三角さんかく比ひ — 正弦せいげん定理ていり・余弦よげん定理ていり・面積めんせき β版

この章しょうで学まなぶこと

図形ずけいの長ながさや角かくを計算けいさんで求もとめる道具どうぐが三角比さんかくひです。 正弦せいげん定理ていり・余弦よげん定理ていりは二に次じ (数理すうり技能ぎのう) でも頻出ひんしゅつです。

• sin・cos・tan の定義ていぎと有名角ゆうめいかくの値あたい
• ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ などの相互そうご関係かんけい
• 正弦定理せいげんていり・余弦定理よげんていり
• 三角形さんかくけいの面積めんせき公式こうしき

ポイント: 角かくは 度ど (°) で扱あつかいます。 有名ゆうめい角かく 30°・45°・60° の値あたいは確実かくじつに覚おぼえましょう。 鈍角どんかく (90°〜180°) では $\sin \theta >0$、 、 になります。

1. 三角さんかく比ひの定義ていぎと有名ゆうめい角かく

直角ちょっかく三角形さんかくけいで、 角$\theta$ に対たいして

$\sin \theta =\frac{}{},\cos \theta =\frac{}{},\tan \theta =\frac{}{}$

有名ゆうめい角かくの値あたい:

$\theta$	$30°$	$45°$	$60°$
$\sin \theta$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos \theta$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$
$\tan \theta$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$

相互そうご関係かんけい: ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$、 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$。

例題れいだい1: $\theta$ が鋭角えいかくで $\cos \theta =\frac{3}{5}$ のとき、 $\sin \theta$ と $\tan \theta$ を求もとめなさい。

解答かいとう: ${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$。 鋭角えいかくなので $\sin \theta =\frac{4}{5}$。 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{4/5}{3/5}=\frac{4}{3}$。 検算けんざん: $(3,4,5)$ の直角ちょっかく三角形さんかくけいそのもの。 $\sin =4/5$, $\cos =3/5$, $\tan =4/3$ で一致いっち。

2. 正弦せいげん定理ていり

三角形さんかくけい$ABC$ の外接がいせつ円えんの半径はんけいを $R$ とすると、

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

(辺へん$a$ は角$A$ の対辺たいへん。)

例題れいだい2: 三角形さんかくけい$ABC$ で $A=30°$、 $a=4$ のとき、 外接がいせつ円えんの半径はんけい$R$ を求もとめなさい。

解答かいとう: $\frac{a}{\sin A}=2R$ より $2R=\frac{4}{\sin 30°}=\frac{4}{1/2}=8$。 よって $R=4$。

3. 余弦よげん定理ていり

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

(辺へんと1つの角かくから残のこりの辺へん、 または3辺へんから角かくを求もとめるときに使つかいます。)

例題れいだい3: 三角形さんかくけい$ABC$ で $b=3$、 $c=5$、 $A=60°$ のとき、 辺へん$a$ の長ながさを求もとめなさい。

解答かいとう: $a^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cos 60°=9+25-30\cdot \frac{1}{2}=34-15=19$。 よって $a=\sqrt{19}$。 検算けんざん: $\cos 60°=1/2$。 $9+25=34$、 $34-15=19$、 $a=\sqrt{19}\approx 4.36$。 $b=3,c=5$ にはさまれた辺へんとしてもっともらしい。

4. 三角形さんかくけいの面積めんせき

2辺へんとそのはさむ角かくがわかれば、

$S=\frac{1}{2}bc\sin A$

例題れいだい4: $b=6$、 $c=8$、 $A=30°$ の三角形さんかくけいの面積めんせきを求もとめなさい。

解答かいとう: $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot \sin 30°=\frac{1}{2}\cdot 48\cdot \frac{1}{2}=12$。

どう問とわれるか

• 有名ゆうめい角かくの sin・cos・tan は計算けいさん問題もんだいで直接ちょくせつ使つかうので暗記あんき必須ひっすです。
• 「1角かくと対辺たいへん」 が見みえたら正弦定理せいげんていり、 「2辺へんとはさむ角かく」「3辺へん」 が見みえたら余弦定理よげんていり、 と使つかい分わけます。
• 面積めんせきは $\frac{1}{2}bc\sin A$。 ヘロンの公式へろんのこうしきを使つかう問題もんだいも二に次じで出でることがあります。

