数かずと式しき — 展開てんかい・因数いんすう分解ぶんかい・実数じっすう・1次じ不等式ふとうしき

この章しょうで学まなぶこと

数かずIの計算けいさんの土台どだいです。 ここがあやふやだと二に次じ関数かんすうや二に次じ不等式ふとうしきでつまずきます。 一いち次じ (計算けいさん技能ぎのう) で確実かくじつに点てんをとるために、 ていねいに固かためましょう。

• 多項式たこうしきの展開てんかい (公式こうしき・3次じの展開てんかい)
• たすきがけを含ふくむ因数分解いんすうぶんかい
• 実数じっすう・絶対値ぜったいち・根号こんごうの計算けいさん (分母ぶんぼの有理ゆうり化か)
• 1次不等式ふとうしきと連立不等式れんりつふとうしき、 絶対値ぜったいちを含ふくむ方程式ほうていしき・不等式ふとうしき

ポイント: いちばんの注意ちゅういは 符号ふごう と 不等式ふとうしきで負ふの数かずをかけ・割われるときの不等号ふとうごうの向むき です。 公式こうしきは暗記あんきより 「展開てんかいすると確たしかめられる」 ことを意識いしきしましょう。

1. 展開てんかいの公式こうしき

基本きほんの展開てんかい公式こうしきを確認かくにんします。

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2,(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

3次じの展開てんかい公式こうしきも準じゅん2級きゅうでは使つかいます。

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3,(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$

例題れいだい1: $(2x-3{)}^2$ を展開てんかいしなさい。

解答かいとう: $(2x{)}^2-2\cdot 2x\cdot 3+3^2=4x^2-12x+9$。 検算けんざん: $x=1$ のとき左辺さへん$(2-3{)}^2=1$、 右辺うへん$4-12+9=1$。 一致いっち。

2. 因数いんすう分解ぶんかい

展開てんかいの逆ぎゃくです。 共通きょうつう因数いんすう → 公式こうしき → たすきがけ の順じゅんに考えかんがえます。

$ac{x}^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)$

これがたすきがけです。 $a{x}^2+bx+c$ で、 かけて $ac$、 たして $b$ になる組くみを探さがします。

例題れいだい2: $6x^2+7x-3$ を因数いんすう分解ぶんかいしなさい。

解答かいとう: $6\times (-3)=-18$ で、 たして $+7$ になる2数すうは $+9$ と $-2$。 $6x^2+9x-2x-3=3x(2x+3)-(2x+3)=(2x+3)(3x-1)$。 検算けんざん: $(2x+3)(3x-1)=6x^2-2x+9x-3=6x^2+7x-3$。 一致いっち。

3. 実数じっすうと根号こんごうの計算けいさん

実数じっすうは有理数ゆうりすうと無理数むりすうからなります。 $\sqrt{2}$ や $\pi$ は無理数むりすうです。

絶対値ぜったいちは数すう直線ちょくせん上じょうの原点げんてんからの距離きょりで、 $\mid a\mid \geqq 0$。 とくに $\sqrt{a^2}=\mid a\mid$ に注意ちゅういします。

分母ぶんぼに根号こんごうがあるときは 分母ぶんぼの有理ゆうり化か をします。

例題れいだい3: $\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ を有理ゆうり化かしなさい。

解答かいとう: 分母ぶんぼ・分子ぶんしに $(\sqrt{5}+\sqrt{2})$ をかけます。 $\frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}=\frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2}=\frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3}=\sqrt{5}+\sqrt{2}$

4. 1次じ不等式ふとうしき

不等式ふとうしきは等式とうしきとほぼ同おなじように解とけますが、 両辺りょうへんに負ふの数かずをかける・割われるときは不等号ふとうごうの向むきが反対はんたい になります。

例題れいだい4: 不等式ふとうしき$3x-5>5x+1$ を解ときなさい。

解答かいとう: $3x-5x>1+5$ より $-2x>6$。 両辺りょうへんを $-2$ で割われると不等号ふとうごうが反対はんたいになり 。 検算けんざん: $x=-4$ を代入だいにゅうすると左辺さへん$-17$、 右辺うへん$-19$ で $-17>-19$ は成立せいりつ。 $x=0$ なら $-5>1$ は不成立ふせいりつ。 よって が正ただしい。

