データの分析ぶんせき・二に次じ (数理すうり技能ぎのう) 対策たいさく

この章しょうで学まなぶこと

数かずIのデータの分析ぶんせきと、 検定けんていの総そう仕上しあげとなる二に次じ (数理すうり技能ぎのう) 対策たいさくです。

• 平均値へいきんち・中央値ちゅうおうち・最頻値さいひんち
• 四分位数しぶんいすうと四分位範囲しぶんいはんい・箱ひげ図はこひげず
• 分散ぶんさん・標準偏差ひょうじゅんへんさ
• 相関係数そうかんけいすう
• 二に次じ (数理すうり技能ぎのう) のとき方かた

ポイント: 分散ぶんさんはデータの散ちらばりの大おおきさで、 「偏差へんい (値ち − 平均へいきん) の2乗じょうの平均へいきん」 です。 標準偏差ひょうじゅんへんさはその正せいの平方根へいほうこんで、 もとのデータと同おなじ単位たんいになります。

1. 代表だいひょう値ちと四分位数しぶんいすう

• 平均値へいきんち: すべての値あたいの和わ ÷ 個数こすう
• 中央値ちゅうおうち: 大おおきさの順じゅんに並ならべた真まん中なかの値あたい
• 四分位数しぶんいすう: データを4等分とうぶんする位置いちの値あたい (第だい1・第だい2 (中央ちゅうおう値ち)・第だい3)
• 四分位範囲しぶんいはんい: 第だい3四分位数しぶんいすう − 第だい1四分位数しぶんいすう

例題れいだい1: データ $2,4,5,7,9,12,15$ (7個こ・小ちいさい順じゅん) の中央ちゅうおう値ち・第だい1四分位数しぶんいすう・第だい3四分位数しぶんいすうを求もとめなさい。

解答かいとう: 中央ちゅうおう値ち (第だい2四分位数しぶんいすう) は4番目ばんめの $7$。 下しも半分はんぶん$2,4,5$ の中央ちゅうおう値ちが第だい1四分位数しぶんいすうで $4$。 上うえ半分はんぶん$9,12,15$ の中央ちゅうおう値ちが第だい3四分位数しぶんいすうで $12$。 検算けんざん: 四よん分ふん位い範囲はんい$=12-4=8$。

2. 分散ぶんさんと標準ひょうじゅん偏差へんい

データ $x_1,\dots ,x_n$ の平均へいきんを $xˉ$ とすると、

$分散 s^2=\frac{1}{n}\sum i=1n(x_i-xˉ{)}^2,標準偏差 s=\sqrt{s^2}$

例題れいだい2: データ $4,6,8,10,12$ の分散ぶんさんと標準ひょうじゅん偏差へんいを求もとめなさい。

解答かいとう: 平均へいきん$xˉ=\frac{4+6+8+10+12}{5}=\frac{40}{5}=8$。 偏差へんいは $-4,-2,0,2,4$。 2乗じょうは $16,4,0,4,16$、 和わは $40$。 分散ぶんさん$s^2=\frac{40}{5}=8$。 標準ひょうじゅん偏差へんい$s=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。 検算けんざん: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2.83$。 偏差へんいの2乗じょうの平均へいきんが $8$ で正ただしい。

3. 相関そうかん係数けいすう

2つの変量へんりょうの関係かんけいの強つよさを表あらわす相関係数そうかんけいすう $r$ は $-1\leqq r\leqq 1$ の値あたいをとります。 $r$ が $1$ に近ちかいほど強つよい正せいの相関そうかん、 $-1$ に近ちかいほど強つよい負ふの相関そうかん、 $0$ に近ちかいほど相関そうかんが弱よわいことを示しめします。

4. 二に次じ (数理すうり技能ぎのう) のとき方かた

二に次じは文章ぶんしょう・図ず・証明しょうめいが中心ちゅうしんです。 つぎの流ながれを意識いしきします。

1. 問題もんだい文ぶんから わかっていること と 求もとめるもの を整理せいりする
2. 図ずやグラフをかいて関係かんけいを見みえる化かする
3. 文字もじでおいて方程式ほうていしき・不等式ふとうしきを立たてる
4. 計算けいさんし、 単位たんいと条件じょうけん (正せいの数かずか・範囲はんい内ないか) を確認かくにんする

例題れいだい3: 縦たてが横よこより $3$ cm 長ながい長方形ちょうほうけいがある。 面積めんせきが $40$ cm² のとき、 横よこの長ながさを求もとめなさい。

解答かいとう: 横よこを $x$ cm とすると縦たては $x+3$ cm。 面積めんせきより $x(x+3)=40$。 $x^2+3x-40=0$、 $(x+8)(x-5)=0$ より $x=-8,5$。 長ながさは正せいなので $x=5$。 横よこは $5$ cm。 検算けんざん: 横$5$、 縦$8$、 面積めんせき$5\times 8=40$ で一致いっち。

