集合しゅうごうと命題めいだい — 必要ひつよう条件じょうけん・十分じゅうぶん条件じょうけん

この章しょうで学まなぶこと

数学すうがくを 「正ただしく述のべる」 ための論理ろんりの章しょうです。 二に次じ関数かんすうや整数せいすうの証明しょうめいでも土台どだいになります。

• 集合しゅうごうの表あらわし方かたと 共通部分きょうつうぶぶん $\cap$・和集合わしゅうごう $\cup$・補集合ほしゅうごう
• ド・モルガンの法則ド・モルガンのほうそく
• 命題めいだいの真偽しんぎと反例はんれい
• 逆ぎゃく・裏うら・対偶たいぐう
• 必要条件ひつようじょうけん・十分条件じゅうぶんじょうけん・必要十分条件ひつようじゅうぶんじょうけん

ポイント: 「$p\Rightarrow q$ が真しん」 のとき、 $p$ は $q$ であるための 十じゅう分ふん条件じょうけん、 $q$ は $p$ であるための 必要ひつよう条件じょうけん です。 矢印やじるしの 出でるほう (左ひだり) が十じゅう分ふん・入にゅうるほう (右みぎ) が必要ひつよう と覚おぼえます。

1. 集合しゅうごう

ものの集あつまりを集合しゅうごうといいます。 集合しゅうごう$A$, $B$ について、

• 共通部分きょうつうぶぶん $A\cap B$ … $A$ にも $B$ にも属ぞくする
• 和集合わしゅうごう $A\cup B$ … $A$ または $B$ に属ぞくする
• 補集合ほしゅうごう $A‾$ … 全体ぜんたい集合しゅうごうの中なかで $A$ に属ぞくさない

ド・モルガンの法則ド・モルガンのほうそく: $A\cup B‾=A‾\cap B‾,A\cap B‾=A‾\cup B‾$

例題れいだい1: 全体ぜんたい集合しゅうごうを $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$、 $A=\{2,4,6,8,10\}$ (偶数ぐうすう)、 $B=\{3,6,9\}$ (3の倍数ばいすう) とする。 $A\cap B$ と $A\cup B$ を求もとめなさい。

解答かいとう: $A\cap B=\left\{6\right\}$ (両方りょうほうに属ぞくするのは6だけ)。 $A\cup B=\{2,3,4,6,8,9,10\}$。 検算けんざん: 要素ようそ数すうは $n(A\cup B)=n\left(A\right)+n\left(B\right)-n(A\cap B)=5+3-1=7$。 $\{2,3,4,6,8,9,10\}$ は7個こで一致いっち。

2. 命題めいだいと真偽しんぎ

正ただしいか正ただしくないかが決きまる文ぶんを命題めいだいといいます。 命題めいだいが偽にせであることを示しめすには、 成なり立たたない例れい (反例はんれい) を1つ挙あげれば十分じゅうぶんです。

例題れいだい2: 命題めいだい 「$x^2=4$ ならば $x=2$ である」 の真偽しんぎを調しらべなさい。

解答かいとう: 偽にせ。 反例はんれいは $x=-2$。 このとき $x^2=4$ だが $x=2$ ではない。

3. 逆ぎゃく・裏うら・対偶たいぐう

命題めいだい 「$p\Rightarrow q$」 に対たいして、

名称めいしょう	形かたち
もとの命題めいだい	$p\Rightarrow q$
逆ぎゃく	$q\Rightarrow p$
裏うら	$p‾\Rightarrow q‾$
対偶たいぐう	$q‾\Rightarrow p‾$

重要じゅうよう: もとの命題めいだいと対偶たいぐうの真偽しんぎはつねに一致いっちします。 直接ちょくせつ示しめしにくいときは対偶たいぐうを示しめす (対偶たいぐう証明しょうめい) と楽らくになります。

4. 必要ひつよう条件じょうけん・十分じゅうぶん条件じょうけん

$p\Rightarrow q$ が真しんのとき:

• $p$ は $q$ であるための 十分条件じゅうぶんじょうけん
• $q$ は $p$ であるための 必要条件ひつようじょうけん

$p\Rightarrow q$ と $q\Rightarrow p$ がともに真しん ($p\iff q$) のとき、 $p$ は $q$ であるための 必要十分条件ひつようじゅうぶんじょうけん です。

例題れいだい3: 「$x=3$」 は 「$x^2=9$」 であるための何なん条件じょうけんか。

解答かいとう: $x=3\Rightarrow x^2=9$ は真しん。 逆$x^2=9\Rightarrow x=3$ は偽にせ ($x=-3$ が反例はんれい)。 よって 「$x=3$」 は 「$x^2=9$」 であるための 十じゅう分ふん条件じょうけん だが必要ひつよう条件じょうけんではない。

