしんは 「何なにの交点こうてんか」 と 「重心じゅうしんの $2:1$」 が頻出ひんしゅつ。 重心じゅうしんの比ひは確実かくじつに。
• 角の二等分線かくのにとうぶんせんの比$BD:DC=AB:AC$ は線分せんぶんの長ながさ問題もんだいでよく使つかいます。
• 方べきの定理ほうべきのていりは交点こうてん・接点せってんの位置いちをていねいに図示ずしし、 どの線分せんぶんの積せきかを取とり違ちがえないようにします。

よくまちがえるところ

図形ずけいの性質せいしつは覚おぼえることが多おおく、 どの点てんか・どの線分せんぶんか の取とりちがえが失点しってんになります。

まちがい	例れい	直なおし方かた
重心じゅうしんの比ひを逆ぎゃくにとる	中ちゅう線せん AM = 9 のとき AG = 3 とする	頂点ちょうてん側がわが 2 なので AG = 6、 GM = 3
内心ないしんと外心がいしんを取とりちがえる	「3つの頂点ちょうてんから等距離とうきょりの点てん」 を内心ないしんとする	それは外心がいしん。 内心ないしんは3つの辺へんから等距離とうきょり
角かくの二に等分とうぶん線せんの比ひを辺へんと対応たいおうさせない	AB = 6、 AC = 4 のとき BD : DC = 4 : 6 とする	BD : DC = AB : AC = 3 : 2
方ほうべきの定理ていりで線分せんぶんを取とりちがえる	PA = 4、 AB = 5 のとき PT² = 4 × 5 とする	PT² = PA × PB = 4 × 9 = 36

いちばん多おおいのは 方べきの定理ほうべきのていりの線分せんぶんの取とりちがえ です。 かけ合あわせるのは、 どちらも 点てん P から測はかった長ながさ です。 PA = 4、 AB = 5 のときの相手あいては AB ではなく PB = PA + AB = 9 になります。 図ずをかいたら P からのばした矢印やじるしを2本ほん引ひき、 その先端せんたんまでの長ながさを書かきこんでから式しきを立たてると防ふせげます。

円えんの問題もんだいでどの定理ていりを使つかうか

図ずで見みえているもの	使つかう定理ていり	分わかること
同おなじ弧こに対たいする2つの角かく	円周角の定理えんしゅうかくのていり	2つの角かくは等ひとしい
弧こに対たいする中心ちゅうしん角かくと円周えんしゅう角かく	円周えんしゅう角かくの定理ていり	円周えんしゅう角かくは中心ちゅうしん角かくの半分はんぶん
直径ちょっけいとその上うえにない円周えんしゅう上じょうの点てん	直径ちょっけいに対たいする円周えんしゅう角かく	その角かくは 90°
円えんに内接ないせつする四角形しかくけい	内接ないせつ四角形しかくけいの性質せいしつ	向むかい合あう角かくの和わは 180°
接線せっせんと接点せってんを通とおる弦げん	接弦定理せつげんていり	その角かくは弦げんに対たいする円周えんしゅう角かくに等ひとしい
円えん外がいの1点てんから出でた2本ほんの直線ちょくせん	方べきの定理ほうべきのていり	PA × PB = PC × PD、 接線せっせんなら PT² = PA × PB

大事だいじ: 円えんに内接ないせつする四角形しかくけいでは、 1つの内角ないかくは向むかい合あう内角ないかくの外角がいかくに等ひとしくなります。 角度かくどを求もとめる問題もんだいでは、 180° から引ひく形かたちと外角がいかくをそのまま使つかう形かたちの両方りょうほうが使つかえます。

自分じぶんでチェック

• 重心じゅうしんが中ちゅう線せんを頂点ちょうてん側がわから 2 : 1 に分わけると言いえる
• 内心ないしんは辺へんから、 外心がいしんは頂点ちょうてんから等距離とうきょりだと区別くべつできる
• BD : DC = AB : AC を使つかって線分せんぶんの長ながさを求もとめられる
• 直径ちょっけいに対たいする円周えんしゅう角かくが 90° だと言いえる
• 方ほうべきの定理ていりで P から測はかった長ながさどうしをかけると言いえる

まとめ

• 五心ごしん: 重心じゅうしん (中ちゅう線せん・$2:1$)、 内心ないしん (内角ないかく二に等分とうぶん線せん・内接ないせつ円えん)、 外心がいしん (垂直すいちょく二に等分とうぶん線せん・外接がいせつ円えん)
• 角かくの二に等分とうぶん線せん: $BD:DC=AB:AC$
• 円周えんしゅう角かく = 中心ちゅうしん角かくの半分はんぶん、 直径ちょっけいに対たいする円周えんしゅう角かくは $90°$
• 方ほうべきの定理ていり: $PA\cdot PB=PC\cdot PD$、 接線せっせんなら $P{T}^2=PA\cdot PB$

次章しょうでは、 数かずAの 場合ばあいの数かずと確率かくりつ を学まなびます。