場合ばあいの数かずと確率かくりつ

この章しょうで学まなぶこと

数かぞえあげの技術ぎじゅつと確率かくりつです。 順列じゅんれつと組合せくみあわせの区別くべつがいちばんのポイントです。

• 順列じゅんれつ ${}_n{P}_r$ と組合せくみあわせ ${}_n{C}_r$
• 和の法則わのほうそく・積の法則せきのほうそく
• 確率かくりつの基本きほんと余事象よじしょう
• 期待値きたいち

ポイント: 並ならべる順番じゅんばんを区別くべつするなら順列じゅんれつ $P$、 区別くべつしないなら組合せくみあわせ $C$ です。 「選えらぶだけ」 は組合せくみあわせ、 「選えらんで並ならべる・役割やくわりをつける」 は順列じゅんれつです。

1. 順列じゅんれつと組合せくみあわせ

異ことなる $n$個から $r$個を取とり出だして並ならべる順列じゅんれつ: ${}_n{P}_r=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}$

並ならべずに選えらぶだけの組合せくみあわせ: ${}_n{C}_r=\frac{{}_n{P}_r}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

例題れいだい1: 6人にんから3人にんを選えらんで1列れつに並ならべる方法ほうほうは何なん通とおりか。 また、 6人にんから3人にんを選えらぶ (並ならべない) 方法ほうほうは何なん通とおりか。

解答かいとう: 並ならべる場合ばあいは ${}_6{P}_3=6\times 5\times 4=120$通とおり。 選えらぶだけなら ${}_6{C}_3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=\frac{120}{6}=20$通とおり。 検算けんざん: ${}_6{C}_3={}_6{P}_3/3!=120/6=20$ で一致いっち。

2. 確率かくりつの基本きほん

すべての場合ばあいが同様どうように確たしからしいとき、

$P\left(A\right)=\frac{事象 A の起こる場合の数}{}$

「少すくなくとも〜」 は余事象よじしょう $P\left(A\right)=1-P(A‾)$ を使つかうと楽らくです。

例題れいだい2: 赤あか玉だま3個こ・白玉しらたま2個こが入はいった袋ふくろから同時どうじに2個こ取とり出だすとき、 2個ことも赤あか玉だまである確率かくりつを求もとめなさい。

解答かいとう: 全部ぜんぶで ${}_5{C}_2=10$通とおり。 赤あか2個この選えらび方かたは ${}_3{C}_2=3$通とおり。 確率かくりつは $\frac{3}{10}$。

例題れいだい3: さいころを2回かい投なげるとき、 少すくなくとも1回かいは6の目めが出でる確率かくりつを求もとめなさい。

解答かいとう: 余よ事象じしょう 「1回かいも6が出でない」 の確率かくりつは $\frac{5}{6}\times \frac{5}{6}=\frac{25}{36}$。 求もとめる確率かくりつは $1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$。

3. 期待きたい値ち

確率かくりつ変数へんすう$X$ が値あたい$x_1,x_2,\dots$ をとり、 それぞれの確率かくりつが $p_1,p_2,\dots$ のとき、

$E\left(X\right)=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots$

例題れいだい4: さいころを1回かい投なげ、 出でた目めの数かずだけ点てんがもらえる。 得点とくてんの期待きたい値ちを求もとめなさい。

解答かいとう: 各かく目め$1,\dots ,6$ が確率かくりつ$\frac{1}{6}$ で出でるので、 $E\left(X\right)=(1+2+3+4+5+6)\times \frac{1}{6}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}=3.5$。

どう問とわれるか

• まず 順列じゅんれつか組合せくみあわせか を見分みわけます。 「並ならべる・順位じゅんい・役職やくしょく」 は $P$、 「選えらぶ・組ぐみ・代表だいひょう」 は $C$。
• 確率かくりつは分母ぶんぼ (全ぜん事象じしょう) と分子ぶんし (該当がいとう事象じしょう) を同おなじ数かぞえ方かた (同時どうじに取とるなら両方りょうほう組合せくみあわせ) でそろえます。
• 「少すくなくとも」 は余事象よじしょうで計算けいさんするのが定石じょうせきです。

まとめ

• ${}_n{P}_r$ (並ならべる)・${}_n{C}_r$ (選えらぶ)、 ${}_n{C}_r={}_n{P}_r/r!$
• 確率かくりつ = 該当がいとうする場合ばあいの数かず / 全体ぜんたいの場合ばあいの数かず
• 「少すくなくとも」 は余事象よじしょう $1-P(A‾)$
• 期待値きたいち $E\left(X\right)=\sum x_i{p}_i$

次章しょうでは、 数かずAの 整数せいすうの性質せいしつ (ユークリッドの互除法じょほう・n進すすむ法ほう) を学まなびます。