場合ばあいの数かずと確率かくりつ

この章しょうで学まなぶこと

数かぞえあげの技術ぎじゅつと確率かくりつです。 順列じゅんれつと組合せくみあわせの区別くべつがいちばんのポイントです。

• 順列じゅんれつ ${}_n{P}_r$ と組合せくみあわせ ${}_n{C}_r$
• 和の法則わのほうそく・積の法則せきのほうそく
• 確率かくりつの基本きほんと余事象よじしょう
• 期待値きたいち

ポイント: 並ならべる順番じゅんばんを区別くべつするなら順列じゅんれつ $P$、 区別くべつしないなら組合せくみあわせ $C$ です。 「選えらぶだけ」 は組合せくみあわせ、 「選えらんで並ならべる・役割やくわりをつける」 は順列じゅんれつです。

1. 順列じゅんれつと組合せくみあわせ

異ことなる $n$個から $r$個を取とり出だして並ならべる順列じゅんれつ: ${}_n{P}_r=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}$

並ならべずに選えらぶだけの組合せくみあわせ: ${}_n{C}_r=\frac{{}_n{P}_r}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

例題れいだい1: 6人にんから3人にんを選えらんで1列れつに並ならべる方法ほうほうは何なん通とおりか。 また、 6人にんから3人にんを選えらぶ (並ならべない) 方法ほうほうは何なん通とおりか。

解答かいとう: 並ならべる場合ばあいは ${}_6{P}_3=6\times 5\times 4=120$通とおり。 選えらぶだけなら ${}_6{C}_3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=\frac{120}{6}=20$通とおり。 検算けんざん: ${}_6{C}_3={}_6{P}_3/3!=120/6=20$ で一致いっち。

2. 確率かくりつの基本きほん

すべての場合ばあいが同様どうように確たしからしいとき、

$P\left(A\right)=\frac{事象 A の起こる場合の数}{}$

「少すくなくとも〜」 は余事象よじしょう $P\left(A\right)=1-P(A‾)$ を使つかうと楽らくです。

例題れいだい2: 赤あか玉だま3個こ・白玉しらたま2個こが入はいった袋ふくろから同時どうじに2個こ取とり出だすとき、 2個ことも赤あか玉だまである確率かくりつを求もとめなさい。

解答かいとう: 全部ぜんぶで ${}_5{C}_2=10$通とおり。 赤あか2個この選えらび方かたは ${}_3{C}_2=3$通とおり。 確率かくりつは $\frac{3}{10}$。

例題れいだい3: さいころを2回かい投なげるとき、 少すくなくとも1回かいは6の目めが出でる確率かくりつを求もとめなさい。

解答かいとう: 余よ事象じしょう 「1回かいも6が出でない」 の確率かくりつは $\frac{5}{6}\times \frac{5}{6}=\frac{25}{36}$。 求もとめる確率かくりつは $1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$。

3. 期待きたい値ち

確率かくりつ変数へんすう$X$ が値あたい$x_1,x_2,\dots$ をとり、 それぞれの確率かくりつが $p_1,p_2,\dots$ のとき、

$E\left(X\right)=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots$

例題れいだい4: さいころを1回かい投なげ、 出でた目めの数かずだけ点てんがもらえる。 得点とくてんの期待きたい値ちを求もとめなさい。

解答かいとう: 各かく目め$1,\dots ,6$ が確率かくりつ$\frac{1}{6}$ で出でるので、 $E\left(X\right)=(1+2+3+4+5+6)\times \frac{1}{6}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}=3.5$。

どう問とわれるか

• まず 順列じゅんれつか組合せくみあわせか を見分みわけます。 「並ならべる・順位じゅんい・役職やくしょく」 は $P$、 「選えらぶ・組ぐみ・代表だいひょう」 は $C$。
• 確率かくりつは分母ぶんぼ (全ぜん事象じしょう) と分子ぶんし (該当がいとう事象じしょう) を同おなじ数かぞえ方かた (同時どうじに取とるなら両方りょうほう組合せくみあわせ) でそろえます。
• 「少すくなくとも」 は余事象よじしょうで計算けいさんするのが定石じょうせきです。

