数検準2級第5章｜判別式で解の個数・二次不等式の解き方を例題で

この章しょうで学まなぶこと

二に次じ関数かんすうのグラフと結むすびつけて、二に次じ方程式ほうていしき・二に次じ不等式ふとうしきを解ときます。

解の公式かいのこうしき
判別式はんべつしき $D = b^{2} - 4 a c$ による実数解じっすうかいの個数こすう
解と係数の関係かいとけいすうのかんけい
二に次じ不等式ふとうしきの解とき方かた (グラフとの対応たいおう)

ポイント: 二に次じ方程式ほうていしき $a x^{2} + b x + c = 0$ の判別式はんべつしき $D = b^{2} - 4 a c$ で実数じっすう解かいの個数こすうが決きまります。 $D > 0$ なら2個こ、 $D = 0$ なら1個こ (重じゅう解かい)、 $D < 0$ なら0個こ (実数じっすう解かいなし)。

1. 解かいの公式こうしきと判別はんべつ式しき

二に次じ方程式ほうていしき $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq 0$ ) の解かいは

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

ここで判別式はんべつしき $D = b^{2} - 4 a c$ が実数解じっすうかいの個数こすうを決きめます。

$D$ の符号ふごう	実数じっすう解かいの個数こすう
$D > 0$	異ことなる2つの実数じっすう解かい
$D = 0$	ただ1つの実数じっすう解かい (重じゅう解かい)
$D < 0$	実数じっすう解かいなし

例題れいだい1: 二に次じ方程式ほうていしき $x^{2} - 4 x + k = 0$ が重じゅう解かいをもつとき、定数ていすう $k$ の値あたいを求もとめなさい。

解答かいとう: 重じゅう解かいの条件じょうけんは $D = 0$ 。 $D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot k = 16 - 4 k = 0$ より $k = 4$ 。 検算けんざん: $k = 4$ のとき $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2} = 0$ で $x = 2$ (重じゅう解かい)。一致いっち。

2. 解かいと係数けいすうの関係かんけい

$a x^{2} + b x + c = 0$ の2解かいを $α, β$ とすると、

$α + β = - \frac{b}{a}, α β = \frac{c}{a}$

例題れいだい2: $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ の2解かいを $α, β$ とするとき、 $α^{2} + β^{2}$ の値あたいを求もとめなさい。

解答かいとう: $α + β = 5$ 、 $α β = 2$ 。 $α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β = 5^{2} - 2 \cdot 2 = 25 - 4 = 21$ 。

3. 二に次じ不等式ふとうしき

二に次じ不等式ふとうしきは、対応たいおうする二に次じ関数かんすうのグラフが $x$ 軸の上うえにあるか下したにあるかで解ときます。 $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a > 0$ ) の解かいを $α < β$ とすると、

$a x^{2} + b x + c > 0 ⟺ x < α$ または $x > β$ (放物線ほうぶつせんが $x$ 軸より上うえ)
$a x^{2} + b x + c < 0 ⟺ α < x < β$ (放物線ほうぶつせんが $x$ 軸より下しも)

例題れいだい3: 二に次じ不等式ふとうしき $x^{2} - x - 6 < 0$ を解ときなさい。

解答かいとう: 左辺さへんを因数いんすう分解ぶんかいすると $(x - 3) (x + 2) < 0$ 。これより $- 2 < x < 3$ 。 検算けんざん: $x = 0$ を代入だいにゅうすると $0 - 0 - 6 = - 6 < 0$ で成立せいりつ。 $x = 4$ なら $16 - 4 - 6 = 6 > 0$ で不ふ成立せいりつ。よって $- 2 < x < 3$ が正ただしい。

例題れいだい4: すべての実数じっすう $x$ で $x^{2} + 2 x + k > 0$ が成なり立たつような定数ていすう $k$ の範囲はんいを求もとめなさい。

解答かいとう: 下したに凸とつの放物線ほうぶつせんがつねに $x$ 軸より上うえ → グラフが $x$ 軸と交まじわらない → $D < 0$ 。 $D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot k = 4 - 4 k < 0$ より $k > 1$ 。

どう問とわれるか

「重じゅう解かいをもつ」「異ことなる2つの実数じっすう解かいをもつ」「実数じっすう解かいをもたない」はすべて判別式はんべつしきの条件じょうけんに翻訳ほんやくします。
二に次じ不等式ふとうしきは 因数いんすう分解ぶんかい → グラフの上下じょうげ が基本きほん。 $a < 0$ のときは両辺りょうへんに $- 1$ をかけて $a > 0$ にしてから考かんがえると安全あんぜんです。
「すべての $x$ で成なり立たつ」はグラフが $x$ 軸と交まじわらない条件じょうけん ( $D < 0$ ) に対応たいおうします。

まとめ

判別式はんべつしき $D = b^{2} - 4 a c$ 。 $D > 0$ :2解かい、 $D = 0$ :重じゅう解かい、 $D < 0$ :解かいなし
解と係数の関係かいとけいすうのかんけい: $α + β = - b / a$ 、 $α β = c / a$
二に次じ不等式ふとうしきは因数いんすう分解ぶんかいしてグラフの上下じょうげで解とく
「つねに正ただし」は $a > 0$ かつ $D < 0$

次章しょうでは、図形ずけいの計量けいりょうの基本きほんとなる 三角さんかく比ひ (正弦せいげん定理ていり・余弦よげん定理ていり・面積めんせき) を学まなびます。

二に次じ方程式ほうていしきの判別はんべつ式しき・二に次じ不等式ふとうしき

この章しょうで学まなぶこと

1. 解かいの公式こうしきと判別はんべつ式しき

2. 解かいと係数けいすうの関係かんけい

3. 二に次じ不等式ふとうしき

どう問とわれるか

まとめ

この章しょうの練れん習しゅう

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