絶対値ぜったいちを含ふくむ不等式ふとうしきは、 ($a>0$) のとき 、 $\mid x\mid >a$ のとき または $x>a$ と場合ばあい分わけします。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 展開てんかい・因数いんすう分解ぶんかい・根号こんごうの計算けいさん・1次じ不等式ふとうしき が単独たんどくの計算けいさん問題もんだいとして出でます。
• 因数いんすう分解ぶんかいは たすきがけ が頻出ひんしゅつ。 かけ算ざんとたし算さんの2条件じょうけんを満みたす組くみをすばやく探さがす練習れんしゅうをします。
• 不等式ふとうしきは 不等号ふとうごうの向むき のミスが最大さいだいの失点しってん源げんです。 負ふの数かずで割われる瞬間しゅんかんに向むきを変かえるクセをつけましょう。

よくまちがえるところ

数かずと式しきで落おとす点てんは、 ほとんどが 符号ふごう と 不等号ふとうごうの向むき です。

まちがい	例れい	直なおし方かた
平方へいほうの展開てんかいで中央ちゅうおうの項こうの符号ふごうを落おとす	(2x-3)² を 4x² - 6x + 9 とする	中央ちゅうおうは -2 × 2x × 3 = -12x
根号こんごうの中なかの2乗じょうをそのまま外はずす	a = -3 のとき √(a²) を -3 とする	√(a²) は a の絶対ぜったい値ちなので 3
負ふの数かずで割われるときに不等号ふとうごうの向むきを変かえない	-2x > 6 から x > -3 とする	向むきを反対はんたいにして x < -3
たすきがけで定数ていすう項こうの符号ふごうを見落みおとす	6x² + 7x - 3 で かけて 18 になる2数すうをさがす	かけて 6 × (-3) = -18、 たして 7 の2数すう (9 と -2)

いちばん多おおいのは 不等号ふとうごうの向むき です。 等式とうしきのつもりで移項いこうしていくと、 最後さいごに -2x > 6 のような形かたちになり、 そこで両辺りょうへんを -2 で割わります。 このとき向むきを変かえ忘わすれると答えこたえの範囲はんいがまるごと反対はんたいになり、 部分ぶぶん点てんも残のこりません。 負ふの数かずで割われる・かける瞬間しゅんかんに、 先さきに不等号ふとうごうを書かき直なおしてから数字すうじを書かくクセをつけると防ふせげます。

因数いんすう分解ぶんかいの手順てじゅん

順番じゅんばん	やること	例れい (6x² + 7x - 3)
1	共通きょうつう因数いんすうがあればくくり出だす	共通きょうつう因数いんすうなし
2	項こうの数かずで見当けんとうをつける	3項こうなので公式こうしきかたすきがけ
3	x² の係数けいすうが 1 かどうかを見みる	係数けいすうは 6 なのでたすきがけ
4	かけて ac、 たして b の2数すうをさがす	ac = -18、 b = 7 → 9 と -2
5	その2数すうで真まん中なかの項こうを分わけて共通きょうつう因数いんすうでくくる	6x² + 9x - 2x - 3 = 3x(2x+3) - (2x+3)
6	展開てんかいして検算けんざんする	(2x+3)(3x-1) = 6x² + 7x - 3

2項こうのときは形かたちで決きまります。 a² - b² は (a+b)(a-b)、 a³ + b³ は (a+b)(a² - ab + b²)、 a³ - b³ は (a-b)(a² + ab + b²) です。 3次じの公式こうしきは符号ふごうの位置いちがまぎらわしいので、 展開てんかいして確たしかめる習慣しゅうかんをつけましょう。

大事だいじ: 因数いんすう分解ぶんかいの答えこたえは必かならず展開てんかいして戻もどせます。 時間じかんがないときでも、 いちばん次数じすうの高たかい項こうと定数ていすう項こうの2か所しょだけ合あわせて見みると、 大おおきなミスは見みつかります。

自分じぶんでチェック

• (a-b)² の中央ちゅうおうの項こうが -2ab になると言いえる
• √(a²) が a の絶対ぜったい値ちになる理由りゆうを説明せつめいできる
• 負ふの数かずで両辺りょうへんを割われると不等号ふとうごうの向むきが変かわると言いえる
• たすきがけで かけて ac、 たして b の2数すうをさがせる
• 因数いんすう分解ぶんかいの答えこたえを展開てんかいして検算けんざんできる

まとめ

• 展開てんかい・因数いんすう分解ぶんかいは公式こうしき + たすきがけ。 必かならず展開てんかいして検算けんざんする
• $\sqrt{a^2}=\mid a\mid$、 有理ゆうり化かは共役きょうやくな式しきをかける
• 1次じ不等式ふとうしきは負ふの数かずで割われると不等号ふとうごうが反対はんたい
• 絶対ぜったい値ちの不等式ふとうしきは か に分わける

次じ章しょうでは、 数学すうがくの論理ろんりの土台どだいとなる 集合しゅうごうと命題めいだい (必要ひつよう・十分じゅうぶん条件じょうけん) を学まなびます。