数検すうけん準じゅん2級きゅう

二に次じ方程式ほうていしきの判別はんべつ式しき・二に次じ不等式ふとうしき β版

最終さいしゅう確認かくにん日び: 2026年ねん6月がつ17日にち

この章しょうで学まなぶこと

二に次じ関数かんすうのグラフと結むすびつけて、二に次じ方程式ほうていしき・二に次じ不等式ふとうしきを解ときます。

解の公式かいのこうしき
判別式はんべつしき $D = b^{2} - 4 a c$ による実数解じっすうかいの個数こすう
解と係数の関係かいとけいすうのかんけい
二に次じ不等式ふとうしきの解とき方かた (グラフとの対応たいおう)

ポイント: 二に次じ方程式ほうていしき $a x^{2} + b x + c = 0$ の判別式はんべつしき $D = b^{2} - 4 a c$ で実数じっすう解かいの個数こすうが決きまります。 $D > 0$ なら2個こ、 $D = 0$ なら1個こ (重じゅう解かい)、 $D < 0$ なら0個こ (実数じっすう解かいなし)。

1. 解かいの公式こうしきと判別はんべつ式しき

二に次じ方程式ほうていしき $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq 0$ ) の解かいは

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

ここで判別式はんべつしき $D = b^{2} - 4 a c$ が実数解じっすうかいの個数こすうを決きめます。

$D$ の符号ふごう	実数じっすう解かいの個数こすう
$D > 0$	異ことなる2つの実数じっすう解かい
$D = 0$	ただ1つの実数じっすう解かい (重じゅう解かい)
$D < 0$	実数じっすう解かいなし

例題れいだい1: 二に次じ方程式ほうていしき $x^{2} - 4 x + k = 0$ が重じゅう解かいをもつとき、定数ていすう $k$ の値あたいを求もとめなさい。

解答かいとう: 重じゅう解かいの条件じょうけんは $D = 0$ 。 $D = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot k = 16 - 4 k = 0$ より $k = 4$ 。 検算けんざん: $k = 4$ のとき $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2} = 0$ で $x = 2$ (重じゅう解かい)。一致いっち。

2. 解かいと係数けいすうの関係かんけい

$a x^{2} + b x + c = 0$ の2解かいを $α, β$ とすると、

$α + β = - \frac{b}{a}, α β = \frac{c}{a}$

例題れいだい2: $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ の2解かいを $α, β$ とするとき、 $α^{2} + β^{2}$ の値あたいを求もとめなさい。

解答かいとう: $α + β = 5$ 、 $α β = 2$ 。 $α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β = 5^{2} - 2 \cdot 2 = 25 - 4 = 21$ 。

3. 二に次じ不等式ふとうしき

二に次じ不等式ふとうしきは、対応たいおうする二に次じ関数かんすうのグラフが $x$ 軸の上うえにあるか下したにあるかで解ときます。 $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a > 0$ ) の解かいを $α < β$ とすると、

$a x^{2} + b x + c > 0 ⟺ x < α$ または $x > β$ (放物線ほうぶつせんが $x$ 軸より上うえ)
$a x^{2} + b x + c < 0 ⟺ α < x < β$ (放物線ほうぶつせんが $x$ 軸より下しも)

例題れいだい3: 二に次じ不等式ふとうしき $x^{2} - x - 6 < 0$ を解ときなさい。

解答かいとう: 左辺さへんを因数いんすう分解ぶんかいすると $(x - 3) (x + 2) < 0$ 。これより $- 2 < x < 3$ 。 検算けんざん: $x = 0$ を代入だいにゅうすると $0 - 0 - 6 = - 6 < 0$ で成立せいりつ。 $x = 4$ なら $16 - 4 - 6 = 6 > 0$ で不ふ成立せいりつ。よって $- 2 < x < 3$ が正ただしい。

例題れいだい4: すべての実数じっすう $x$ で $x^{2} + 2 x + k > 0$ が成なり立たつような定数ていすう $k$ の範囲はんいを求もとめなさい。

解答かいとう: 下したに凸とつの放物線ほうぶつせんがつねに $x$ 軸より上うえ → グラフが $x$ 軸と交まじわらない → $D < 0$ 。 $D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot k = 4 - 4 k < 0$ より $k > 1$ 。

