三角さんかく比ひ — 正弦せいげん定理ていり・余弦よげん定理ていり・面積めんせき

この章しょうで学まなぶこと

図形ずけいの長ながさや角かくを計算けいさんで求もとめる道具どうぐが三角比さんかくひです。 正弦せいげん定理ていり・余弦よげん定理ていりは二に次じ (数理すうり技能ぎのう) でも頻出ひんしゅつです。

• sin・cos・tan の定義ていぎと有名角ゆうめいかくの値あたい
• ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ などの相互そうご関係かんけい
• 正弦定理せいげんていり・余弦定理よげんていり
• 三角形さんかくけいの面積めんせき公式こうしき

ポイント: 角かくは 度ど (°) で扱あつかいます。 有名ゆうめい角かく 30°・45°・60° の値あたいは確実かくじつに覚おぼえましょう。 鈍角どんかく (90°〜180°) では $\sin \theta >0$、 、 になります。

1. 三角さんかく比ひの定義ていぎと有名ゆうめい角かく

直角ちょっかく三角形さんかくけいで、 角$\theta$ に対たいして

$\sin \theta =\frac{}{},\cos \theta =\frac{}{},\tan \theta =\frac{}{}$

有名ゆうめい角かくの値あたい:

$\theta$	$30°$	$45°$	$60°$
$\sin \theta$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos \theta$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{2}$
$\tan \theta$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$

相互そうご関係かんけい: ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$、 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$。

例題れいだい1: $\theta$ が鋭角えいかくで $\cos \theta =\frac{3}{5}$ のとき、 $\sin \theta$ と $\tan \theta$ を求もとめなさい。

解答かいとう: ${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$。 鋭角えいかくなので $\sin \theta =\frac{4}{5}$。 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{4/5}{3/5}=\frac{4}{3}$。 検算けんざん: $(3,4,5)$ の直角ちょっかく三角形さんかくけいそのもの。 $\sin =4/5$, $\cos =3/5$, $\tan =4/3$ で一致いっち。

2. 正弦せいげん定理ていり

三角形さんかくけい$ABC$ の外接がいせつ円えんの半径はんけいを $R$ とすると、

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

(辺へん$a$ は角$A$ の対辺たいへん。)

例題れいだい2: 三角形さんかくけい$ABC$ で $A=30°$、 $a=4$ のとき、 外接がいせつ円えんの半径はんけい$R$ を求もとめなさい。

解答かいとう: $\frac{a}{\sin A}=2R$ より $2R=\frac{4}{\sin 30°}=\frac{4}{1/2}=8$。 よって $R=4$。

3. 余弦よげん定理ていり

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

(辺へんと1つの角かくから残のこりの辺へん、 または3辺へんから角かくを求もとめるときに使つかいます。)

例題れいだい3: 三角形さんかくけい$ABC$ で $b=3$、 $c=5$、 $A=60°$ のとき、 辺へん$a$ の長ながさを求もとめなさい。

解答かいとう: $a^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cos 60°=9+25-30\cdot \frac{1}{2}=34-15=19$。 よって $a=\sqrt{19}$。 検算けんざん: $\cos 60°=1/2$。 $9+25=34$、 $34-15=19$、 $a=\sqrt{19}\approx 4.36$。 $b=3,c=5$ にはさまれた辺へんとしてもっともらしい。

4. 三角形さんかくけいの面積めんせき

2辺へんとそのはさむ角かくがわかれば、

$S=\frac{1}{2}bc\sin A$

例題れいだい4: $b=6$、 $c=8$、 $A=30°$ の三角形さんかくけいの面積めんせきを求もとめなさい。

解答かいとう: $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot \sin 30°=\frac{1}{2}\cdot 48\cdot \frac{1}{2}=12$。

どう問とわれるか

• 有名ゆうめい角かくの sin・cos・tan は計算けいさん問題もんだいで直接ちょくせつ使つかうので暗記あんき必須ひっすです。
• 「1角かくと対辺たいへん」 が見みえたら正弦定理せいげんていり、 「2辺へんとはさむ角かく」「3辺へん」 が見みえたら余弦定理よげんていり、 と使つかい分わけます。
• 面積めんせきは $\frac{1}{2}bc\sin A$。 ヘロンの公式へろんのこうしきを使つかう問題もんだいも二に次じで出でることがあります。

まとめ

• $\sin =$対辺たいへん/斜辺しゃへん、 $\cos =$底辺ていへん/斜辺しゃへん、 $\tan =$対辺たいへん/底辺ていへん。 有名ゆうめい角かくの値あたいを暗記あんき
• ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$
• 正弦定理せいげんていり $a/\sin A=2R$、 余弦定理よげんていり $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
• 面積めんせき$S=\frac{1}{2}bc\sin A$

次章しょうでは、 平面図形へいめんずけいを深ふかめる 図形ずけいの性質せいしつ (円えん・三角形さんかくけいの五心ごしん・方ぽうべきの定理ていり) を学まなびます。