どう問とわれるか

• 集合しゅうごうはベン図べんずを描えがいて要素ようそを数かぞえる、 または $n(A\cup B)=n\left(A\right)+n\left(B\right)-n(A\cap B)$ を使つかう問題もんだいが出でます。
• 必要ひつよう・十分じゅうぶん条件じょうけんは 両方向りょうほうこうの矢印やじるしの真偽しんぎ を確たしかめるのが鉄則てっそく。 片方かたほうだけ真しんなら 「必要ひつようのみ」 か 「十分じゅうぶんのみ」 です。
• 「偽にせ」 を示しめすときは必かならず反例はんれいを1つ挙あげます。

よくまちがえるところ

この分野ぶんやは計算けいさんがない分ぶん、 ことばの向むき をまちがえると全部ぜんぶが反対はんたいになります。

まちがい	例れい	直なおし方かた
必要ひつよう条件じょうけんと十じゅう分ふん条件じょうけんを逆ぎゃくにする	「x = 3」 は 「x² = 9」 であるための必要ひつよう条件じょうけんと答こたえる	矢印やじるしの出でるほう (左ひだり) が十じゅう分ふん条件じょうけん
偽にせと答こたえるだけで反例はんれいを書かかない	「x² = 4 ならば x = 2」 を偽にせとだけ書かく	x = -2 という反例はんれいを1つ書かく
逆ぎゃくと対偶たいぐうを取とりちがえる	p ⇒ q の対偶たいぐうを q ⇒ p とする	対偶たいぐうは 「q でない ⇒ p でない」
ド・モルガンで ∩ と ∪ を変かえない	A ∪ B の補ほ集合しゅうごうを 「A の補ほ集合しゅうごう ∪ B の補ほ集合しゅうごう」 とする	∩ に変かわる

いちばん多おおいのは 必要ひつようと十じゅう分ぶんの取とりちがえ です。 「p は q であるための○○条件じょうけん」 と聞きかれたら、 主語しゅごは p、 相手あいては q です。 p ⇒ q が真しんなら p は十分じゅうぶん条件じょうけん、 q ⇒ p が真しんなら p は必要ひつよう条件じょうけん。 集合しゅうごうで考かんがえると分わかりやすく、 p を満みたすものの集合しゅうごう P が q を満みたすものの集合しゅうごう Q にすっぽり入はいる (P ⊂ Q) とき、 p は q であるための十分じゅうぶん条件じょうけんです。 「小ちいさいほうが十分じゅうぶん」 と覚おぼえると迷まよいません。

必要ひつよう条件じょうけん・十分じゅうぶん条件じょうけんの調しらべ方かた

順番じゅんばん	やること	例れい (p は 「x = 3」、 q は 「x² = 9」)
1	p ⇒ q が真しんか調しらべる	x = 3 なら x² = 9 なので真しん
2	q ⇒ p が真しんか調しらべる	x = -3 が反例はんれいなので偽にせ
3	下したの表ひょうにあてはめて答こたえる	真しんと偽にせの組くみなので十じゅう分ふん条件じょうけん

p ⇒ q	q ⇒ p	p は q であるための
真しん	真しん	必要十分条件ひつようじゅうぶんじょうけん
真しん	偽にせ	十分条件じゅうぶんじょうけん (必要ひつよう条件じょうけんではない)
偽にせ	真しん	必要条件ひつようじょうけん (十じゅう分ふん条件じょうけんではない)
偽にせ	偽にせ	どちらでもない

大事だいじ: 片方かたほうの向むきだけを確たしかめて答えこたえを決きめてはいけません。 かならず両方りょうほうの向むきを調しらべ、 偽にせのほうには反例はんれいを書かきそえます。

自分じぶんでチェック

• 「p は q であるための」 の主語しゅごが p だと分わかる
• p ⇒ q が真しんのとき p が十じゅう分ふん条件じょうけんだと言いえる
• 命題めいだいが偽にせであることを反例はんれい1つで示しめせる
• p ⇒ q の対偶たいぐうが 「q でない ⇒ p でない」 だと書かける
• ド・モルガンの法則ほうそくで ∩ と ∪ が入いれかわると言いえる

まとめ

• 集合しゅうごう: $\cap$ (かつ)・$\cup$ (または)・$A‾$ (補ほ集合しゅうごう)、 ド・モルガンの法則ほうそく
• 命題めいだいが偽にせ → 反例はんれいを1つ挙あげる
• もとの命題めいだいと対偶たいぐうの真偽しんぎは一致いっちする
• 十分じゅうぶん ($\Rightarrow$ の左ひだり) ・必要ひつよう ($\Rightarrow$ の右みぎ)、 両方りょうほう真しんなら必要ひつよう十じゅう分ふん

次じ章しょうでは、 数かずIの中心ちゅうしんとなる 二に次じ関数かんすう (グラフ・最大さいだい最小さいしょう) を学まなびます。