どう問とわれるか

「重じゅう解かいをもつ」「異ことなる2つの実数じっすう解かいをもつ」「実数じっすう解かいをもたない」はすべて判別式はんべつしきの条件じょうけんに翻訳ほんやくします。
二に次じ不等式ふとうしきは 因数いんすう分解ぶんかい → グラフの上下じょうげ が基本きほん。 $a < 0$ のときは両辺りょうへんに $- 1$ をかけて $a > 0$ にしてから考かんがえると安全あんぜんです。
「すべての $x$ で成なり立たつ」はグラフが $x$ 軸と交まじわらない条件じょうけん ( $D < 0$ ) に対応たいおうします。

よくまちがえるところ

この章しょうの失点しってんは 判別式はんべつしきの符号ふごう と 不等式ふとうしきの解かいの向むき に集中しゅうちゅうします。

まちがい	例れい	直なおし方かた
判別はんべつ式しきで 4ac を引ひき忘わすれる	x² - 4x + k で D = 16 + 4k とする	D = (-4)² - 4 × 1 × k = 16 - 4k
二に次じ不等式ふとうしきの解かいの向むきを逆ぎゃくにする	(x-3)(x+2) < 0 を x < -2、 3 < x とする	-2 < x < 3
「実数じっすう解かいをもつ」を D > 0 と書かく	重じゅう解かいの場合ばあいを落おとす	実数じっすう解かいをもつ条件じょうけんは D ≧ 0
x² の係数けいすうが負ふのまま解とく	-x² + x + 6 > 0 をそのままグラフで考かんがえる	両辺りょうへんに -1 をかけて x² - x - 6 < 0 (不等号ふとうごうも反対はんたい)

いちばん多おおいのは 解かいの向むき です。下したに凸とつの放物線ほうぶつせんは、 2つの交点こうてんの間まで x 軸じくより下した、外側そとがわで上うえになります。したがって「< 0」なら間、「> 0」なら外側そとがわです。因数いんすう分解ぶんかいした形かたちを見みただけで答えこたえを書かかず、かならず簡単かんたんな放物線ほうぶつせんをかいて、 x 軸じくより上うえか下したかを目めで確たしかめてください。

二に次じ不等式ふとうしきを解とく手順てじゅん

順番じゅんばん	やること	例れい (-x² + x + 6 > 0)
1	x² の係数けいすうを正ただにする	両辺りょうへんに -1 をかけて x² - x - 6 < 0
2	左辺さへん = 0 とおいて解とく	(x-3)(x+2) = 0 より x = -2、 3
3	下したに凸とつの放物線ほうぶつせんをかき交点こうてんを書かきこむ	x 軸じくとの交点こうてんは -2 と 3
4	不等号ふとうごうの向むきで上下じょうげを読よむ	< 0 なので交点こうてんの間ま
5	範囲はんいの内うちと外そとの値あたいを代入だいにゅうして検算けんざんする	x = 0 で -6 < 0 は成立せいりつ、 x = 4 で 6 は不成立ふせいりつ

解かいの個数こすうによって答えこたえの形かたちが変かわります。 a > 0、解かいを α < β とすると次つぎのようになります。

D の符号ふごう	ax² + bx + c > 0 の解かい	ax² + bx + c < 0 の解かい
D > 0	x < α または β < x	α < x < β
D = 0	x = α 以外いがいのすべての実数じっすう	解かいなし
D < 0	すべての実数じっすう	解かいなし

大事だいじ: 「すべての実数じっすう x で成なり立たつ」という条件じょうけんは、 a > 0 かつ D < 0 に翻訳します。 a > 0 を書かき忘わすれると、上うえに凸とつの場合ばあいを落おとしてしまいます。

自分じぶんでチェック

D = b² - 4ac を符号ふごうごと正ただしく書かける
「実数じっすう解かいをもつ」が D ≧ 0 だと言いえる
x² の係数けいすうが負ふのときは両辺りょうへんに -1 をかけて不等ふとう号ごうを反対はんたいにできる
二に次じ不等式ふとうしきの解かいが交点こうてんの間まか外そとかを、グラフから判断はんだんできる
「すべての実数じっすうで正せい」を a > 0 かつ D < 0 と表あらわせる

まとめ

判別式はんべつしき $D = b^{2} - 4 a c$ 。 $D > 0$ :2解かい、 $D = 0$ :重じゅう解かい、 $D < 0$ :解かいなし
解と係数の関係かいとけいすうのかんけい: $α + β = - b / a$ 、 $α β = c / a$
二に次じ不等式ふとうしきは因数いんすう分解ぶんかいしてグラフの上下じょうげで解とく
「つねに正せい」は $a > 0$ かつ $D < 0$

次章しょうでは、図形ずけいの計量けいりょうの基本きほんとなる 三角さんかく比ひ (正弦せいげん定理ていり・余弦よげん定理ていり・面積めんせき) を学まなびます。

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