よくまちがえるところ

三角比さんかくひでくずれるのは 鈍角どんかくの符号ふごう と 定理ていりの使つかい分わけ です。

まちがい	例れい	直なおし方かた
鈍角どんかくで cos の符号ふごうを落おとす	90° < θ < 180° で sinθ = 1/2 のとき cosθ = √3/2 とする	鈍角どんかくでは cos は負ふなので -√3/2
2辺へんとはさむ角かくなのに正弦せいげん定理ていりを使つかう	b = 3、 c = 5、 A = 60° から a を正弦せいげん定理ていりで出だそうとする	余弦よげん定理ていり a² = b² + c² - 2bc cosA
余弦よげん定理ていりの最後さいごの項こうを足たす	a² = b² + c² + 2bc cosA とする	引ひく。 三さん平方へいほうの定理ていりの拡張かくちょうと考かんがえる
面積めんせきの公式こうしきで cos を使つかう	S = (1/2)bc cosA とする	S = (1/2)bc sinA

いちばん多おおいのは 相互そうご関係かんけいで符号ふごうを落おとすこと です。 sin²θ + cos²θ = 1 から cos を求もとめると cosθ = ±√(1 - sin²θ) となり、 符号ふごうは角かくの範囲はんいで決きまります。 問題もんだい文ぶんに 「鋭角えいかく」 とあれば正せい、 「鈍角どんかく」 や 「三角形さんかくけいの内角ないかくで cos が負ふ」 とあれば負ふです。 平方根へいほうこんを開ひらいた瞬間しゅんかんに、 角かくの範囲はんいを確認かくにんする手てを止とめるクセをつけましょう。

正弦せいげん定理ていりと余弦よげん定理ていりを使つかい分わける

分わかっているもの	使つかうもの	求もとまるもの
1つの角かくとその対辺たいへん、 もう1つの角かく	正弦定理せいげんていり	もう1つの角かくの対辺たいへん
1つの角かくとその対辺たいへん	正弦定理せいげんていり	外接がいせつ円えんの半径はんけい R
2辺へんとそのはさむ角かく	余弦定理よげんていり	残のこりの1辺へん
3辺へん	余弦よげん定理ていりを変形へんけいした cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)	角かく
2辺へんとそのはさむ角かく	面積めんせきの公式こうしき S = (1/2)bc sinA	面積めんせき

符号ふごうは角かくの範囲はんいで決きまります。 三角形さんかくけいの内角ないかくなら 0° より大おおきく 180° より小ちいさい範囲はんいです。

θ の範囲はんい	sinθ	cosθ	tanθ
0° < θ < 90°	正せい	正せい	正せい
θ = 90°	1	0	定義ていぎされない
90° < θ < 180°	正せい	負ふ	負ふ

自分じぶんでチェック

• 30°・45°・60° の sin・cos・tan の値あたいをすぐ書かける
• 鈍角どんかくでは cos と tan が負ふになると言いえる
• 「1角かくと対辺たいへん」 なら正弦せいげん定理ていり、 「2辺へんとはさむ角かく」 なら余弦よげん定理ていりと選えらべる
• 3辺へんから cosA = (b² + c² - a²) / (2bc) で角かくを求もとめられる
• 三角形さんかくけいの面積めんせきを S = (1/2)bc sinA で求もとめられる

まとめ

• $\sin =$対辺たいへん/斜辺しゃへん、 $\cos =$底辺ていへん/斜辺しゃへん、 $\tan =$対辺たいへん/底辺ていへん。 有名ゆうめい角かくの値あたいを暗記あんき
• ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$
• 正弦定理せいげんていり $a/\sin A=2R$、 余弦定理よげんていり $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
• 面積めんせき$S=\frac{1}{2}bc\sin A$

次章しょうでは、 平面図形へいめんずけいを深ふかめる 図形ずけいの性質せいしつ (円えん・三角形さんかくけいの五心ごしん・方ぽうべきの定理ていり) を学まなびます。