よくまちがえるところ

この分野ぶんやは計算けいさんよりも 数かぞえ方かたの選えらび方かた でつまずきます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
順列じゅんれつと組合せくみあわせを取とりちがえる	6人にんから委員いいん3人にんを選えらぶ方法ほうほうを 6P3 = 120 通とおりとする	区別くべつのない選えらび方かたなので 6C3 = 20 通とおり
分母ぶんぼと分子ぶんしで数かぞえ方かたをそろえない	同時どうじに2個こ取とり出だす確率かくりつで、 分母ぶんぼは並ならべ方かた、 分子ぶんしは組合せくみあわせで数かぞえる	どちらも組合せくみあわせでそろえる
「少すくなくとも1回かい」 をたし算さんで出だす	さいころ2回かいで少すくなくとも1回かい 6 が出でる確率かくりつを 1/6 + 1/6 = 1/3 とする	余事象よじしょうで 1 - (5/6)² = 11/36
答えこたえが 1 をこえても気きづかない	確率かくりつが 7/6 になってもそのまま書かく	確率かくりつは 0 以上いじょう 1 以下いか

いちばん多おおいのは 順列じゅんれつと組合せくみあわせの取とりちがえ です。 見分みわけ方かたは 「取とり出だしたものに区別くべつがつくか」 の一いち点てんです。 委員いいん長ちょうと書記しょきのように役やくがちがえば並ならべ方かた (順列じゅんれつ)、 ただの委員いいん3人にんなら選えらぶだけ (組合せくみあわせ) です。 6人にんから3人にんなら 6P3 = 120 通とおり、 6C3 = 20 通とおりで、 20 × 3! = 120 という関係かんけいで検算けんざんできます。

順列じゅんれつか組合せくみあわせかを見分みわける

問題もんだいのことば	どちら	例れい
並ならべる・1列れつに・順番じゅんばんをつける	順列じゅんれつ P	6人にんから3人にんを選えらんで1列れつに並ならべる 120通とおり
委員いいん長ちょう・書記しょきなど役やくをつける	順列じゅんれつ P	6人にんから委員いいん長ちょう・副ふく委員いいん長ちょう・書記しょきを決きめる 120通とおり
選えらぶ・組ぐみをつくる・代表だいひょう (区別くべつなし)	組合せくみあわせ C	6人にんから委員いいん3人にんを選えらぶ 20通とおり
何なん個この三角形さんかくけいができるか	組合せくみあわせ C	どの3点てんも一直線いっちょくせん上じょうにない6点てんから3点てん 20通とおり

確率かくりつの答えこたえは、 出だしたあとに次つぎの2つで必かならず確たしかめます。

確認かくにんすること	見方みかた
値あたいの範囲はんい	0 以上いじょう 1 以下いかになっているか
余よ事象じしょうとの和わ	求もとめた確率かくりつと余よ事象じしょうの確率かくりつをたして 1 になるか

自分じぶんでチェック

• 順列じゅんれつと組合せくみあわせを 「区別くべつがつくかどうか」 で見分みわけられる
• nCr = nPr ÷ r! の関係かんけいを使つかって検算けんざんできる
• 確率かくりつの分母ぶんぼと分子ぶんしを同おなじ数かぞえ方かたでそろえられる
• 「少すくなくとも」 を余よ事象じしょうで計算けいさんできる
• 求もとめた確率かくりつが 0 以上いじょう 1 以下いかかを確たしかめられる

まとめ

• ${}_n{P}_r$ (並ならべる)・${}_n{C}_r$ (選えらぶ)、 ${}_n{C}_r={}_n{P}_r/r!$
• 確率かくりつ = 該当がいとうする場合ばあいの数かず / 全体ぜんたいの場合ばあいの数かず
• 「少すくなくとも」 は余事象よじしょう $1-P(A‾)$
• 期待値きたいち $E\left(X\right)=\sum x_i{p}_i$

次章しょうでは、 数かずAの 整数せいすうの性質せいしつ (ユークリッドの互除法じょほう・n進しん法ほう) を学まなびます。