どう問とわれるか

• データは 分散ぶんさん・標準ひょうじゅん偏差へんいの計算けいさん と 箱ばこひげ図ずの読よみ取とり が頻出ひんしゅつです。 偏差へんいの2乗じょうの和わを落おち着ついて計算けいさんします。
• 相関そうかん係数けいすうは値あたいの範囲はんい$-1\leqq r\leqq 1$ と符号ふごうの意味いみを問とわれます。
• 二に次じでは文章ぶんしょう題だいを 文字もじでおいて方程式ほうていしきに翻訳ほんやく し、 最後さいごに条件じょうけん (正せい・範囲はんい) で答えこたえをしぼります。

よくまちがえるところ

データの分析ぶんせきは用語ようごの意味いみを取とりちがえると、 計算けいさんが正ただしくても答えこたえがずれます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
分散ぶんさんを偏差へんいの和わで計算けいさんする	偏差へんい -4、 -2、 0、 2、 4 をたした 0 を分散ぶんさんとする	2乗じょうしてから平均へいきんをとる
分散ぶんさんと標準ひょうじゅん偏差へんいを取とりちがえる	分散ぶんさん 8 をそのまま標準ひょうじゅん偏差へんいと答こたえる	標準ひょうじゅん偏差へんいは √8 = 2√2
中央ちゅうおう値ちで位置いちと値あたいを混同こんどうする	7個このデータの中央ちゅうおう値ちを 4 とする	4番目ばんめにある値あたいそのものを答こたえる
相関そうかん係数けいすうの範囲はんいを外はずれる	r = 1.4 と答こたえる	相関そうかん係数けいすうは -1 以上いじょう 1 以下いか

いちばん多おおいのは 分散ぶんさんの求もとめ方かた です。 偏差へんい (値ち - 平均へいきん) はたすと必かならず 0 になるので、 そのままでは散ちらばりを表あらわせません。 だから2乗じょうしてから平均へいきんをとります。 ただし2乗じょうすると単位たんいも2乗じょうされるので、 もとの単位たんいに戻もどすために平方根へいほうこんをとったものが標準偏差ひょうじゅんへんさです。 「2乗じょうして平均へいきん、 最後さいごに平方根へいほうこん」 と声こえに出だして手順てじゅんを確認かくにんしましょう。

分散ぶんさんを求もとめる手順てじゅん

順番じゅんばん	やること	例れい (4、 6、 8、 10、 12)
1	平均へいきんを求もとめる	(4+6+8+10+12) ÷ 5 = 8
2	各かくデータから平均へいきんを引ひく (偏差へんい)	-4、 -2、 0、 2、 4
3	偏差へんいの和わが 0 か確たしかめる	和わは 0 なのでここまで正ただしい
4	偏差へんいを2乗じょうする	16、 4、 0、 4、 16
5	2乗じょうの和わをデータの個数こすうで割われる	40 ÷ 5 = 8 が分散ぶんさん
6	平方根へいほうこんをとる	√8 = 2√2 が標準ひょうじゅん偏差へんい

別べつの式しきでも検算けんざんできます。 分散ぶんさんは (2乗じょうの平均へいきん) - (平均へいきん)² でも求もとまります。 この例れいでは 2乗じょうの平均へいきんが (16+36+64+100+144) ÷ 5 = 72、 平均へいきんの2乗じょうが 64 なので 72 - 64 = 8 となり一致いっちします。

大事だいじ: 二に次じ (数理すうり技能ぎのう) の文章ぶんしょう題だいでは、 計算けいさんのあとに 「長ながさは正せい」 「人数にんずうは整数せいすう」 などの条件じょうけんで答えこたえをしぼる作業さぎょうが必かならず必要ひつようです。 方程式ほうていしきの解かいを全部ぜんぶ書かいて終おわりにしないでください。

自分じぶんでチェック

• 偏差へんいの和わが 0 になることを使つかって途中とちゅうの検算けんざんができる
• 分散ぶんさんが偏差へんいの2乗じょうの平均へいきんだと言いえる
• 標準ひょうじゅん偏差へんいが分散ぶんさんの正せいの平方根へいほうこんだと言いえる
• 相関そうかん係数けいすうが -1 以上いじょう 1 以下いかだと言いえる
• 文章ぶんしょう題だいで求もとめた解かいを条件じょうけん (正せい・整数せいすう・範囲はんい) でしぼれる

まとめ

• 代表だいひょう値ち: 平均へいきん・中央ちゅうおう値ち・最頻値さいひんち、 四分位数しぶんいすう・四よん分ふん位い範囲はんい
• 分散ぶんさん = 偏差へんいの2乗じょうの平均へいきん、 標準ひょうじゅん偏差へんい = $\sqrt{分散}$
• 相関そうかん係数けいすう$-1\leqq r\leqq 1$、 符号ふごうと大おおきさで相関そうかんを判断はんだん
• 二に次じは 「整理せいり → 図示ずし → 立たつ式しき → 計算けいさん → 条件じょうけん確認かくにん」 の流ながれ

これで数すう検けん準じゅん2級きゅう (数すうI・数かずA) の全ぜん範囲はんいを学まなびました。 一いち問もん一いち答とうと問題もんだい集しゅうでくり返かえし練習れんしゅうし、 計算けいさんの正確せいかくさと文章ぶんしょう題だいの立たつ式しき力りょくを高たかめましょう。

※ 「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」 は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。 この教材きょうざいは非公式ひこうしきの学習がくしゅう教材きょうざいであり、 合格ごうかくを保証ほしょうするものではありません。